Divisor (geometría algebraica)

En geometría algebraica, los divisores son una generalización de subvariedades de alguna variedad algebraica de codimensión 1. Hay dos generalizaciones diferentes: los divisores de Weyl y los divisores de Cartier (llamados así por André Weil y Pierre Cartier ), estos conceptos son equivalentes en el caso de las variedades ( o esquemas ) sin singularidades .

Divisores de Weil

Definición

Un divisor de Weyl en una variedad algebraica (o, más generalmente, en un esquema de Noether ) es una combinación lineal finita de , donde son subconjuntos cerrados irreducibles y son coeficientes enteros. Obviamente, los divisores de Weyl forman un grupo abeliano con respecto a la suma; este grupo se llama. Un divisor de la forma se llama simple y un divisor para el cual todos los coeficientes son no negativos se llama efectivo . $X$ ${\ suma _ {i} n_ {i} [Z_ {i}]}$ $[Z_{i}]$ $X$ $n_{yo}$ ${\mathrm {bien}}\,X$ $[Z]$ $n_{yo}$

Grupo de clase divisor

Suponga que el esquema es completo , separable y regular en codimensión 1 (en particular, estas propiedades se cumplen para variedades algebraicas suaves). La regularidad en la codimensión 1 significa que el anillo de puntos genérico local de cualquier subconjunto cerrado irreducible de la codimensión 1 es regular (y noetheriano, ya que es una localización de un anillo noetheriano), y por lo tanto es un anillo de valoración discreto . Cualquier función racional sobre (un elemento del campo de cocientes del anillo de funciones regulares ) tiene alguna norma en este anillo. Si la norma de una función racional es mayor que cero para algún subconjunto irreducible , entonces se dice que la función racional tiene un cero en , y si es menor que cero, tiene un polo. Dado que el esquema es noetheriano, se deduce que la norma de una función racional no es igual a cero solo para un número finito de subconjuntos irreducibles, por lo que cada función racional está asociada a un divisor denotado por . Los divisores que se pueden obtener de esta forma se denominan divisores principales . $X$ $X$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $(F)$

Como , los divisores principales forman un subgrupo en . Un grupo de factores por un subgrupo de divisores principales se denomina grupo de clases de divisores y se denota por . El grupo de clase divisor en sí mismo es un esquema interesante invariante (la trivialidad del grupo de clase de un esquema afín es un criterio para la factorialidad de un anillo siempre que sea noetheriano e integralmente cerrado ) [1] , y también, en algunos casos, permite clasificar todos los paquetes unidimensionales sobre un esquema dado. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {bien}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Especificación}}A$ $A$ $A$

Divisores de Weil y paquetes de líneas

Sea un haz de líneas sobre un esquema (entero, noetheriano, regular en codimensión 1) ; corresponde a un haz de secciones localmente isomorfas al anillo de funciones regulares sobre . Usando estos isomorfismos, cualquier sección racional de un haz dado (es decir, una sección sobre algún subconjunto denso abierto) se puede asociar con un divisor de sus ceros y polos, denotado por [2] . Dos secciones racionales diferentes difieren en la multiplicación por una función racional, por lo que esta comparación define un mapeo bien definido del grupo de Picard al grupo de clase divisor: . También se puede comprobar que esta aplicación es un homomorfismo (la suma de divisores corresponde al producto tensorial de paquetes), en el caso de un esquema normal es inyectivo, y en el caso de factorialidad local del esquema es sobreyectivo [3 ] . En particular, todas estas condiciones se cumplen para variedades algebraicas suaves, lo que da una clasificación de haces de líneas sobre ellas hasta el isomorfismo. Por ejemplo, todos los paquetes unidimensionales sobre un esquema localmente factorial afín son triviales, ya que su grupo de clase divisor es trivial. ${\ matemática L}$ $X$ $X$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Imagen}}\,X\to {\mathrm {Cl}}\,X$

