Legumbres

Legumbres
${\vec p}=m{\vec v}$
Dimensión	LMT- 1
Unidades
SI	kg·m/s
SGA	gramos cm/s
notas
cantidad vectorial

El impulso ( cantidad de movimiento ) es una cantidad física vectorial , que es una medida del movimiento mecánico de un cuerpo.

En mecánica clásica, la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al producto de la masa de este cuerpo por su velocidad ; la dirección de la cantidad de movimiento coincide con la dirección del vector velocidad : $metro$ ${\vec{v)),$

{\vec {p}}=m{\vec {v}}.

En física relativista , el momento se calcula como:

{\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

dónde está la velocidad de la luz ; en el límite por pequeño, la fórmula se vuelve clásica. $C$ $v$

La ley física más importante en la que aparece el momento de un cuerpo es la segunda ley de Newton :

{\frac {{\mbox{d}}{\vec {p}}}{{\mbox{d}}t}}={\vec {F}},

aquí está el tiempo, es la fuerza aplicada al cuerpo. $t$ $\vec{F}$

Al escribir a través del momento (a diferencia de la aceleración ), la ley es aplicable no solo en la mecánica clásica, sino también en la relativista. ${\vec {F}}=m{\vec {a)),$ ${\ vec {a}}$

En su forma más general, la definición suena: el impulso es una integral aditiva del movimiento de un sistema mecánico , conectado según el teorema de Noether con simetría fundamental : la homogeneidad del espacio .

El concepto de "momentum" tiene generalizaciones en mecánica teórica , para el caso de la presencia de un campo electromagnético (tanto para una partícula en el campo como para el propio campo), así como en mecánica cuántica .

La historia del término

Los filósofos naturales medievales , de acuerdo con las enseñanzas de Aristóteles , creían que ciertamente se requiere alguna fuerza para mantener el movimiento, sin fuerza el movimiento se detiene. Algunos científicos objetaron esta afirmación: ¿por qué la piedra lanzada sigue moviéndose, aunque se pierde la conexión con la fuerza de la mano?

Para responder a tales preguntas, Jean Buridan (siglo XIV) cambió el concepto de “ ímpetu ”, anteriormente conocido en filosofía. Según Buridan, una piedra voladora tiene un "ímpetu" que se mantendría en ausencia de la resistencia del aire. En este caso, el "ímpetu" es directamente proporcional a la velocidad. En otro lugar escribe que los cuerpos con más peso son capaces de contener más ímpetu.

En la primera mitad del siglo XVII, René Descartes introdujo el concepto de "momentum". Sugirió que no solo se conserva el impulso de un cuerpo aislado de influencias externas, sino también de cualquier sistema de cuerpos que interactúan solo entre sí. El concepto físico de masa en ese momento aún no se había formalizado, y definió la cantidad de movimiento como el producto del "tamaño del cuerpo por la velocidad de su movimiento". Por velocidad, Descartes entendía el valor absoluto (módulo) de la velocidad, sin tener en cuenta su dirección. Por lo tanto, la teoría de Descartes fue consistente con la experiencia solo en algunos casos (por ejemplo, Wallis , Rehn y Huygens la usaron en 1678 para estudiar una colisión absolutamente elástica en el sistema del centro de masa).

Wallis en 1668 fue el primero en proponer considerar la cantidad de movimiento no como un escalar, sino como una cantidad dirigida, teniendo en cuenta las direcciones utilizando los signos más y menos” [1] . En 1670, finalmente formuló la ley de conservación de impulso La prueba experimental de la ley fue que la nueva ley permitía calcular impactos inelásticos, así como impactos en cualquier marco de referencia.

La ley de conservación de la cantidad de movimiento fue demostrada teóricamente por Isaac Newton a través de la tercera y segunda ley de Newton . Según Newton, "la cantidad de movimiento es una medida de tal, establecida en proporción a la velocidad y la masa".

Definición formal abstracta

Un impulso es una cantidad física conservada asociada con la homogeneidad del espacio (es decir, invariante bajo traslaciones ).

De la propiedad de homogeneidad del espacio se sigue la independencia del Lagrangiano de un sistema cerrado de su posición en el espacio: para un sistema bien aislado, su comportamiento no depende de en qué lugar del espacio se encuentre. Según el teorema de Noether , esta homogeneidad implica la conservación de una determinada cantidad física, que se denomina cantidad de movimiento.

En distintas ramas de la física, aplicada a problemas reales, se dan definiciones más específicas de cantidad de movimiento, con las que se puede trabajar y realizar cálculos.

Definiciones de cantidad de movimiento de un cuerpo en mecánica

Mecánica clásica

En mecánica clásica , el impulso total de un sistema de puntos materiales es una cantidad vectorial igual a la suma de los productos de las masas de los puntos materiales y su velocidad:

{\vec p}=\sum_{{i}}m_{i}{\vec {v}}_{i},

en consecuencia, la cantidad se llama cantidad de movimiento de un punto material. Es una cantidad vectorial dirigida en la misma dirección que la velocidad de la partícula. La unidad de impulso en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el kilogramo-metro por segundo (kg m/s). ${\vec p}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}$

La cantidad de movimiento de un cuerpo de dimensiones finitas se encuentra dividiéndolo mentalmente en pequeñas partes, que pueden ser consideradas puntos materiales, seguido de la integración sobre ellas:

{\vec {p}}=\int \rho (x,y,z){\vec {v}}(x,y,z)dxdydz.

El producto bajo la integral se llama densidad de cantidad de movimiento . ${\ estilo de visualización {\ vec {s}} = \ rho {\ vec {v}}}$

Mecánica relativista

En mecánica relativista , el momento de un sistema de puntos materiales es la cantidad:

{\vec {p}}=\sum_{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2 }/c^{2}}}},

donde es la masa del punto material th,

mi

i

\vec v_i

— su velocidad.

También se introduce un impulso de cuatro dimensiones , que para un punto material con una masa se define como: $metro$

p_{\mu }=(E/c,{\vec {p)))=\left({\frac {mc}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)) )),{\frac {m{\vec {v))}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))\derecha).

En la práctica, a menudo se utilizan las relaciones entre la masa, el momento y la energía de una partícula:

E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad \qquad \mathbf {p} ={\frac {E {c^{2}}}\,\matemáticas {v} .

Propiedades de impulso

Aditividad. Esta propiedad significa que el impulso de un sistema mecánico formado por puntos materiales es igual a la suma de los impulsos de todos los puntos materiales incluidos en el sistema [2] .
Invariancia del valor absoluto del impulso con respecto a la rotación del ISO. [2] En este caso, en el caso general, al cambiar la IFR , no hay invariancia del impulso ni de su módulo ni en la mecánica relativista ni en el límite clásico.
La razón del cambio de cantidad de movimiento con el tiempo es la fuerza (según la segunda ley de Newton , ). ${\mbox{d}}{\vec{p}}/{\mbox{d}}t={\vec{F}}$
Preservación. La cantidad de movimiento de un sistema que no se ve afectado por ninguna fuerza externa (o están compensadas) se conserva en el tiempo: (ver artículo Ley de conservación de la cantidad de movimiento ). ${\mbox{d}}{\vec{p}}/{\mbox{d}}t=0$

La conservación de la cantidad de movimiento se deriva de la segunda y tercera ley de Newton : escribir la segunda ley para cada uno de los puntos materiales que componen el sistema, presentar la fuerza que actúa sobre cada punto como externa más la fuerza de interacción con todos los demás puntos, luego resumir , obtenemos: ${\vec {F}}_{i,ext}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum_{i}{\frac {d{\vec {p}}_{i}}{dt}}=\ sum_{i}{\vec {F}}_{i}=\sum_{i}\left({\vec {F}}_{i,ext}+\sum_{j,j\neq j }{\vec {F}}_{i,j}\right)=\sum_{i}{\vec {F}}_{i,ext}+\sum_{i}\sum_{j, j\neq i}F_{i,j}.

El primer término es igual a cero debido a la compensación de fuerzas externas, y el segundo debido a la tercera ley de Newton (los términos y en la doble suma se anulan por pares). ${\vec{F}}_{a,b}$ ${\vec{F}}_{b,a}$

El impulso no cambia durante las interacciones que cambian solo las características mecánicas del sistema. Esta propiedad es invariante con respecto a las transformaciones de Galileo [2] . Las propiedades de conservación de la energía cinética, conservación del momento y la segunda ley de Newton son suficientes para obtener una expresión matemática del momento [3] [4] .

En presencia de interacción electromagnética entre puntos materiales , es posible que no se cumpla la tercera ley de Newton, y entonces no habrá conservación de la suma del momento de los puntos. En tales casos, especialmente en mecánica relativista, es más conveniente incluir en el concepto de "sistema" no solo una colección de puntos, sino también el campo de interacción entre ellos. En consecuencia, no solo se tendrán en cuenta los momentos de las partículas que componen el sistema, sino también el momento del campo de interacción. En este caso, se introduce una cantidad, el tensor de energía-momento , que satisface completamente las leyes de conservación.

En cuanto al 4-momento , para un sistema de puntos materiales que no interactúan, su 4-momento total es igual a la suma de todas las partículas. En presencia de interacción, tal sumatoria pierde su significado.

Impulso generalizado

En mecánica teórica en general

En mecánica teórica , el impulso generalizado es la derivada parcial del Lagrangiano del sistema con respecto a la velocidad generalizada:

p_{i}={{\parcial {\mathcal {L}}} \over {\parcial {\dot {q}}_{i}}}.

Un impulso generalizado, como uno no generalizado, se denota con una letra , por lo general, del contexto queda claro lo que está en juego. ${\vec{p));$

La dimensión del impulso generalizado depende de la dimensión de la coordenada generalizada . Si la dimensión es la longitud, entonces tendrá la dimensión de un impulso ordinario, pero si la coordenada es el ángulo (un valor adimensional), entonces adquirirá la dimensión del momento del impulso. Si el Lagrangiano del sistema no depende de alguna coordenada generalizada, entonces de las ecuaciones de Lagrange $q_{yo}$ $Pi}$ $q_{yo}$ $Pi}$ $dp_{i}/dt=0.$

Si la coordenada generalizada es una coordenada ordinaria (y entonces su derivada temporal es simplemente la velocidad), y no hay campos externos, el momento generalizado es idéntico al habitual. Entonces, para una partícula libre, la función de Lagrange tiene la forma:

{\mathcal L}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}

, desde aquí: .

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))

Para una partícula en un campo electromagnético

En un campo electromagnético, el Lagrangiano de una partícula diferirá del dado anteriormente por la presencia de términos adicionales, a saber, En consecuencia, el momento generalizado de la partícula es igual a: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q\varphi +q{\vec {v}}\ c punto {\ vec {A).$

{\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q{\mathbf A} ,

donde es el vector potencial del campo electromagnético , es la carga de la partícula; el potencial escalar también apareció en la expresión para . ${\matemáticas A}$ $q$ ${\ matemática L}$ $\varphi$

Momento del campo electromagnético

El campo electromagnético, como cualquier otro objeto material, tiene un momento, que se puede encontrar fácilmente integrando el vector de Poynting sobre el volumen :

{\mathbf p}={\frac {1}{c^{2))}\int {\mathbf S}dV={\frac {1}{c^{2))}\int [{\mathbf E }\veces {\mathbf H}]dV

(en el sistema SI ).

La existencia de un impulso en un campo electromagnético explica, por ejemplo, un fenómeno como la presión de la radiación electromagnética .

Momentum en la mecánica cuántica

Definición a través de

En mecánica cuántica , el operador de cantidad de movimiento de una partícula se llama operador , el generador del grupo de traslación. Este es el operador hermitiano , cuyos valores propios se identifican con el momento del sistema de partículas. En la representación de coordenadas para un sistema de partículas no relativistas, tiene la forma:

{\sombrero {{\mathbf {P}}}}=\sum_{j}{\hat {{\mathbf {p}}}}_{j}=\sum_{j}-i\hbar \nabla _ {j}

donde es el operador nabla correspondiente a la diferenciación con respecto a las coordenadas de la partícula -ésima. $\nabla _{j}$ $j$

El hamiltoniano del sistema se expresa en términos del operador de cantidad de movimiento:

${\sombrero {H}}=\sum_{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\sombrero {{\mathbf {p}}}}_{i}^{2}+U ({\mathbf {r_{1))},\puntos)$ .

Para un sistema cerrado ( ), el operador de cantidad de movimiento conmuta con el hamiltoniano y la cantidad de movimiento se conserva. $tu=0$

Definición en términos de ondas de De Broglie

La fórmula de De Broglie relaciona el momento y la longitud de onda de De Broglie del objeto en cuestión.

