Tablero de ajedrez feynman

El tablero de ajedrez de Feynman (tablero de ajedrez relativista )  es un modelo propuesto por Richard Feynman que ilustra la formulación de la " suma de trayectoria " para la integral de trayectoria de una partícula libre de espín ½ que se mueve en una dimensión espacial. Proporciona una representación de las soluciones de la ecuación de Dirac en (1 + 1) espacio-tiempo dimensional como sumas discretas.

El modelo se puede visualizar considerando caminatas aleatorias relativistas en un tablero de ajedrez de espacio-tiempo bidimensional. En cada paso de tiempo discreto , una partícula de masa viaja una distancia hacia la izquierda o hacia la derecha (  es la velocidad de la luz ). Para un movimiento tan discreto , la integral de Feynman se reduce a una suma de caminos posibles. Feynman demostró que si cada "giro" (cambio de movimiento de izquierda a derecha o viceversa) de un camino en el espacio-tiempo es ponderado por un factor ( es la constante  reducida de Planck ), en el límite de los cuadrados infinitesimales del tablero de ajedrez, la suma de todos los caminos ponderados producen un propagador que satisface la ecuación unidimensional de Dirac . Como resultado, la helicidad (el equivalente unidimensional del espín ) se obtiene a partir de una regla de tipo de autómata celular simple .

El modelo de tablero de ajedrez es importante porque relaciona el espín y la quiralidad con la propagación en el espacio-tiempo [1] y es la única formulación de suma de caminos en la que la fase cuántica es discreta a nivel de camino, tomando solo valores correspondientes a la cuarta raíz de la unidad .

Historia

Feynman inventó el modelo en la década de 1940 mientras desarrollaba su enfoque espaciotemporal de la mecánica cuántica. [2] No publicó el resultado hasta que apareció en un texto sobre integrales de trayectoria en coautoría con Albert Hibbs a mediados de la década de 1960. [3] El modelo no se incluyó en el documento de integral de trayectoria original porque no se encontró una generalización adecuada para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. [cuatro]

Una de las primeras conexiones entre las amplitudes prescritas por Feynman para la partícula de Dirac en dimensiones 1+1 y la interpretación estándar de amplitudes en términos de un núcleo o propagador fue establecida por Jayant Narlikar en un análisis detallado. [5] El nombre "modelo de tablero de ajedrez de Feynman" fue acuñado por Gersh cuando demostró su relación con el modelo unidimensional de Ising . [6] Gaveau et al descubrieron la relación entre el modelo y el modelo estocástico de ecuaciones telegráficas gracias a Mark Katz a través de la continuación analítica . [7] Jacobson y Shulman consideraron la transición de la integral de trayectoria relativista a la no relativista. [8] Ord demostró posteriormente que el modelo de tablero de ajedrez estaba incrustado en las correlaciones del modelo estocástico original de Katz [9] y, por lo tanto, tenía un contexto puramente clásico libre de continuación analítica formal. [10] En el mismo año, Kaufman y Noyes [11] lanzaron una versión completamente discreta sobre la física de cadenas de bits, que evolucionó hacia un enfoque general de la física discreta. [12]

Extensiones

Aunque Feynman no vivió para ver la publicación de las extensiones del modelo del tablero de ajedrez, se desprende claramente de sus notas de archivo que estaba interesado en establecer una conexión entre las raíces cuartas de la unidad (utilizadas como pesos estadísticos en los caminos del tablero de ajedrez) y su trabajo conjunto. con el descubrimiento de J.A. Wheeler de que las antipartículas son equivalentes a partículas que retroceden en el tiempo. Sus notas contienen varios bocetos de pistas de tablero de ajedrez con bucles de espacio-tiempo añadidos. [13] La primera extensión del modelo que contenía explícitamente tales bucles fue el "modelo en espiral", en el que se permitían trayectorias en espiral a través del espacio-tiempo en el tablero de ajedrez. A diferencia del caso del tablero de ajedrez, la causalidad debe implementarse explícitamente para evitar discrepancias, sin embargo, con esta restricción , la ecuación de Dirac surgió como el límite de un continuo. [14] Además, se dilucidaron los roles del " movimiento tembloroso ", las antipartículas y el mar de Dirac en el modelo de tablero de ajedrez [15] y se consideraron las consecuencias para la ecuación de Schrödinger a través del límite no relativista . [dieciséis]