Divisores de Cartier

Para trabajar con esquemas arbitrarios que tienen singularidades, suele ser más conveniente otra generalización del concepto de una subvariedad de codimensión 1 [4] . Sea una cobertura de un esquema por esquemas afines, y sea una familia de funciones racionales sobre las correspondientes (en este caso, una función racional significa un elemento del anillo completo de cocientes). Si estas funciones son compatibles, en el sentido de que difieren al multiplicarse por una función regular invertible, entonces esta familia define un divisor de Cartier. $tu_{i}$ $X$ $f_{i}$ $tu_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$

Más precisamente, sea el anillo completo de fracciones del anillo de funciones regulares (donde es un subconjunto abierto [5] afín arbitrario ). Dado que los subconjuntos afines forman la base de la topología , todos ellos definen de forma única un pregavilla on , y la gavilla correspondiente se denota por . Un divisor de Cartier es una sección global del haz de cocientes , donde es un haz de funciones regulares reversibles. Se tiene una sucesión exacta , aplicándole el funtor exacto izquierdo de secciones globales , obtenemos la sucesión exacta . Los divisores de Cartier que se encuentran en la imagen de un mapeo de se llaman divisores principales . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X}(U)$ $tu$ $X$ $K(U)$ $X$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\ matemáticas O}_{X}^{*}$ $0\a {\mathcal O}_{X}^{*}\a {\mathcal K}_{X}^{*}\a {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\a 0$ $0\a \Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\a \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\a \Gamma (X, {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Hay un homomorfismo natural del grupo de divisores de Cartier (la operación de grupo corresponde a la multiplicación de funciones) al grupo de divisores de Weyl; si es un esquema noetheriano separable completo cuyos anillos locales son factoriales, este mapeo es un isomorfismo. En el caso de que no se cumpla la condición de factorialidad local, los divisores de Cartier corresponden localmente a los principales divisores de Weyl (divisores que se definen como ceros de alguna función racional en una vecindad de cada punto). Un ejemplo de un divisor de Weil que no es un divisor de Cartier es una línea en un cono cuadrático que pasa por su vértice. $X$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

Un divisor de Cartier, como un divisor de Weyl, se puede asociar con un paquete de líneas (o, de manera equivalente, una gavilla invertible ). El mapeo del grupo factorial de divisores de Cartier sobre el subgrupo de divisores principales al grupo de Picard es un homomorfismo inyectivo, y en el caso de esquemas proyectivos o completos, es sobreyectivo.

Divisores efectivos de Cartier

Se dice que un divisor de Cartier es efectivo si todas las funciones que lo definen son regulares en los conjuntos correspondientes . En este caso, el haz invertible correspondiente al divisor es el haz de ideales , es decir, el haz de funciones que se desvanecen en algún subesquema cerrado. Por el contrario, este subesquema cerrado define únicamente un divisor efectivo, por lo que los divisores efectivos de Cartier se pueden definir como subesquemas cerrados que se pueden definir localmente como el conjunto de ceros de una sola función que no es un divisor de cero [6] . En todo un esquema noetheriano separable cuyos anillos locales son factoriales, los divisores efectivos de Cartier corresponden exactamente a los divisores efectivos de Weyl [7] . $f_{i}$ $tu_{i}$ $X$ $X$

Notas

↑ Hartshorne, 1981 , pág. 174.
↑ Ravi Vakil , pág. 388.
↑ Ravi Vakil , pág. 389, 391.
↑ Hartshorne, 1981 , pág. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , pág. 236, 396.
↑ Hartshorne, 1981 , pág. 191.

Literatura

R. Hartshorne. geometría algebraica. — M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Conceptos erróneos sobre K X // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - Nº 25 . — Pág. 203-206. -doi : 10.5169 / sellos-50379 .

Enlaces

Ravi Vakil. MATH 216: Fundamentos de Geometría Algebraica (versión 11/06/2013) . - apuntes del curso de geometría algebraica, leído en la Universidad de Stanford.