El módulo de impulso es inversamente proporcional a la longitud de onda ${\ estilo de visualización \ lambda:}$

p={\frac h\lambda}

donde es la constante de Planck . $h$

Para partículas de energía no muy alta que se mueven a una velocidad ( la velocidad de la luz ), el módulo de impulso es (donde es la masa de la partícula), y: $v \ ll c$ $p=mv$ $metro$

\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}

En consecuencia, la longitud de onda de De Broglie es tanto menor cuanto mayor es el módulo de impulso.

En forma vectorial, esto se escribe como:

{\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}}

donde es el vector de onda ${\vec k}$

Al igual que en la mecánica clásica, en la mecánica cuántica existe la conservación del momento en sistemas aislados [5] [6] . En aquellos fenómenos en los que se manifiestan las propiedades corpusculares de las partículas, su cantidad de movimiento se escribe " clásicamente " como En este caso, como en la mecánica clásica, la conservación del momento es una consecuencia de la simetría con respecto a los cambios de coordenadas [8] . $p=mv$ ${\displaystyle p=h\lambda^{-1))$

Impulso en hidrodinámica

En hidrodinámica, en lugar de la masa de un punto material, se considera la masa de una unidad de volumen, es decir, la densidad de un líquido o gas.En este caso, en lugar de la cantidad de movimiento, aparece el vector densidad de la cantidad de movimiento, que coincide en significado con el vector de densidad de flujo de masa ${\ estilo de visualización \ rho.}$

{\vec {s}}=\rho {\vec {v}}.

Dado que las características del estado de la materia (incluidas la densidad y la velocidad) en un flujo turbulento están sujetas a fluctuaciones caóticas, las cantidades promediadas son de interés físico. La influencia de las fluctuaciones hidrodinámicas en la dinámica del flujo se tiene en cuenta mediante los métodos de hidromecánica estadística, en los que las ecuaciones de movimiento que describen el comportamiento de las características de flujo promedio de acuerdo con el método de O. Reynolds se obtienen promediando el Navier-Stokes ecuaciones [9] .

Si, de acuerdo con el método de Reynolds, representamos , donde la línea superior es el signo del promedio y el guión es la desviación del promedio, entonces el vector de la densidad de momento promedio tomará la forma: $\rho ={\overline {\rho ))+\rho ',$ ${\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}',$

\ {\overline {\vec {s}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v} ))+{\vec {S)),

donde es el vector de densidad de flujo másico de fluctuación (o " densidad de momento turbulento " [9] ).

\ {\vec S}=\overline {\rho '{\vec v}'}

Representación del momento en la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos, la representación del momento se utiliza a menudo basándose en el uso de la transformada de Fourier. Sus ventajas son: la conveniencia de describir sistemas físicos con la ayuda de energías e impulsos, y no con la ayuda de coordenadas espacio-temporales; estructura más compacta y visual de las variables dinámicas [10] .

Véase también

Notas

↑ Grigoryan A. T. Mecánica desde la antigüedad hasta nuestros días. — M.: Nauka , 1974.
↑ 1 2 3 Aizerman, 1980 , pág. 49.
↑ Aizerman, 1980 , pág. 54.
↑ Sorokin V. S. "La ley de conservación del movimiento y la medida del movimiento en la física" Copia de archivo fechada el 1 de enero de 2015 en Wayback Machine // UFN , 59, p. 325-362, (1956)
↑ Perkins D. Introducción a la física de altas energías. - M., Mir , 1975. - c. 94
↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Física nuclear. - M. : Nauka, 1972. - S. 276. - 670 p.
↑ Feynman RF ]. Conferencias de Feynman sobre física. Tema. 1 Ciencia moderna de la naturaleza. Leyes de la mecánica.. - M. : Editorial URSS, 2004. - S. 194. - 440 p. — ISBN 5-354-00699-6 .
↑ Fermi E. Mecánica cuántica. - M. : Mir, 1968. - S. 183. - 367 p.
↑ 1 2 Monin A.S. , Yaglom A.M. Hidromecánica estadística. Parte 1. - M. : Nauka, 1965. - 639 p.
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Campos cuánticos. - M., Nauka, 1980. - pág. 25

Literatura

Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica. - 4ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 215 p. - (" Física Teórica ", Tomo I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Curso general de física. — Edición 4ª. - M. : Fizmatlit , 2002. - T. I. Mecánica. — 792 pág. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Aizerman MA Mecánica clásica. — M .: Nauka, 1980. — 368 p.

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