Pareja isogonal

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 28 de junio de 2018; las comprobaciones requieren 13 ediciones .

Una conjugación isogonal es una transformación geométrica obtenida al reflejar las líneas que conectan los puntos iniciales con los vértices de un triángulo dado , en relación con las bisectrices de los ángulos del triángulo.

Definición

Los puntos y se denominan isogonalmente conjugados (los nombres obsoletos son isogonales, inversos [1] ) en un triángulo si , , . La corrección de esta definición se puede probar a través del teorema de Ceva en forma de seno; también hay una prueba puramente geométrica de la corrección de esta definición. Una conjugación isogonal es una transformación que asocia un punto con su conjugado isogonal. En todo el plano, a excepción de las líneas que contienen los lados del triángulo, la conjugación isogonal es un mapeo uno a uno . $PAGS$ $P^*$ $\triángulo ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\ángulo BAP = \ángulo CAP^*$ $\ángulo BCP = \ángulo ACP^*$

Propiedades

Una conjugación isogonal deja solo los centros de los círculos inscritos y excírculos en su lugar .
Un punto conjugado isogonalmente a un punto en el círculo circunscrito está en el infinito . La dirección dada por este punto es perpendicular a la línea de Simson del punto original.
Si los puntos , , son simétricos a un punto con respecto a los lados del triángulo, entonces el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo es isogonalmente conjugado al punto . $Pensilvania$ $P_b$ $Ordenador personal$ $PAGS$ $P_aP_bP_c$ $PAGS$
Si una elipse está inscrita en un triángulo , entonces sus focos son isogonalmente conjugados .

Las proyecciones de dos puntos conjugados isogonalmente en los lados se encuentran en el mismo círculo (lo contrario también es cierto) [2] . El centro de este círculo es el punto medio del segmento entre puntos conjugados . Un caso especial es un círculo de nueve puntos .
Esto último significa que los círculos subdérmicos de dos puntos isogonalmente conjugados coinciden. En particular, el subcírculo del ortocentro y el centro del círculo circunscrito es el círculo de Euler . El círculo de poder o pedal es el círculo circunscrito del triángulo subdérmico .
Dos puntos de un triángulo son isogonalmente conjugados si y sólo si los productos de sus tres distancias a los tres lados del triángulo son iguales [2] .

Pares de líneas conjugadas isogonalmente

La imagen de una línea en conjugación isogonal es una cónica circunscrita a un triángulo. En particular, la línea en el infinito y el círculo circunscrito , la línea de Euler y la hipérbola de Enzhabek , el eje de Brocard y la hipérbola de Kiepert , la línea de centros de los círculos inscritos y circunscritos y la hipérbola de Feuerbach son isogonalmente conjugados .
Si una cónica es isogonalmente conjugada a una línea , entonces los polares trilineales de todos los puntos pasarán a través de un punto isogonalmente conjugado al polo trilineal . $\alfa$ $yo$ $\alfa$ $yo$
Algunos cubos conocidos , como la cúbica de Thompson , la cúbica de Darboux , la cúbica de Neuberg , son isogonalmente autoadjuntos en el sentido de que si todos sus puntos en el triángulo se conjugan isogonalmente, se obtienen nuevamente cubos.

Pares de puntos isogonalmente conjugados

El centro de la circunferencia circunscrita y el ortocentro (ver figura).
Punto de intersección de medianas y punto de Lemoine (punto de intersección de simedianas).
El punto de Gergonne y el centro de la homotecia negativa de los círculos inscritos y circunscritos.
El punto de Nagel y el centro de la homotecia positiva del incírculo y el circuncírculo ( punto de Verrier ).
Dos puntos Brocard
Punto Apolonio y punto Torricelli .
El centro de la circunferencia inscrita ( incentro ) es isogonalmente conjugado consigo mismo.

Notación de coordenadas

En coordenadas baricéntricas, la conjugación isogonal se escribe como:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\derecho)

donde , , son las longitudes de los lados del triángulo. En coordenadas trilineales, su notación tiene la forma: $a$ $b$ $C$

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right )

por lo tanto, son convenientes cuando se trabaja con relaciones de posición isogonales. En otras coordenadas, la conjugación isogonal es más engorrosa.

Variaciones y generalizaciones

De manera similar, se puede definir una conjugación isogonal con respecto a un polígono. Los focos de las elipses inscritas en un polígono también serán isogonalmente conjugados. Sin embargo, el punto isogonalmente conjugado no se definirá para todos los puntos: por ejemplo, en un cuadrilátero, el lugar geométrico de los puntos para los que se define la conjugación isogonal es alguna curva de tercer orden; para un pentágono habrá sólo un par de puntos isogonalmente conjugados (focos de la única elipse inscrita en él), y en polígonos con gran número de vértices, en el caso general, no habrá puntos isogonalmente conjugados.

También puedes definir una conjugación isogonal en un tetraedro , en coordenadas trilineales se escribirá de manera similar a una conjugación isogonal plana [3] .

Estrechamente relacionada con la conjugación isogonal está la conjugación antigonal , mencionada en el artículo Teorema de Poncelet .

Consecuencias

El teorema de Pascal se puede deducir de la conjugación isogonal .

Notas

↑ D. Efremov. Nueva geometría triangular. Odesa, 1902
↑ 1 2 Zetel SI Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición .. - M. : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, p.80.
↑ Conjugación isogonal en un tetraedro y sus caras (enlace inaccesible)