Signo de Raabe

El signo de Raabe ( signo de Raabe-Duhamel ) es un signo de convergencia de series numéricas de signo positivo , establecido en 1832 por Joseph Ludwig Raabe [ 1] e independientemente en 1839 por Jean-Marie Duhamel [2] .

Redacción

La serie converge si, para suficientemente grande , la desigualdad $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $norte$

R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\right)\geqslant r,

donde _ $r>1$

Si , a partir de algunos , entonces la serie diverge. $R_{n}\leqslant1$ $norte$ $un$

Formulación en forma límite

Si hay un límite:

R=\lim _{{n\to \infty}}R_{n}

entonces para , la serie converge y para , diverge. $R>1$ $R<1$

Comentario. Si , entonces el criterio de Raabe no responde la pregunta sobre la convergencia de la serie. $R=1$

Prueba

La demostración se basa en el uso del criterio de comparación de relaciones cuando se compara con una serie armónica generalizada.

Ejemplo

Pues el criterio en la forma limitante da 2, lo que significa la convergencia de la serie. $\sum _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Véase también

La prueba de convergencia de d'Alembert es una prueba similar basada en la proporción de términos vecinos.

Notas

↑ JL Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (alemán) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. - 1832. - Bd. 10 _ - S. 41-74 .
↑ M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (francés) // J. de mathématiques pures et appliquées. - 1839. - Vol. 4 . - pág. 214-221 .

Literatura

Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Conferencias sobre análisis matemático: Libro de texto de universidades y ped. universidades / ed. V. A. Sadovnichy. - M. : Escuela Superior , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 . .
I. M. Vinogradov. Signo de Raabe // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)

Enlaces

Weisstein, prueba de Eric W. Raabe (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich