Funciones hiperbólicas

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Las funciones hiperbólicas son una familia de funciones elementales expresadas en términos exponenciales y estrechamente relacionadas con las funciones trigonométricas .

Definición

Las funciones hiperbólicas vienen dadas por las siguientes fórmulas:

seno hiperbólico :

\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

(denotado en la literatura inglesa ) $\sinh x$

coseno hiperbolico :

\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}

(denotado en la literatura inglesa ) $\cosh x$

tangente hiperbólica :

\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x }+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

(denotado en la literatura inglesa ) $\tanh x$

cotangente hiperbólica :

\operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1 }}

(denotado en la literatura inglesa ) $\coth x$

secante hiperbólica :

{\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x))))

La secante hiperbólica a veces también se denota como . $\operatorname {sech} x$

cosecante hiperbólica :

{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x))))

Definición geométrica

En vista de la relación , las funciones hiperbólicas dan una representación paramétrica de la hipérbola ( , ). En este caso, el argumento es, donde es el área del triángulo curvilíneo , tomado con el signo "+" si el sector se encuentra por encima del eje , y "-" en el caso contrario. Obviamente, las funciones hiperbólicas también se definen a través de este parámetro, por ejemplo, las ecuaciones del seno hiperbólico en forma paramétrica: , donde es la ordenada del punto de la hipérbola correspondiente al área . Esta definición es análoga a la definición de funciones trigonométricas en términos del círculo unitario , que también se puede construir de manera similar. $\nombre de operador {ch} ^{2}t-\nombre de operador {sh} ^{2}t=1$ ${\ estilo de visualización x^{2}-y^{2}=1}$ $x=\nombre del operador {ch} t$ $y=\nombre del operador {sh} t$ $t=2S$ $S$ $OQR$ $BUEY$ $x=t,y=f(t)$ $pie)$ $t=2S$

Propiedades

Conexión con funciones trigonométricas

Las funciones hiperbólicas se expresan en términos de funciones trigonométricas del argumento imaginario .

$\operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)$ .

$\operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x$ .

La función de Gudermann relaciona funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas sin involucrar números complejos .

Relaciones importantes

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.$

Prueba

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\ derecha)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+ e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^ {-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

Par/Impar :
1. $\nombre de operador {sh} (-x)=-\nombre de operador {sh} x.$
2. $\nombre de operador {ch} (-x)=\nombre de operador {ch} x.$
3. $\nombre del operador {th} (-x)=-\nombre del operador {th} x.$
4. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cth} (-x) = - \ nombre del operador {cth} x.}$
5. $\nombre del operador {sch} (-x)=\nombre del operador {sch} x.$
6. $\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} x+1.$
Fórmulas de adición :
1. $\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.$
2. $\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.$
3. $\nombre de operador {th} (x\pm y)={\frac {\nombre de operador {th} x\pm \nombre de operador {th} y}{1\pm \nombre de operador {th} x\,\nombre de operador {th} y} }.$
4. $\operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y} }.$
Fórmulas de doble ángulo:
1. $\operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x }}.$
2. $\nombre de operador {ch} 2x=\nombre de operador {ch} ^{2}x+\nombre de operador {sh} ^{2}x=2\nombre de operador {ch} ^{2}x-1=1+2\nombre de operador {sh} ^{2}x={\frac {1+\nombre del operador {th} ^{2}x}{1-\nombre del operador {th} ^{2}x}}.$
3. $\nombre de operador {th} 2x={\frac {2\nombre de operador {th} x}{1+\nombre de operador {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).$
5. $\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x }}.$
6. $\operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.$
Fórmulas de ángulos múltiples:
1. $\nombre de operador {sh} 3x=4\nombre de operador {sh} ^{3}x+3\nombre de operador {sh} x.$
2. $\nombre de operador {ch} 3x=4\nombre de operador {ch} ^{3}x-3\nombre de operador {ch} x.$
3. $\operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.$
4. $\nombre de operador {sh} 5x=16\nombre de operador {sh} ^{5}x+20\nombre de operador {sh} ^{3}x+5\nombre de operador {sh} x.$
5. $\nombre de operador {ch} 5x=16\nombre de operador {ch} ^{5}x-20\nombre de operador {ch} ^{3}x+5\nombre de operador {ch} x.$
6. $\operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^ {4}x+10\nombre del operador {th} ^{2}x+1}}.$
Obras de arte:
1. $\operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (xy)}{2}}.$
2. $\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (xy)}{2}}.$
3. $\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (xy)}{2}}.$
4. $\operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (xy)}{\operatorname {ch} (x+y) +\nombre del operador {ch} (xy)}}.$
cantidades:
1. $\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2 }}.$
2. $\nombre de operador {ch} x+\nombre de operador {ch} y=2\nombre de operador {ch} {\frac {x+y}{2}}\nombre de operador {ch} {\frac {xy}{2}}.$
3. $\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {xy}{2}}.$
4. $\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y)).$
Fórmulas de degradación:
1. $\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.$
2. $\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.$
Derivados :

