Línea central

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Las líneas centrales son algunas líneas especiales asociadas con un triángulo y que se encuentran en el plano del triángulo. La propiedad especial que distingue a las líneas como líneas centrales se manifiesta a través de la ecuación de una línea en coordenadas trilineales . Esta propiedad especial también está relacionada con el concepto de centro de un triángulo . El concepto de línea central fue introducido por Clark Kimberling en un artículo publicado en 1994 [1] [2] .

Definición

Sea ABC  un triángulo, y sean ( x  : y  : z ) las coordenadas trilineales de un punto arbitrario en el plano del triángulo ABC . Una recta en el plano del triángulo ABC será la recta central del triángulo ABC si su ecuación en coordenadas trilineales es

f ( un , segundo , c ) x + gramo ( un , segundo , c ) y + h ( un , segundo , c ) z = 0

donde el punto con coordenadas trilineales ( f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c )) es el centro del triángulo plano ABC. [3] [4] [2]

Líneas centrales como polares trilineales

Geométricamente, la relación entre la línea central y su centro asociado se puede expresar usando el término conjugación trilineal polar e isogonal . Sea X = ( u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c )) el centro del triángulo. Entonces la ecuación de la polar trilineal del centro triangular X es [5] [2]

x / u ( un , segundo , c ) + y / v ( un , segundo , c ) y + z / w ( un , segundo , c ) = 0.

De manera similar , Y = (1 / u ( a , b , c ) : 1 / v ( a , b , c ) : 1 / w ( a , b , c )) es la conjugación isogonal del centro de X .

Así, la línea central descrita por la ecuación

f ( un , segundo , c ) x + gramo ( un , segundo , c ) y + h ( un , segundo , c ) z = 0,

es un polar trilineal bajo la conjugación isogonal del centro ( f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c )).

Construcción de líneas centrales

Sea X  cualquier centro del triángulo ABC .

• Dibujemos las rectas AX , BX y CX y construyamos sus reflejos con respecto a las bisectrices de los ángulos del triángulo en los vértices A , B , C , respectivamente .
• Las líneas reflejadas se intersecarán, y el punto de su intersección será la conjugación isogonal Y del punto X.
• Sean las cevianas AY , BY , CY intersecar los lados opuestos del triángulo ABC en los puntos A', B', C'. Entonces el triángulo A'B'C' es el triángulo ceviano del punto Y .
• El triángulo ABC y el triángulo ceviano A'B'C' están en perspectiva, y sea la línea DEF  el eje de perspectiva de los dos triángulos. La línea DEF es la polar trilineal del punto Y. La línea DEF es la línea central asociada  con el centro X.

Algunas líneas centrales nominales

Sea Xn  el n -ésimo centro del triángulo en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . La línea central asociada con X n se denota como Lnorte. Algunas líneas centrales nominales se dan a continuación.

La línea central asociada a X 1 , es decir, al centro de la circunferencia inscrita: el eje anti-ort

La línea central asociada con el incentro X 1 = (1 : 1 : 1) (también conocida como I ) viene dada por la ecuación

x + y + z = 0.

Esta línea es el eje antiorto del triángulo ABC . [6]

• El centro conjugado isogonalmente al incentro del triángulo ABC es el incentro mismo . Así el eje antiorta, que es la línea central asociada al incentro , es el eje de perspectiva del triángulo ABC y el triángulo ceviano del incentro del triángulo ABC .
• El eje antiorta del triángulo ABC es el eje de perspectiva del triángulo ABC y el triángulo de centros de tres excircunferencias ( triángulo de tres bisectrices exteriores ) I 1 I 2 I 3 del triángulo ABC . [7]
• Un triángulo cuyos lados tocan externamente los tres centros de las excircunferencias del triángulo ABC es el triángulo tangencial externo ( el triángulo extangente ) del triángulo ABC . El triángulo ABC y su triángulo tangencial exterior están en perspectiva, y su eje de perspectiva es el eje antiorto del triángulo ABC .

La línea central asociada a X 2 , es decir, el baricentro : el eje de Lemoine

Las coordenadas trilineales del centroide X 2 (también indicado como G ) del triángulo ABC son (1 / a  : 1 / b  : 1 / c ). Así, la línea central asociada al baricentro (centro de gravedad) en coordenadas trilineales viene dada por la ecuación

x/a + y/b + z/c = 0.

Esta línea es el eje de Lemoine del triángulo ABC .

• El punto conjugado isogonalmente al centroide X 2 es el punto de Lemoine X 6 (el punto de intersección de tres triángulos simediantes) (también denotado como K ), que tiene coordenadas trilineales ( a  : b  : c ). Así, el eje de Lemoine del triángulo ABC es la polar trilineal del punto de intersección de las simedianas del triángulo ABC .
• El triángulo tangencial del triángulo ABC es el triángulo T A T B T C , formado por las tangentes a la circunferencia del triángulo ABC en sus vértices. El triángulo ABC y su triángulo tangencial están en perspectiva, y su eje de perspectiva es el eje de Lemoine del triángulo ABC .

La línea central asociada a X 3 , es decir, al centro de la circunferencia circunscrita: Eje órtico

Las coordenadas trilineales del centro del círculo circunscrito X 3 (también indicado como O ) del triángulo ABC son (cos A  : cos B  : cos C ). Así, la línea central asociada al centro de la circunferencia circunscrita en coordenadas trilineales viene dada por la ecuación

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Esta línea es el eje de altitud del triángulo ABC . [ocho]

• La conjugación isogonal del centro del círculo circunscrito X 6 es el ortocentro X 4 (también indicado como H ), que tiene coordenadas trilineales (sec A  : sec B  : sec C ). Así, el eje de altitud del triángulo ABC es la polar trilineal del ortocentro del triángulo ABC . El eje de altitud del triángulo ABC es el eje de perspectiva del triángulo ABC y su ortotriángulo H A H B H C .