Otras extensiones del modelo de espacio-tiempo 2D original incluyen características tales como reglas de suma mejoradas [17] y retículas generalizadas. [18] No hubo consenso sobre la extensión óptima del modelo de tablero de ajedrez a un espacio-tiempo completamente cuatridimensional. Hay dos clases diferentes de extensiones: las que funcionan con una red de base fija [19] [20] y las que incrustan la caja bidimensional en un espacio de dimensiones superiores. [21] [22] La ventaja del primero es que la suma de las trayectorias está más cerca del caso no relativista, pero se pierde la imagen simple de una velocidad de la luz independiente de una sola dirección. En extensiones recientes, la propiedad de velocidad fija se mantiene cambiando las direcciones en cada paso.

Notas

1. ↑ Schweber, Silvan S. QED y los hombres que lo hicieron . — Prensa de la Universidad de Princeton , 1994.
2. ↑ Feynman, RP Enfoque espacio-temporal de la mecánica cuántica no relativista  // Reseñas de la física moderna  : revista  . - American Physical Society (APS), 1948. - 1 de abril ( vol. 20 , no. 2 ). - pág. 367-387 . — ISSN 0034-6861 . -doi : 10.1103/ revmodphys.20.367 .
3. ↑ Feynman y Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals , Nueva York: McGraw-Hill, Problema 2-6, págs. 34-36, 1965.
4. ↑ RP Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics Archivado el 12 de mayo de 2015 en Wayback Machine , Science, 153 , págs. 699-708, 1966 (Reimpresión de la conferencia del Premio Nobel).
5. ↑ J. Narlikar, Amplitudes de ruta para partículas de Dirac , Journal of the Indian Mathematical Society, 36 , págs. 9-32, 1972.
6. ↑ Gersch, El tablero de ajedrez relativista de H.A. Feynman como modelo ising  // International  Journal of Theoretical Physics : diario. - Naturaleza de Springer, 1981. - Vol. 20 , núm. 7 . - Pág. 491-501 . — ISSN 0020-7748 . -doi : 10.1007/ bf00669436 .
7. ↑ Gaveau, B. Extensión relativista de la analogía entre la mecánica cuántica y el movimiento browniano  // Cartas de revisión física  : revista  . - American Physical Society (APS), 1984. - 30 de julio ( vol. 53 , no. 5 ). - Pág. 419-422 . — ISSN 0031-9007 . -doi : 10.1103/ physrevlett.53.419 .
8. ↑ Jacobson, T. Estocástica cuántica: el paso de una integral de trayectoria relativista a una no relativista  //  Journal of Physics A: Mathematical and General : diario. - Ediciones IOP, 1984. - 1 de febrero ( vol. 17 , no. 2 ). - pág. 375-383 . — ISSN 0305-4470 . -doi : 10.1088 / 0305-4470/17/2/023 .
9. ↑ Kac, Mark. Un modelo estocástico relacionado con la ecuación del telegrafista  // Rocky Mountain Journal of  Mathematics : diario. - Consorcio de Matemáticas de las Montañas Rocosas, 1974. - vol. 4 , núm. 3 . - Pág. 497-510 . — ISSN 0035-7596 . -doi : 10.1216 / rmj-1974-4-3-497 .
10. ↑ Ord, GN  Las ecuaciones de partículas libres de Schrödinger y Dirac sin mecánica cuántica  // Annals of Physics : diario. - Elsevier BV, 1996. - Vol. 250 , núm. 1 . - Pág. 51-62 . — ISSN 0003-4916 . -doi : 10.1006/ aphy.1996.0087 .