Función $f(x)$	Derivado $f'(x)$	Nota
${\ estilo de visualización \ matemáticas {sh} \ x}$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {ch} \ x}$	Prueba $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {ch} \ x}$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {sh} \ x}$	Prueba $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
${\ estilo de visualización \ mathrm {th} \ x}$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Prueba $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch( x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}} ={\frac{1}{ch^{2}(x)))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {cth} \ x}$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Prueba $(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)))\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)- ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x )}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{ \frac{1}{sh^{2}(x)}}$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {sch} \ x}$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$	Prueba $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {csch} \ x}$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$	Prueba $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$

Integrales : Ver también: Lista de integrales de funciones hiperbólicas , Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas
1. $\int \nombre del operador {sh} x\,dx=\nombre del operador {ch} x+C.$
2. $\int \nombre del operador {ch} x\,dx=\nombre del operador {sh} x+C.$
3. $\int \nombre del operador {th} x\,dx=\ln \nombre del operador {ch} x+C.$
4. $\int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.$
5. $\int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.$
6. $\operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.$
7. $\operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.$
8. $\operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.$
Representación en términos de la tangente hiperbólica de un medio ángulo :
1. $\operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
2. $\operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1-\operatorname {th} ^{2}{\ fracción {x}{2}}}}}$
3. $\operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
4. $\operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$
5. $\operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1+\operatorname {th} ^{2}{\ fracción {x}{2}}}}}$
6. $\operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$

Desigualdades

Para todos se ejecuta: $x\en \mathbb {R}$

$0\leq \nombre de operador {ch} x-1\leq |\nombre de operador {sh} x|<\nombre de operador {ch} x$
$|\nombre del operador {th} x|<1$

Expansión de la serie de potencia

\operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7 }}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{ 6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7} }{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1 }}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}

\operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac { 2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n }x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi

( Serie Laurent )

\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n }\,x^{2n}}{(2n)!}}

Estos son los números de Bernoulli y los números de Euler . $B_{2n}$ $E_{2n}$

Gráficos

Propiedades analíticas

El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son analíticos en todo el plano complejo, excepto en el punto esencialmente singular en el infinito. La tangente hiperbólica es analítica en todas partes, excepto en los polos en los puntos , donde es un número entero. Los residuos en todos estos polos son iguales a uno. La cotangente hiperbólica es analítica en todas partes, excepto en los puntos , sus residuos en estos polos también son iguales a uno. $z=i\pi (n+1/2)$ $norte$ $z=i\pi n$

Funciones hiperbólicas inversas

También se denominan funciones de área: el prefijo "área-" se agrega a los nombres de las funciones hiperbólicas correspondientes - de lat. "área" - "área". Los principales valores de las funciones de área están definidos por las siguientes expresiones.

$\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1)))$ - seno hiperbólico inverso, área-seno.
$\operatorname {arco} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — coseno hiperbólico inverso, coseno del área.
$\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ - tangente hiperbólica inversa, área tangente.
$\operatorname {arco} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — cotangente hiperbólica inversa, área cotangente.
$\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x));0<x\leq 1$ — secante hiperbólica inversa, área secante. Tenga en cuenta que la solución también satisface la ecuación , pero los valores principales de las funciones de área son funciones de un solo valor. $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x))$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sch} y = x}$
$\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2)))){x))=\left\{{\begin {matriz}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2)))){x)),\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\ sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{matriz}}\right.$ — cosecante hiperbólica inversa, cosecante de área.