La línea central asociada con X 4 , es decir, con el ortocentro

Las coordenadas trilineales del ortocentro X 4 ((también denotado como H ) del triángulo ABC son (sec A  : sec B  : sec C ). Así, la línea central asociada con el centro del círculo circunscrito en coordenadas trilineales está dada por la ecuación

x segundos A + y segundos B + z segundos C = 0.

• La conjugación isogonal del ortocentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo. Así, la línea central asociada al ortocentro es la polar trilineal del centro de la circunferencia circunscrita.

La línea central asociada con X 5 , es decir, con el centro del círculo de nueve puntos

Las coordenadas trilineales del centro del círculo de nueve puntos X 5 (también denotado N ) del triángulo ABC son (cos ( B − C ) : cos ( C − A ) : cos ( A − B )). [9] . Así, la línea central asociada al centro del círculo de nueve puntos en coordenadas trilineales viene dada por la ecuación

x porque ( segundo - C ) + y porque ( C - UN ) + z porque ( UN - segundo ) = 0.

• La conjugación isogonal del centro del círculo de nueve puntos del triángulo ABC es el punto de Kosnite X 54 del triángulo ABC . [10] [11] . Así, la línea central asociada con el centro del círculo de nueve puntos es la polar trilineal del punto de Kosnite.
• El punto Kosnite se construye de la siguiente manera. Sea O  el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC . Sean O A , O B , O C los centros de  circuncircunferencias de los triángulos BOC , COA , AOB respectivamente . _ _ _ _ Su nombre está asociado con J. Rigby. [12]

La línea central asociada con X 6 , es decir, con el punto de intersección de las simedianas: la línea en el infinito

Las coordenadas trilineales del punto de intersección de tres simedianas ( punto de Lemoine ) X 6 (también denotadas como K ) del triángulo ABC son ( a  : b  : c ). Así, la línea central asociada al punto de intersección de tres simedianas en coordenadas trilineales viene dada por la ecuación

a x + b y + c z =0.

• Esta línea es una línea recta en el infinito en el plano del triángulo ABC .
• El conjugado isogonal de la simedia del triángulo ABC es el baricentro del triángulo ABC . Así, la línea central asociada con el punto de intersección de las simedianas es la polar trilineal del baricentro. Es el eje de perspectiva del triángulo ABC y su triángulo adicional (también es el triángulo mediano = triángulo medial).

Algunas otras líneas centrales nominales

Línea de Euler

La recta de Euler del triángulo ABC es la recta que pasa por el centro de gravedad, el ortocentro y el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC . Su ecuación en coordenadas trilineales es

x sen 2 A sen ( B − C ) + y sen 2 B sen ( C − A ) + z sen 2 C sen ( C − A ) = 0.

Esta es la línea central asociada con el punto X 647 .

Eje de Brocard

El eje de Brocard del triángulo ABC es una línea recta que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo y el punto de intersección de las tres simedias del triángulo ABC . Su ecuación en coordenadas trilineales es

x sen ( B  - C ) + y sen ( C  - A ) + z sen ( A  - B ) = 0.

Esta línea central está conectada con el centro X 523 .

Véase también

• Triángulo trilineal polares
• Polo y polar

Notas

1. ↑ Kimberling, Clark. Puntos centrales y rectas centrales en el plano de un triángulo  // Revista de Matemáticas  : revista  . - 1994. - junio ( vol. 67 , n. 3 ). - pág. 163-187 . -doi : 10.2307/ 2690608 .
2. ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark. Triángulos Centros y Triángulos Centrales  (neopr.) . - Winnipeg, Canadá: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - Pág. 285.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Línea central . De MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado: 24 de junio de 2012. (indefinido)
4. ↑ Kimberling, Clark Glosario: Enciclopedia de Triángulos Centros . Consultado: 24 de junio de 2012. (indefinido)
5. ↑ Weisstein, Eric W. Polar trilineal . De MathWorld: un recurso web de Wolfram. . Consultado: 28 de junio de 2012. (indefinido)
6. ↑ Weisstein, Eric W. Eje antiórtico . De MathWorld: un recurso web de Wolfram. . Consultado: 28 de junio de 2012. (indefinido)
7. ↑ Weisstein, Eric W. Eje antiórtico . De MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado: 26 de junio de 2012. (indefinido)
8. ↑ Weisstein, Eric W. Eje órtico . De MathWorld: un recurso web de Wolfram. . (indefinido)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Centro de nueve puntos . De MathWorld: un recurso web de Wolfram. . Consultado: 29 de junio de 2012. (indefinido)
10. ↑ Weisstein, Eric W. Kosnita Point . De MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado: 29 de junio de 2012. (indefinido)
11. ↑ Darij Grinberg. Sobre la Punta Kosnita y el Triángulo de Reflexión  // Forum  Geometricorum : diario. - 2003. - vol. 3 . - P. 105-111 .
12. ↑ J. Rigby. Breves notas sobre algunos teoremas geométricos olvidados  (neopr.)  // Mathematics & Informatics Quarterly. - 1997. - T. 7 . - S. 156-158 .