11. ↑ Kauffman, Louis H. Física discreta y la ecuación de Dirac  //  Physics Letters A : diario. - Elsevier BV, 1996. - Vol. 218 , núm. 3-6 . - pág. 139-146 . — ISSN 0375-9601 . -doi : 10.1016 / 0375-9601(96)00436-7 . -arXiv : hep - th/9603202 .
12. ↑ Louis H. Kauffman, Mundos no conmutativos: un resumen , 2005, arXiv: quant-ph/0503198 .
13. ↑ Schweber, Silvan S. Feynman y la visualización de procesos de espacio-tiempo  // Reviews of Modern Physics  : revista  . - American Physical Society (APS), 1986. - 1 de abril ( vol. 58 , no. 2 ). - Pág. 449-508 . — ISSN 0034-6861 . -doi : 10.1103/ revmodphys.58.449 .
14. ↑ Ord, GN Análogo clásico de la fase cuántica  //  Revista internacional de física teórica : diario. - Naturaleza de Springer, 1992. - Vol. 31 , núm. 7 . - P. 1177-1195 . — ISSN 0020-7748 . -doi : 10.1007/ bf00673919 .
15. ↑ Ord, G. N. El propagador de Feynman desde un solo camino  // Cartas de revisión física  : diario  . - 2002. - 2 de diciembre ( vol. 89 , n. 25 ). — ISSN 0031-9007 . -doi : 10.1103/ physrevlett.89.250403 . — arXiv : quant-ph/0109092 . — IDPM 12484870 .
16. ↑ Ord, GN Pares entrelazados y ecuación de Schrödinger  //  Annals of Physics : diario. - Elsevier BV, 2003. - Vol. 308 , núm. 2 . - pág. 478-492 . — ISSN 0003-4916 . -doi : 10.1016 / s0003-4916(03)00148-9 . — arXiv : quant-ph/0206095 .
17. ↑ Kull, Andreas. Sobre la integral de trayectoria del electrón relativista  // International Journal of Theoretical  Physics : diario. - 1999. - vol. 38 , núm. 5 . - P. 1423-1428 . — ISSN 0020-7748 . -doi : 10.1023/a : 1026637015146 . — arXiv : quant-ph/9901058 .
18. ↑ Kull, Andreas. Movimiento mecánico cuántico de partículas relativistas en espacio-tiempo no continuo   // Letras de física A : diario. - 2002. - vol. 303 , núm. 2-3 . - pág. 147-153 . — ISSN 0375-9601 . -doi : 10.1016 / s0375-9601(02)01238-0 . — arXiv : quant-ph/0212053 .
19. ↑ Jacobson, T. Ecuaciones no lineales en la  teoría de campos clásica y cuántica . - Springer Berlín Heidelberg , 1985. - Vol. 226. - Pág. 386-395. - (Apuntes de clase en física). — ISBN 978-3-540-15213-2 . -doi : 10.1007 / 3-540-15213-x_88 .
20. ↑ Frank D. Smith, HyperDiamond Feynman Checkerboard in 4-dimensional Spacetime , 1995, arXiv: quant-ph/9503015
21. ↑ Ord, GN Sobre la ecuación de Dirac en 3 + 1 dimensiones  //  Annals of Physics : diario. - Elsevier BV, 1993. - Vol. 222 , núm. 2 . - pág. 244-253 . — ISSN 0003-4916 . -doi : 10.1006/ aphy.1993.1022 .
22. ↑ Rosen, Gerald. Suma de ruta de Feynman para la ecuación de Dirac: un aspecto unidimensional subyacente del movimiento de partículas relativistas  (inglés)  // Physical Review A  : revista. - American Physical Society (APS), 1983. - 1 de agosto ( vol. 28 , no. 2 ). - P. 1139-1140 . — ISSN 0556-2791 . -doi : 10.1103/ physreva.28.1139 .