Aperi constante

Números irracionales ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π y π

La constante de Apéry ( ing. Constante de Apéry , fr. Constante d'Apéry ) es un número real , denotado (a veces ), que es igual a la suma de los números enteros positivos recíprocos a los cubos y, por lo tanto, es un valor particular de Riemann . función zeta : $\zeta (3)$ $\zeta _{3}$

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\puntos

El valor numérico de la constante se expresa como una fracción decimal no periódica infinita [1] [2] :

\displaystyle \zeta (3)=

1.202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Nombrado en honor a Roger Apéry , quien demostró en 1978 que es un número irracional ( teorema de Apéry [3] [4] ). La prueba inicial era de naturaleza técnica compleja, luego se encontró una versión simple de la prueba utilizando los polinomios de Legendre . No se sabe si la constante de Apéry es un número trascendental . $\zeta (3)$

Esta constante ha atraído durante mucho tiempo el interés de los matemáticos: en 1735, Leonhard Euler [5] [6] la calculó con una precisión de hasta 16 dígitos significativos (1,202056903159594).

Aplicaciones en matemáticas y física

En matemáticas, la constante de Apéry aparece en muchas aplicaciones. En particular, el recíproco de , da la probabilidad de que tres enteros positivos cualesquiera elegidos al azar sean coprimos , en el sentido de que para , la probabilidad de que tres enteros positivos menores que (y elegidos al azar) sean coprimos es simple, tiende a . $\zeta (3)$ $N\to\infty$ ${\estilo de texto {N}}$ ${\ estilo de visualización 1/\ zeta (3)}$

La constante de Apéry surge naturalmente en una serie de problemas de física, incluidas las correcciones de segundo orden (y superiores) del momento magnético anómalo de un electrón en la electrodinámica cuántica . Por ejemplo, el resultado del diagrama de Feynman de dos bucles , que se muestra en la figura, da (aquí, se supone una integración de 4 dimensiones sobre los momentos de bucles internos que contienen solo partículas virtuales sin masa , así como la normalización correspondiente, incluido el grado de cantidad de movimiento de la partícula exterior ). Otro ejemplo es el modelo bidimensional de Debye . ${\ estilo de visualización 6 \ zeta (3)}$ $k$

Relación con otras funciones

La constante de Apéry está relacionada con el valor particular de la función poligamma de segundo orden :

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

y aparece en la expansión de la serie de Taylor de la función gamma :

\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{ \tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon^{3}+O(\varepsilon^{4})\right]

donde las contribuciones que contienen la constante de Euler-Mascheroni se factorizan en la forma . $e^{{-\gamma\varepsilon}}$ ${\ estilo de texto {\ gamma ))$

La constante de Apéry también está relacionada con valores del trilogaritmo (un caso especial del polilogaritmo ): ${\ estilo de visualización \ mathrm {Li} _ {3} (z)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Li} _ {n} (z)}$

{\ estilo de visualización \ mathrm {Li} _ {3} (1) = \ zeta (3)}

\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{ \tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)

Representaciones de filas

Algunas otras series cuyos términos son inversos a los cubos de los números naturales también se expresan en términos de la constante de Apéry:

\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{k-1}}{k^ {3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac{1}{3^{3}}} -{\frac{1}{4^{3}}}+\cdots\right)

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {1}{(2k+1)^{3}}} ={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac { 1}{7^{3}}}+\cdots\derecha)

Otros resultados bien conocidos son la suma de una serie que contiene números armónicos : ${\ estilo de texto {H_{k))}$

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}

y el doble de la cantidad:

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty}\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {1 {jk(j+k)}}

Para probar la irracionalidad , Roger Apéry [3] utilizó la representación: $\zeta (3)$

\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}{\frac {(k!) ^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}

donde es el coeficiente binomial . ${\textstyle {{\binom {2k}{k))}={\frac {(2k)!}{k!^{2))))$

En 1773, Leonhard Euler [7] dio una representación en forma de serie [8] (que posteriormente fue redescubierta varias veces en otros trabajos):

\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]

en la que los valores de la función zeta de Riemann de argumentos pares se pueden representar como , donde están los números de Bernoulli . ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{{k+1}}(2\pi )^{{2k}}B_{{2k}}/(2(2k)!)}}$ ${\ estilo de texto {B_{{2k))))$

Ramanujan dio varias representaciones en serie, que son notables porque proporcionan varios dígitos significativos nuevos en cada iteración. Incluyen [9] :

\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3 }(e^{{2\pik}}-1)}}

Simon Pluff obtuvo filas de un tipo diferente [10]

\zeta (3)=14\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)))-{\tfrac {11} {2}}\sum_{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}-1)))-{\ tfrac{7}{2}}\sum_{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}+1)} }\;,

así como representaciones similares para otras constantes . $\zeta(2n+1)$

También se han obtenido otras representaciones en serie, entre ellas:

\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum_{{k=1}}^{\infty}(-1)^{{k-1}}{\frac {(56k^ {2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {{\left( -1\derecha)}^{k}\,2^{{-5+12\,k}}\,k\,\izquierda(-3+9\,k+148\,k^{2}- 432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\ ,k\derecha)!}^{6}}{{\izquierda(-1+2\,k\derecha)}^{3}\,\izquierda(3\,k\derecha)!\,{\izquierda (1+4\,k\derecha)!}^{3}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum_{{k=0}}^{\infty}(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+ 250k+77)\cdot k!^{{10}}}{(2k+1)!^{5}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum_{{k=0}}^{\infty}(-1)^{k}{\frac {((2k+1)! (2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}

Algunas de estas representaciones se han utilizado para calcular la constante de Apéry con muchos millones de dígitos significativos.

