Conmutador

Un conmutador en un álgebra general es un subsistema de álgebras que contiene una estructura de grupo ( subgrupo , subanillo , en el caso más general, un subgrupo de un grupo multioperador ), que muestra el grado de no conmutatividad de una operación de grupo.

El conmutador del grupo es el subgrupo normal más pequeño tal que el cociente entre él es un grupo abeliano . El conmutador del anillo es el ideal generado por todos los productos posibles de los elementos.

El conmutador del grupo multioperador

El conmutador se define más universalmente para el grupo multioperador . El conmutador de un álgebra multioperador es su ideal generado por sus conmutadores, es decir, elementos de la forma: ${\mathfrak G}=(G,+,-,0,\Sigma)$

[g_{1},g_{2}]=-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}

así como los elementos:

-\sigma (g_{1},\puntos,g_{n})-\sigma (h_{1},\puntos,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\puntos ,g_{n}+h_{n})

para cada operación -aria de la firma adicional del grupo multioperador. $norte$ $\sigma \en \Sigma$

Conmutador de grupo

El conmutador de un grupo [1] ( un grupo derivado o el segundo miembro de la fila central inferior de un grupo ) es un subgrupo generado por el conjunto de todos los productos posibles de un número finito de conmutadores de pares de elementos de un grupo . La siguiente notación se utiliza para el subgrupo derivado del grupo : , . (Al mismo tiempo, los interruptores se escriben de manera diferente en diferentes fuentes: ocurre (en la notación multiplicativa) tanto como ). $GRAMO$ ${\displaystyle \{[g_{1},g_{2}]\mid g_{1},g_{2}\en G\))$ $GRAMO$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización [G, G], \; G', \; T_{2} (G)}$ $KG)$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}g_{2}g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}g_{1}g_{2}$

El subgrupo conmutador de un grupo es un subgrupo completamente característico , y cualquier subgrupo que contenga el subgrupo conmutador es normal .

Rangos de conmutadores

La construcción del conmutador se puede iterar:

G^{{(0)}}:=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

para _

n\in \mathbb {N}

Los grupos , , ... se denominan segundo grupo derivado , tercer grupo derivado , y así sucesivamente. Fila descendente de grupos: ${\ estilo de visualización G ^ {(2)}}$ ${\ estilo de visualización G ^ {(3)}}$

G=G^{{(0)}}\vartriangleright G^{{(1)}}\vartriangleright G^{{(2)}}\vartriangleright \ldots

se denomina serie derivada , o serie de conmutadores [2] .

Para un grupo finito, la serie derivada tarde o temprano se estabiliza en un grupo cuyo conmutador coincide consigo mismo . Si este grupo es trivial , se dice que el grupo original es soluble . Para un grupo infinito, la serie derivada no necesariamente se estabiliza en un número finito de pasos, pero puede extenderse usando inducción transfinita , obteniendo una serie derivada transfinita , que tarde o temprano conducirá a un grupo perfecto. $GRAMO$

Abelización

Un grupo cociente con respecto a algún subgrupo normal es abeliano si y solo si este subgrupo contiene el subgrupo conmutador del grupo. La factorización de un grupo por su conmutador se llama abelización y se denota por o o . $GRAMO$ $Charla}}$ $G^{{ab}}$ $\nombre del operador {Ab}(G)$

Hay una interpretación categórica del mapeo . Es decir, es universal con respecto a todos los homomorfismos de un grupo abeliano: para cualquier homomorfismo existe un homomorfismo único tal que . De manera equivalente, un funtor de olvido de la categoría de grupos abelianos a la categoría de todos los grupos tiene un adjunto izquierdo , el funtor de abelización, que asigna a un grupo su cociente por conmutador y actúa sobre los morfismos de manera obvia. $\varphi :G\to G^{{ab}}$ $\varphi$ $GRAMO$ $f:G\a H$ $F:G^{{ab}}\a H$ $f=F\circ \varphi$

La abelización de un grupo se puede calcular como la homología del primer grupo entero : . $GRAMO$ $G_{{ab}}=H_{1}(G,{\matemáticas {Z}})$

El teorema de Gurevich en topología algebraica establece que para un complejo CW conectado . Así, la teoría de la homología en topología puede verse como una abelización de la teoría de la homotopía . Esta afirmación se puede hacer exacta ( teorema de Dold-Thomas ). $H_{1}(X)=\pi_{1}(X)_{{ab}}$

Conmutador mutuo

El conmutador mutuo de subconjuntos del soporte de un grupo es el subconjunto generado por todos los conmutadores de la forma . El subgrupo conmutador mutuo de subgrupos normales es un subgrupo normal. $L,M$ $GRAMO$ $[L,M]$ $[l,m]:l\en L,m\en M$

Para elementos arbitrarios del grupo , se cumple la siguiente relación: $g\in g$

g[L,M]g^{{-1}}=[gLg^{{-1}},gMg^{{-1}}]

El conmutador del anillo

El conmutador del anillo (también el cuadrado del anillo ) [3] es el ideal generado por todos los productos: , denotado por o . Tal simplificación en comparación con la definición universal del conmutador surge debido a la conmutatividad del grupo aditivo del anillo: el conmutador de elementos siempre desaparece, y la condición con respecto a la firma adicional (multiplicación del anillo) se expresa por la necesidad de incluir todos los elementos de la siguiente forma en el grupo electrógeno: $R$ $\{ab\mid a,b\in R\}$ $[R,R]$ $R^2$ $r_{1},r_{2}\en R$

-r_{1}r_{2}-s_{1}s_{2}+(r_{1}+s_{1})(r_{2}+s_{2})=r_{1}s_ {2}+r_{2}s_{1}

Notas

↑ En inglés, el conmutador de un grupo se llama "subgrupo conmutador" - Ing. subgrupo conmutador , por lo que puede haber confusión con la noción de conmutador de un miembro del grupo .
↑ Esta construcción no debe confundirse con la fila central inferior del grupo , que se define como , no $G_{n}:=[G_{{n-1}},G]$ $G^{{(n)}}:=[G^{{(n-1)}},G^{{(n-1)}}]$
↑ En la teoría de los anillos , otra combinación se llama conmutador de elementos: y un conmutador ideal es un ideal (anillos, álgebras) generado por todos los conmutadores; en la literatura, a veces este ideal de conmutador también se denomina conmutador de un anillo (álgebra). $[a,b]=ab-ba$

Literatura

A. G. Kurosh . Grupos con multioperadores // Clases de álgebra general. - 2ª ed. - M. : Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30.000 copias.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentos de la teoría de grupos. - 5ª ed. - Lan, 2009. - 288 p. — ISBN 978-5-8114-0894-8 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Capitulo dos. Grupos // Álgebra General / Bajo el general. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 pág. — (Biblioteca matemática de referencia). — 30.000 copias. — ISBN 5-02-014426-6 .
I. M. Vinogradov. Conmutante // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)