Toda una parte

En matemáticas , la parte entera de un número real se redondea al entero inferior más cercano . La parte entera de un número también se llama antier ( entier francés ), o piso ( piso inglés ). Junto con el piso, hay una función de par , el techo ( techo inglés ), redondeando al número entero más cercano. $X$ $X$ $X$

Notación y ejemplos

Por primera vez, los corchetes ( ) para denotar la parte entera de un número fueron utilizados por Gauss en 1808 en su demostración de la ley de reciprocidad cuadrática [1] . Esta notación se consideró estándar [2] hasta que Kenneth Iverson , en su libro A Programming Language publicado en 1962, sugirió [3] [4] [5] redondear un número al número entero más cercano hacia arriba y hacia abajo para llamar "piso" y " techo" y denotan y respectivamente. $[X]$ $X$ $X$ $X$ $\lpiso x\rpiso$ $\lceil x\lceil$

Las matemáticas modernas usan ambas notaciones [6] y , pero cada vez más predominantemente se usa la terminología y la notación de Iverson: una de las razones es que para los números negativos el concepto de "parte entera de un número" ya es ambiguo [5] . Por ejemplo, la parte entera del número 2,7 es igual a 2, pero ya son posibles dos puntos de vista sobre cómo determinar la parte entera del número −2,7: por definición dada en este artículo , sin embargo, en algunas calculadoras, la La función de la parte entera de INT para números negativos se define como INT(– x ) = –INT( x ), por lo que INT(–2,7) = −2. La terminología de Iverson carece de estas deficiencias: $[X]$ $\lpiso x\rpiso$ $[x]\equiv \lpiso x\rpiso =-3$

{\begin{matriz}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rfloor =3, &\lceil -2{,}7\lceil =-2.\end{matriz}}

Definiciones

La función "género" se define como el entero más grande menor o igual que: $\lpiso \cdot \rpiso \colon x\mapsto \lpiso x\rpiso$ $X$

\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.

La función techo es el entero más pequeño mayor o igual que : $\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ $X$

\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.

Estas definiciones son equivalentes a las siguientes desigualdades (donde n es un número entero): [7]

{\begin{matriz}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n- 1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{matriz}}

Propiedades

En las fórmulas escritas a continuación, las letras y denotan números reales , y las letras y denotan números enteros . $X$ $y$ $norte$ $metro$

Suelo y techo como funciones de una variable real

Las funciones de suelo y techo asignan un conjunto de números reales a un conjunto de enteros:

\lpiso \,\cdot \,\rpiso \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {Z}},\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon {\mathbb {R}} \to {\mathbb {Z)),\quad

El suelo y el techo son funciones constantes por tramos .

Las funciones suelo y techo son discontinuas : en todos los puntos enteros sufren discontinuidades de primera clase con un salto igual a uno.

En este caso, la función suelo es:

La función del techo es:

Relación entre las funciones suelo y techo

Para un número arbitrario, la siguiente desigualdad es verdadera [8] $X$

\lpiso x\rpiso \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil

Para todo el suelo y el techo son iguales: $X$

\lpiso x\rpiso =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in {\mathbb {Z))\quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x

Si no es un número entero, entonces el valor de la función techo es uno más que el valor de la función suelo: $X$

\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin {\mathbb {Z}}\\0,&x\in {\mathbb {Z}}\end{cases}}

Las funciones suelo y techo son reflejos entre sí desde ambos ejes:

\lpiso -x\rpiso =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lpiso x\rpiso

Suelo/techo: desigualdades

Cualquier desigualdad entre números reales y enteros es equivalente a una desigualdad de suelo y techo entre números enteros [7] :

{\begin{matriz}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x \rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matriz}}

Las dos desigualdades superiores son consecuencia directa de las definiciones de suelo y techo, y las dos inferiores son la inversión de las superiores .

Las funciones suelo/techo son funciones monótonamente crecientes :

x\leqslant y\Rightarrow \lpiso x\rpiso \leqslant \lpiso y\rpiso ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil

Suelo/techo: adición

El término entero puede ser introducido/entre paréntesis suelo/techo [9] :

\lpiso x+n\rpiso =\lpiso x\rpiso +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n

Las igualdades anteriores, en general, no se cumplen si ambos términos son números reales. Sin embargo, las siguientes desigualdades se cumplen en este caso:

\lpiso x\rpiso +\lpiso y\rpiso \leqslant \lpiso x+y\rpiso \leqslant \lpiso x\rpiso +\lpiso y\rpiso +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil - 1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil

Suelo/techo bajo rótulo funcional

Se cumple la siguiente proposición: [10]

Sea una función continua monótonamente creciente , definida en algún intervalo , que tiene la propiedad: $f(x)$

f(x)\in {\mathbb {Z}}\Rightarrow x\in {\mathbb {Z}}

Después

\lpiso f(x)\rpiso =\lpiso f(\lpiso x\rpiso )\rpiso ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil

siempre que se defina . $f(x),f(\lpiso x\rpiso),f(\lceil x\rceil )$

En particular,

\left\lpiso {\frac {x+m}{n}}\right\rpiso =\left\lpiso {\frac {\left\lpiso x\right\rpiso +m}{n}}\right\rpiso , \quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\ reir

si y son enteros, y . $metro$ $norte$ $n>0$

Suelo/techo: sumas

Si son enteros , entonces [11] $Minnesota$ $m>0$

n=\left\lpiso {\frac {n}{m}}\right\rpiso +\left\lpiso {\frac {n+1}{m}}\right\rpiso +\dots +\left\lpiso { \frac {n+m-1}{m}}\derecha\rpiso