En 1998 se obtuvo una representación en forma de serie [11] que permite calcular un bit arbitrario de la constante de Apéry.

Representaciones en forma de integrales

También hay una gran cantidad de representaciones integrales diferentes para la constante de Apéry, a partir de fórmulas triviales como

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits_{0}^{\infty}\!{\frac {x^{2}}{e^{x} -1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty}\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+ 1}}\,dx

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx

siguiendo desde las definiciones integrales más simples de la función zeta de Riemann [12] , hasta otras bastante complejas, como

\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty}\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)} {\left(x^{2}+1\right){\grande [}\mathrm {ch} {\grande (}{\frac {1}{2}}\pi x{\grande)}{\grande ]}^{2}}}\,dx\qquad

( Johan Jensen [13] ),

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad

( Frits Böckers [14] ),

\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x))}{\,(1+x^{2})^{4} \,}}\,dx\qquad

(Yaroslav Blagushin [15] ).

Fracciones continuas

La fracción continua de la constante de Apéry (secuencia A013631 en OEIS ) es la siguiente:

{\ estilo de visualización \ zeta (3) = [1; 4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=}

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

La primera fracción continua generalizada para la constante de Apéry, que tiene una regularidad, fue descubierta de forma independiente por Stieltjes y Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\puntos}{\puntos +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\puntos }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Se puede convertir a:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\puntos}{\puntos +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\puntos }}}}}}}}}}}}}}}}

Aperi pudo acelerar la convergencia de la fracción continua para una constante:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\puntos }}}}}}}}}}}}}}

[16] [17]

Cálculo de dígitos decimales

El número de dígitos significativos conocidos de la constante de Apéry ha crecido significativamente en las últimas décadas, gracias tanto al aumento de la potencia informática como a la mejora de los algoritmos [18] . $\zeta (3)$

Número de dígitos significativos conocidos de la constante de Apéry

\zeta (3)

la fecha	Número de dígitos significativos	Autores de cálculo
1735	dieciséis	Leonard Euler [5] [6]
1887	32	Thomas Ioannes Zancos
1996	520 000	Greg J. Fee y Simon Plouffe
1997	1,000,000	Bruno Haible y Thomas Papanikolaou
1997 mayo	10 536 006	patricio demichel
febrero de 1998	14 000 074	Sebastián Wedeniwski
1998 marzo	32 000 213	Sebastián Wedeniwski
1998 julio	64 000 091	Sebastián Wedeniwski
1998 diciembre	128 000 026	Sebastián Wedeniwski [19]
2001, septiembre	200 001 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
febrero de 2002	600 001 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
febrero de 2003	1,000,000,000	Patrick Demichel y Xavier Gourdon
abril de 2006	10,000,000,000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [20]
enero de 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee y Raymond Chan [21]
marzo de 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee y Raymond Chan [21]
septiembre de 2010	100,000,001,000	Alexander J Yee [22]
Septiembre 2013	200 000 001 000	Roberto J. Setty [22]
agosto 2015	250,000,000,000	Ron Watkins [22]
diciembre 2015	400,000,000,000	Dipanjan Nag [22]
agosto 2017	500,000,000,000	Ron Watkins [22]
Mayo 2019	1,000,000,000,000	Ian Cutress [22]
julio 2020	1 200 000 000 000	Seung Min Kim [23]

Otros valores de la función zeta en puntos impares

Hay muchos estudios dedicados a otros valores de la función zeta de Riemann en puntos impares en . En particular, los trabajos de Vadim Zudilin y Tangay Rivoal muestran que un conjunto infinito de números es irracional [24] , y que al menos uno de los números , , o es irracional [25] . $\zeta(2n+1)$ $n>1$ $\zeta(2n+1)$ ${\ estilo de visualización \ zeta (5)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta (7)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta (9)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta (11)}$

Notas

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Enlaces

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V. Ramaswami (1934), Notas sobre la función ζ de Riemann , J. London Math. soc. T. 9: 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 , < http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf >
Weisstein, constante de Eric W. Apéry (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Números con nombres propios

constantes matemáticas

Algebraico

Trascendental ,
probablemente trascendental

Grados de mil

Antiguos números rusos

Otras potencias de diez

potencias de doce

otro entero

Otros números

unidad imaginaria

Numeros irracionales
Constante de Apéry ( ζ(3) ) Constante de Erdős-Borwein ( E ) constantes de Feigenbaum Sueño sofomoriano Número primo constante (ρ) Número plástico (ρ) Logaritmo de dos (ln 2) raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ) Raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) Raíz cuadrada de 3 ( √ 3 ) Raíz cuadrada de 5 ( √5 ) Proporción áurea (φ) Súper proporción áurea (ψ) Sección de plata ( δS ) mi π Constante de Gelfond ( e π ) Constante de Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) Constante inversa de Fibonacci (ψ)
trascendental Trigonométrico