Deducción (análisis complejo)

Un residuo en análisis complejo es un objeto (un número, una forma o una clase cohomológica de una forma) que caracteriza las propiedades locales de una función o forma dada .

La teoría de los residuos de una variable compleja fue desarrollada principalmente por Cauchy en 1825-1829. Además de él, Ermitaño , Sokhotsky , Lindelöf obtuvieron resultados importantes . En 1887, Poincaré generalizó el teorema integral de Cauchy y el concepto de residuo al caso de dos variables [1] , a partir de ese momento se origina la teoría multidimensional de los residuos. Sin embargo, resultó que este concepto se puede generalizar de varias maneras.

Para denotar el residuo de una función analítica en un punto , se usa una expresión (del lat. residuum ). En la literatura en idioma ruso, a veces se lo denomina [2] . $f(z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}\left[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Análisis complejo unidimensional

Deducción de funciones

Para una función de valor complejo en un dominio que es regular en alguna vecindad perforada del punto , su residuo en el punto es el número: $f(z)$ $D\subconjunto {\mathbb C}$ $a \ en D$ $a$

{\mahop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ límites _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Dado que la función es holomorfa en una pequeña vecindad punteada del punto , por el teorema de Cauchy, el valor de la integral no depende de valores suficientemente pequeños de este parámetro, así como de la forma del camino de integración. Lo único importante es que el camino sea una curva cerrada en el área de analiticidad de la función, una vez encerrado el punto en consideración y no otros puntos que no pertenezcan al área de holomorfia . $f(z)$ $a$ $\rho$ $F$

En alguna vecindad del punto , la función está representada por una serie de Laurent convergente en potencias de . Es fácil demostrar que el residuo coincide con el coeficiente de la serie en . Esta representación se toma a menudo como la definición del residuo de una función. $a$ $f(z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Deducción en "infinito"

Para permitir un estudio más completo de las propiedades de una función, se introduce el concepto de residuo en el infinito, mientras que se considera como una función en la esfera de Riemann . Sea el punto en el infinito un punto singular aislado , entonces el residuo en el infinito es un número complejo igual a: $f(z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limites _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

El ciclo de integración en esta definición está orientado positivamente, es decir, en sentido antihorario.

De manera similar al caso anterior, el residuo en el infinito también tiene una representación en la forma del coeficiente de la expansión de Laurent en la vecindad del punto en el infinito:

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty}\,f(z)=-c_{{-1}}

Forma diferencial residual

Desde el punto de vista del análisis de variedades , no es natural introducir una definición especial para algún punto distinguido de la esfera de Riemann (en este caso, en el infinito). Además, tal enfoque es difícil de generalizar a dimensiones más altas . Por lo tanto, el concepto de residuo se introduce no para funciones, sino para formas diferenciales en la esfera de Riemann: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

A simple vista no hay diferencia en las definiciones, pero ahora es un punto arbitrario , y el cambio de signo al calcular el residuo en el infinito se logra cambiando las variables en la integral. $a$ $\overline {{\mathbb C}}$

Residuos logarítmicos

La integral se llama residuo logarítmico de la función con respecto al contorno . ${1 \sobre {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \sobre f(z)}\,dz$ $f(z)$ $L$

La noción de residuo logarítmico se utiliza para probar el teorema de Rouché y el teorema fundamental del álgebra .

Maneras de calcular las deducciones

Por definición, el residuo se puede calcular como una integral de contorno, pero en el caso general esto es bastante laborioso. Por lo tanto, en la práctica, utilizan principalmente las consecuencias de la definición.

En el punto singular removible , así como en el punto de regularidad, el residuo de la función es igual a cero. Al mismo tiempo, esta afirmación no es cierta para un punto en el infinito. Por ejemplo, una función tiene un cero de primer orden en el infinito, sin embargo, . La razón de esto es que la forma tiene singularidad tanto en el cero como en el infinito. $a\in {\mathbb C}$ $f(z)$ $f(z)={\frac{1}{z}}$ ${\mahop {{\mathrm {Res}}}}_{{\infty}}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac{dz}{z))$

En el polo de multiplicidad , el residuo se puede calcular mediante la fórmula: $a$ $norte$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \sobre dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

caso especial $n=1$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Si la función tiene un polo simple en el punto , donde y son funciones holomorfas en la vecindad , , , entonces se puede usar una fórmula más simple: $f(z)={\frac{g(z)}{h(z)))$ $a$ $g(z)$ $h(z)$ $a$ $h(a)=0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Muy a menudo, especialmente en el caso de puntos esencialmente singulares , es conveniente calcular el residuo utilizando el desarrollo de la función en serie de Laurent. Por ejemplo, dado que el coeficiente de at es igual a 1. ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

Aplicaciones de la teoría de los residuos

En la mayoría de los casos, la teoría de los residuos se aplica para calcular varios tipos de expresiones integrales utilizando el teorema principal de los residuos . A menudo útil en estos casos es el lema de Jordan .

Cálculos de integrales definidas de funciones trigonométricas

Sea la función una función racional de las variables y . Para calcular integrales de la forma conviene utilizar las fórmulas de Euler . Suponiendo que , y haciendo las transformaciones correspondientes, obtenemos: $R(u,\;v)$ $tu$ $v$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varfi}}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mahop {{\ matemáticas {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Cálculo de integrales impropias

Para calcular integrales impropias utilizando la teoría de los residuos, se utilizan los siguientes dos lemas:

1. Sea la función holomorfa en el semiplano superior y en el eje real, excepto por un número finito de polos que no se encuentran en el eje real y . Después $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im}\,z\geqslant 0\}$ $norte$ $\lim _{{z\to \infty}}zf(z)=0$

\int \limits_{{-\infty}}^{{+\infty}}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum_{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Sea la función holomorfa en el semiplano superior y en el eje real, excepto por un número finito de polos , que no están en el eje real, y . Después $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im}\,z\geqslant 0\}$ $norte$ $\lim _{{z\to \infty}}zf(z)=0$ $\alfa >0$

\int \limits _{{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

En este caso, las integrales del lado izquierdo de las igualdades no tienen por qué existir y por lo tanto se entienden sólo en el sentido del valor principal (según Cauchy) .

Análisis complejo multivariado

Residuo de forma y residuo de clase

Deducción local

Flujo Residual

Notas

↑ H. Poincaré. Sur les résidues des integrales doubles // Acta Math. - 1887. - Nº 9 . - S. 321-380 . -doi : 10.1007/ BF02406742 .
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. - 3ª ed., añadir. — M.: Nauka, 1974. — 320 p.

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Representaciones integrales y residuos en análisis complejo multidimensional. - Novosibirsk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Residuos multidimensionales y sus aplicaciones. - Novosibirsk: Nauka, 1988.