En general, si es un número real arbitrario y es un entero positivo, entonces $X$ $metro$

\lpiso mx\rpiso =\izquierda\lpiso x\derecha\rpiso +\izquierda\lpiso x+{\frac {1}{m))\derecha\rpiso +\dots +\izquierda\lpiso x+{\frac {m- 1}{m}}\derecha\rpiso

Hay una relación más general [12] :

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lpiso {\frac {nk+x}{m}}\right\rpiso =d\left\lpiso {\frac {x}{d}}\ derecha\rpiso +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)

Como el lado derecho de esta igualdad es simétrico con respecto a y , entonces es válida la siguiente ley de reciprocidad : $metro$ $norte$

\sum _{{{0\leqslant k<m}}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{{0\leqslant k<n}}\left\ lpiso {\frac {mk+x}{n}}\right\rpiso,\quad m,n>0

Descomponibilidad en una serie

De manera trivial, la función antier se expande en una serie usando la función de Heaviside :

[x]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}n\left(\theta (xn)-\theta (xn-1)\right),

donde cada término de la serie crea " pasos " característicos de la función. Esta serie converge absolutamente , sin embargo, una transformación errónea de sus términos puede conducir a una serie "simplificada".

\sum _{n=-\infty}^{+\infty}\theta \left(xn\right),

que diverge .

Aplicación

Las funciones de piso/techo de enteros encuentran una amplia aplicación en matemáticas discretas y teoría de números . A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar estas funciones.

Número de dígitos en un número

El número de dígitos en la notación de un entero positivo en el sistema numérico posicional con base b es [13]

\lpiso \log _{{b}}n\rpiso +1

Redondeo

El entero más cercano a un entero puede ser determinado por la fórmula $X$

(x)=\lpiso x+0{,}5\rpiso

Modo de operación binaria

La operación de resto del módulo, denotada , se puede definir usando la función de piso de la siguiente manera. Si son números reales arbitrarios, y , entonces el cociente incompleto de la división por es $x{\bmod {y))$ $x,y$ $y\neq 0$ $X$ $y$

\lpiso x/y\rpiso

y el resto

x\,{\bmod \,}y=xy\lpiso x/y\rpiso

Parte fraccionaria

La parte fraccionaria de un número real es, por definición, igual a $X$

\{x\}=x\,{\bmod \,}1=x-\lpiso x\rpiso

Número de puntos de intervalo entero

Se requiere encontrar el número de puntos enteros en un intervalo cerrado con extremos y , es decir, el número de enteros que satisface la desigualdad $\alfa$ $\beta$ $norte$

\alpha \leqslant n\leqslant \beta

Por las propiedades del piso/techo, esta desigualdad es equivalente a

\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lpiso \beta \rpiso

Este es el número de puntos en un intervalo cerrado con extremos e igual a . $\lceil \alpha \rceil$ $\lpiso \beta \rpiso$ $\lpiso \beta \rpiso -\lceil \alpha \rceil +1$

Del mismo modo, puede contar la cantidad de puntos enteros en otros tipos de espacios . A continuación se ofrece un resumen de los resultados [14] .

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lpiso \beta \rpiso -\lpiso \alpha \rpiso

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1

(La cardinalidad del conjunto se denota por ) $\#METRO$ $METRO$ .

Los primeros tres resultados son válidos para todos y el cuarto es válido solo para . $\alpha \leqslant \beta$ $\alfa <\beta$

Teorema del espectro de Rayleigh

Sean y números irracionales positivos relacionados por la relación [15] $\alfa$ $\beta$

{\frac{1}{\alpha}}+{\frac {1}{\beta}}=1.

Entonces en la serie de números

\lpiso \alpha \rpiso ,\lpiso \beta \rpiso ,\lpiso 2\alfa \rpiso ,\lpiso 2\beta \rpiso ,\lpuntos ,\lpiso m\alfa \rpiso ,\lpiso m\beta \rpiso ,\ ldots

cada natural ocurre exactamente una vez. En otras palabras, las secuencias $n\en \mathbb {N}$

\{m\alpha \mid m\in {\mathbb {N}}\}

y ,

\{m\beta \mid m\in {\mathbb {N}}\}

llamadas sucesiones de Beatty , forman una partición de la serie natural. [dieciséis]

En informática

En lenguajes de programación

Muchos lenguajes de programación tienen funciones integradas de suelo/techo suelo(), techo() .

En los sistemas de diseño

TeX (y LaTeX ) tiene comandos especiales para los símbolos de piso/techo , , , \lfloor , \rfloor , \lceil , \rceil . Dado que el wiki usa LaTeX para escribir fórmulas matemáticas, estos comandos también se usan en este artículo. $\lpiso$ $\rpiso$ $\lceil$ $\rceil$

Notas

↑ Lemmermeyer, págs. 10, 23.
↑ Notación de Gauss utilizada por Cassels, Hardy & Wright y Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik y Crandall & Pomerance utilizaron la notación de Iverson.
↑ Iverson, pág. 12
↑ Highham, pág. 25
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 88.
↑ Weisstein, Eric W. Floor Function en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 90.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 89.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 90-91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 93.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 108.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. — Art. 112-117.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - S. 95-96.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. — P. 99-100.
↑ A. Baababov. "Pentium" es bueno, pero la mente es mejor // Kvant . - 1999. - Nº 4 . - S. 36-38 .

Véase también

Literatura

R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. matemáticas concretas. - M. : "Mir", 1998. - 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
M. K. Potapov, V. V. Alexandrov, P. I. Pasichenko. El álgebra y los comienzos del análisis. - AO Siglo, 1996.