Asignación grupal

Especificar un grupo en la teoría de grupos es uno de los métodos para definir un grupo especificando un conjunto generador y un conjunto de relaciones entre generadores . En este caso, se dice que el grupo tiene una tarea . $S$ $R$ $GRAMO$ $\langle S\mid R\rangle$

Informalmente, tiene tal tarea si es “el más libre ” de todos los grupos generados y sujetos a relaciones entre elementos de . Más formalmente, el grupo es isomorfo al grupo factorial del grupo libre generado por el cierre normal del conjunto de relaciones . $GRAMO$ $S$ $S$ $R$ $GRAMO$ $S$ $R$

Cada grupo tiene una tarea y, además, muchas tareas diferentes; la asignación suele ser la forma más compacta de definir un grupo.

Las tareas grupales son estudiadas por una rama especial de la teoría de grupos: la teoría de grupos combinatoria .

El ejemplo más simple de especificar un grupo es especificar un grupo de orden cíclico : $norte$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

Esto significa que cualquier elemento del grupo se puede escribir como un grado y es un elemento neutral del grupo. $a$ ${\ Displaystyle un ^ {n}}$

Definiciones relacionadas

Un grupo finitamente dado (o un grupo finitamente definido ) es un grupo que tiene un número finito de generadores y está definido en estos generadores por un número finito de relaciones .
Un grupo generado finitamente es un grupo que tiene un número finito de generadores . Cada grupo finitamente dado es finitamente generado.
La cardinalidad mínima del conjunto de generadores se denomina rango del grupo . $S$
- $pags$ El rango de un grupo es el rango mayor de su subgrupo, que es un
grupo abeliano primario . $pags$

Terminología

El término " tarea " no es del todo común. Algunos libros usan [1] [2] el término " código de grupo (genético) ". También se puede encontrar el concepto de " representación grupal " en el sentido que aquí se analiza [3] [4] [5] , pues puede considerarse una traducción del inglés. La presentación grupal , sin embargo, es ambigua, ya que el término representación grupal se usa ampliamente para las llamadas representaciones lineales de grupos ; estas últimas no tienen nada que ver con la tarea y, además, son en cierto sentido lo contrario de ella.

Con esto último en mente, a veces también se hace referencia a la tarea como una " presentación ". Más precisamente, el isomorfismo antes mencionado del grupo cociente de un grupo libre en el grupo en consideración puede llamarse una presentación . El prefijo “ko-” indica la dualidad de este isomorfismo con respecto a la representación del grupo, “cuando, por el contrario, el homomorfismo se construye no “a” G, sino “desde” G a algún [bien estudiado] grupo de operadores lineales, permutaciones, etc. » [6] . $GRAMO$

Propiedades

Existe el teorema de que un grupo arbitrario es un grupo de factores de un grupo libre apropiado con respecto a algún subgrupo normal , de modo que cualquier grupo tiene una tarea. La tarea no tiene por qué ser la única. Es difícil probar o refutar que dos tareas definen al mismo grupo (el antiguo nombre del problema es uno de los problemas de Dan). En general, este problema es algorítmicamente indecidible . Hay varias clases de grupos para los que se ha construido un algoritmo para resolver este problema. Las transformaciones de Tietze de cuatro tipos permiten pasar de una tarea del grupo a otra: la primera transformación de Tietze es la adición de una nueva relación derivada de las antiguas al conjunto de relaciones; la segunda transformación de Tietze es la introducción de una nueva variable expresada en términos de las antiguas; las transformaciones de Tietze tercera y cuarta son inversas a la primera y segunda, respectivamente. En vista de la imposibilidad de resolver algorítmicamente el problema, encontrar una cadena de transformaciones de Tietze de una representación a otra es una especie de arte.

Dado un grupo, también es difícil determinar otras propiedades del grupo, como su orden o subgrupo de torsión .

Ejemplos

La siguiente tabla enumera formas de especificar algunos grupos que ocurren comúnmente. En cada caso, hay otras tareas posibles.

Grupo	Ejercicio	Explicaciones
Grupo gratis en S	$\langle S\mid \varnada\rangle$	Un grupo libre es "libre" en el sentido de que no está restringido por ninguna relación.
Z n es un grupo cíclico de orden n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n es el grupo diedro de orden 2 n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ o $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r significa rotación, s simetría
D ∞ es un grupo diédrico infinito	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Grupo cuaternión Q 8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rango$ o $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Grupo cuaternión generalizado Q 4 n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rango .$
grupo abeliano libre en S	$\langle S\mid R\rangle$	R es el conjunto de todos los conmutadores de los elementos S
Grupo simétrico S n	$\langle \sigma_{1},\sigma_{2},\dots,\sigma_{n-1}\|\sigma_{i}^{2},\sigma_{i}\sigma _{i+1}\sigma_{i}=\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1},\sigma_{i}\sigma_{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{si}}\ \|ij\|>1\rangle$ o $\langle \sigma_{1},\sigma_{2},\dots,\sigma_{n-1}\|\sigma_{i}^{2},(\sigma_{i}\ sigma_{i+1})^{3},\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i}\ {\text{si})\ \|ij\| >1\ángulo$	σ i es una transposición que intercambia el elemento i -th con el i + 1st.
Trenza grupo B n	$\langle \sigma_{1},\sigma_{2},\dots,\sigma_{n-1}\|\sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i }=\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1},\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i} \ {\text{si}}\ \|ij\|>1\rangle$	La única diferencia con el grupo simétrico es la desaparición de las relaciones . $\sigma _{i}^{2}=1$
Grupo alternado A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
El grupo de rotación del tetraedro , T ≅ A 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Grupo de rotación del octaedro , O ≅ S 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Grupo de rotación del icosaedro , I ≅ A 5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
grupo coxeter	$\langle r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n son reflexiones en las caras del poliedro, y at , — si las caras no forman un ángulo diedro en el poliedro $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant2$ $yo\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Grupo triangular Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m}=1\rango$	a , b , c - reflejos
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2, Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Grupo modular PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) es el producto libre de Z /2 Z y Z /3 Z
Tetas Grupo F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - conmutador

Véase también

grupo libre

Enlaces

↑ 1.3 // Álgebra general / Bajo la dirección general de L. A. Skornyakov. - M. : Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1990. - T. 1. - 592 p.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentos de la teoría de grupos. — LAN, 2009.
↑ Bogopolsky O.V. Introducción a la teoría de grupos. - Moscú, Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2002.
↑ Lyndon R., Shupp P. Teoría de grupos combinatoria. — M .: Mir, 1980.
↑ Magnus W., Karras A., Solitaire D. Teoría de grupos combinatoria. Representación de grupos en términos de generadores y relaciones. — M .: Nauka, 1974.
↑ Olshansky A. Yu. § 4 // Geometría de definición de relaciones en grupos. - M. : Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1989. - 448 p.