Número imaginario puro

... (el fragmento seleccionado se repite indefinidamente)
yo −3 = yo
yo -2 = -1
yo −1 = − yo
yo 0 = 1
yo 1 = yo
yo 2 = −1
yo 3 = − yo
yo 4 = 1
yo 5 = yo
yo 6 = −1
yo norte = yo metro donde metro ≡ norte mod 4

Un número puramente imaginario es un número complejo con parte real cero . A veces, solo estos números se denominan números imaginarios, pero el término también se usa para referirse a números complejos arbitrarios con una parte imaginaria distinta de cero [1] . El término “número imaginario” fue propuesto en el siglo XVII por el matemático francés René Descartes [2] , inicialmente este término tenía un significado peyorativo, ya que tales números eran considerados ficticios o inútiles, y solo después de los trabajos de Leonhard Euler y Carl Gauss este concepto ganó reconocimiento en la comunidad científica.

Definiciones

Sea un número complejo, donde y son números reales . Los números o y o se denominan partes reales e imaginarias (similar al inglés real, imaginary ) respectivamente . $z=x+iy$ $x$ $y$ $x=\Re (z)$ $\operatorname {Re}~z$ $y=\Im (z)$ $\operatorname {Im}~z$ $z$

Si , entonces se llama un número puramente imaginario . $x=0$ $z$
Si , entonces es un número real . $y=0$ $z$

Historia

El antiguo matemático e ingeniero griego Garza de Alejandría [3] [4] fue el primero en mencionar números imaginarios en sus obras , pero las reglas para realizar operaciones aritméticas (en particular, la multiplicación ) con ellos fueron introducidas por Rafael Bombelli en 1572 . El concepto de Bombelli es anterior a un trabajo similar de Gerolamo Cardano . En los siglos XVI-XVII, los números imaginarios eran considerados por la mayoría de la comunidad científica como ficticios o inútiles (similar a como se percibía en su época el concepto de cero ). En particular, René Descartes, al mencionar los números imaginarios en su obra fundamental " Geometría ", utilizó el término "imaginario" en un sentido peyorativo [5] [6] . El uso de números imaginarios no se generalizó hasta el trabajo de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Kaspar Wessel (1745-1818) [7] .

En 1843, el matemático irlandés William Hamilton extendió la idea de un eje de números imaginarios en el plano a un espacio de cuaterniones de cuatro dimensiones , en el que tres dimensiones son análogas a los números imaginarios en un campo complejo.

Con el desarrollo del concepto de anillo de polinomios en la teoría de anillos de factores , el concepto de número imaginario se hizo más significativo y se desarrolló más en el concepto de j - números bicomplejos , cuyo cuadrado es igual a +1 . Esta idea apareció en un artículo de 1848 del matemático inglés James Cockle 8] .

Interpretación geométrica

En el plano de los números complejos , los números imaginarios están en un eje vertical perpendicular al eje de los números reales . Una forma de interpretar geométricamente los números imaginarios es considerar la recta numérica estándar , donde los números positivos están a la derecha y los negativos a la izquierda. A través del punto 0 en el eje x , el eje y se puede dibujar con la dirección "positiva" hacia arriba; Los números imaginarios "positivos" aumentan en magnitud hacia arriba, mientras que los números imaginarios "negativos" aumentan en magnitud hacia abajo. Este eje vertical a menudo se denomina "eje imaginario" y se denota i ℝ , o ℑ . $\scriptstyle \mathbb {I}$

En esta representación, multiplicar por -1 corresponde a una rotación de 180 grados desde el origen. Multiplicar por i corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección "positiva" (es decir, en sentido antihorario), y la ecuación i 2 = −1 se interpreta para decir que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado es una rotación de 180 grados Sin embargo, un giro de 90 grados en la dirección "negativa" (es decir, en el sentido de las agujas del reloj) también satisface esta interpretación. Esto refleja el hecho de que − i también es una solución a la ecuación x 2 = −1 . Generalmente, multiplicar por un número complejo es similar a girar alrededor del origen del argumento del número complejo y luego escalar por su magnitud.

Raíces cuadradas de números negativos

Hay que tener cuidado al trabajar con números imaginarios, que son los valores principales de las raíces cuadradas de los números negativos . Por ejemplo, tal sofisma matemático : [9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.

A veces se escribe así:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (софизм) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

Un sofisma matemático similar surge cuando las variables en igualdad no tienen las restricciones correspondientes. En este caso, la igualdad falla porque ambos números son negativos. Esto se puede mostrar como ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

donde tanto x como y son números reales no negativos.

Véase también

Notas

↑ Número complejo // " Enciclopedia matemática " / Editor en jefe I. M. Vinogradov. - M. : "Enciclopedia soviética", 1982. - T. 3. - S. 708. - 1183 p. - (51 [03] M34).
↑ Giaquinta, Mariano; Módica, Giuseppe. Análisis Matemático : Aproximación y Procesos Discretos . — ilustrado. - Springer Science & Business Media , 2004. - P. 121. - ISBN 978-0-8176-4337-9 . Extracto de la página 121
↑ Hargittai, Istvan. Simetría quíntuple (neopr.) . — 2do. - World Scientific , 1992. - Pág. 153. - ISBN 981-02-0600-3 .
↑ Roy, Stephen Campbell. Números complejos : simulación de celosías y aplicaciones de la función zeta . - Horwood, 2007. - Pág. 1. - ISBN 1-904275-25-7 .
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Países Bajos): Jan Maire, 1637), libro citado: Geometry , libro 3, p. 380. De la página 380: “Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponden a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les Augume, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires". (“Además, tanto las raíces verdaderas como las [raíces] falsas no siempre son reales; pero a veces sólo hay [números] imaginarios; es decir, en cada ecuación siempre se pueden representar tantas como dije; pero a veces no existe tal magnitud , que corresponde a lo que uno puede imaginar, tal como en esta [ecuación], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, donde solo una raíz es real y es igual a 2, y en relación a las otras dos, aunque una aumenta, o los reduce o los multiplica en la forma que acabo de explicar, nadie puede hacerlos diferentes de los [valores] imaginarios").
↑ Martinez, Albert A. (2006), Matemáticas negativas: cómo las reglas matemáticas pueden doblarse positivamente , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 .
↑ Rozenfeld, Boris Abramóvich. Capítulo 10 // Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico (inglés) . - Springer, 1988. - Pág. 382. - ISBN 0-387-96458-4 .
↑ Cockle, James (1848) "Sobre ciertas funciones que se asemejan a cuaterniones y sobre un nuevo imaginario en álgebra", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , serie 3, 33:435-9 y Cockle (1849) "Sobre un nuevo imaginario en álgebra ”, Revista Filosófica 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [la raíz cuadrada de menos uno ] . - Prensa de la Universidad de Princeton , 2010. - Pág. 12. - ISBN 978-1-4008-3029-9 . Extracto de la página 12

Literatura

Fikhtengolts G.M. Curso de cálculo diferencial e integral. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 810 p.
Nahín, Paul. Un cuento imaginario: la historia de la raíz cuadrada de −1 (inglés) . - Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton , 1998. - ISBN 0-691-02795-1 .

Enlaces

¿Cómo se puede demostrar que los números imaginarios realmente existen? (Inglés)
En nuestro tiempo : Números imaginarios
5Programa de números 4
¿Por qué usar números imaginarios? (Inglés)

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