Gráficos

Relación entre algunas funciones hiperbólicas inversas y trigonométricas inversas:

\operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsen} (-ix),

\operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsen} x,

\operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),

\operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),

\operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arco} \ x,

donde i es la unidad imaginaria .

Estas funciones tienen la siguiente expansión en serie:

\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac { 1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1) ^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}),\quad \ izquierda \ vert x \ derecha \ vert <1;

\operatorname {arco} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3 }} \cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _ {n =1}^{\infty}\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){ \frac{x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;

\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7} {7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.

En la literatura extranjera, las funciones hiperbólicas inversas a menudo se denotan con un signo menos de primer grado: por ejemplo, se escriben como (y denota otra función - ), etc. $\nombre del operador {Arth} \,x$ $\operatorname {tanh} ^{-1}x$ $(\nombre del operador {tanh} \,x)^{-1}$ $\nombre del operador {cth} \,x$

Historia

Los historiadores descubrieron la primera aparición de funciones hiperbólicas en los escritos del matemático inglés Abraham de Moivre ( 1707 , 1722 ). Una definición moderna y un estudio detallado de ellos fue realizado por Vincenzo Riccati en 1757 ("Opusculorum", Volumen I), también propuso sus designaciones: , . Riccati partió de la consideración de una sola hipérbola (ver la figura en la sección #Definición ) . $\nombre del operador {sh}$ $\nombre del operador {ch}$

Johann Lambert ( 1768 ) llevó a cabo un descubrimiento independiente y un mayor estudio de las propiedades de las funciones hiperbólicas , quien estableció un amplio paralelismo entre las fórmulas de la trigonometría ordinaria e hiperbólica. N. I. Lobachevsky utilizó posteriormente este paralelismo, tratando de demostrar la consistencia de la geometría no euclidiana , en la que la trigonometría circular se reemplaza por la hiperbólica.

Se ha establecido cierta inconsistencia en la notación de funciones hiperbólicas. Por ejemplo, en la Enciclopedia de Brockhaus y Efron , se utilizan las designaciones , las designaciones arraigadas en la literatura en idioma ruso y arraigadas en la literatura en idioma inglés . $\nombre del operador {sinhyp}$ $\operatorname {coshyp}$ $\nombre del operador {sh},\nombre del operador {ch}$ $\ sinh , \ cosh$

Aplicación

Las funciones hiperbólicas ocurren a menudo en el cálculo de varias integrales . Algunas integrales de funciones racionales y de funciones que contienen radicales se pueden calcular simplemente cambiando variables usando funciones hiperbólicas.

De la misma manera que las matrices de vista describen rotaciones en el espacio euclidiano bidimensional , las matrices describen rotaciones en el espacio de Minkowski bidimensional más simple . Debido a esto, las funciones hiperbólicas a menudo ocurren en la teoría de la relatividad . ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix))$ ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x& {\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$

Una cuerda o cadena uniforme, suspendida libremente en sus extremos, toma la forma de la gráfica de una función (en relación con la cual la gráfica del coseno hiperbólico a veces se denomina catenaria ). Esta circunstancia se aprovecha en el diseño de arcos , ya que la forma del arco en forma de catenaria invertida distribuye la carga de la forma más eficaz. $y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$

Literatura

Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Matemáticas superiores. Ecuaciones diferenciales. Integrales múltiples. Filas. Funciones de variable compleja. - Moscú: Nauka, 1985. - S. 464.

Shervatov V. G. Funciones hiperbólicas - Gostekhizdat, 1954. - 58 p. - ( Clases populares de matemáticas ). — 25.000 copias.
A.R. Yanpolsky. funciones hiperbólicas. - Moscú, 1960. - 195 p.

Enlaces

GonioLab : demostración interactiva de funciones trigonométricas e hiperbólicas en Java Web Start
TSB: Signos matemáticos
Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas (inglés)

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Gran catalán gran noruego Gran soviet (1 ed.) Brockhaus y Efron Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 11979371t J9U : 987007553158105171 LCCN : sh85052338 NDL : 00571407 NKC : ph1124553