Cono

Un cono ( del alemán Konus y del latín cōnus , del otro griego κώνος [1] - “piña” [2] ) es una superficie formada en el espacio por un conjunto de rayos (formando un cono) que conectan todos los puntos de una cierta curva plana (guía del cono) con un punto dado en el espacio (el vértice del cono) [3] .

Si la guía del cono es una curva cerrada, entonces la superficie cónica sirve como límite de un cuerpo espacial , que también se llama el "cono" (ver figura), y el interior de esta curva se llama la "base del cono", si la base del cono es un polígono , dicho cono es una pirámide .

A veces, en lugar de rayos, se consideran líneas rectas, luego se obtiene un doble cono, que consta de dos partes simétricas con respecto a la parte superior.

El cono y las secciones cónicas relacionadas juegan un papel importante en las matemáticas, la astronomía y otras ciencias.

Definiciones relacionadas

La superficie lateral del cono es la unión de los generadores del cono; la generatriz de un cono es una superficie cónica .
La altura de un cono es un segmento que cae perpendicularmente desde la parte superior hasta el plano de la base (así como la longitud de dicho segmento).
El ángulo de apertura del cono es el ángulo entre dos generatrices opuestas (el ángulo en la parte superior del cono, dentro del cono).
Taper - la relación de la altura y el diámetro de la base del cono.

Tipos de conos

Cono circular recto
Conos circulares rectos y oblicuos de igual base y altura: su volumen es el mismo
Cono circular recto truncado

Un cono recto es un cono cuya base tiene un centro de simetría (por ejemplo, es un círculo o una elipse ) y la proyección ortogonal de la parte superior del cono sobre el plano base coincide con este centro; mientras que la línea recta que conecta la parte superior y el centro de la base se llama eje del cono .
Cono oblicuo (u oblicuo ) : un cono en el que la proyección ortogonal del vértice a la base no coincide con su centro de simetría.
Un cono circular es un cono cuya base es un círculo.
Cono de revolución , o un cono circular recto (a menudo lo entienden exactamente como un cono): un cono que se puede obtener mediante la rotación (es decir, un cuerpo de revolución ) de un triángulo rectángulo alrededor de una línea que contiene el lado del triángulo . (esta línea es el eje del cono).
Un cono basado en una elipse , parábola o hipérbola se llama respectivamente cono elíptico , parabólico e hiperbólico : los dos últimos tienen un volumen infinito.
Un cono truncado o capa cónica es una parte de un cono que se encuentra entre la base y un plano paralelo a la base y ubicado entre la parte superior y la base.
Un cono equilátero es un cono de revolución cuya generatriz es igual al diámetro de la base [4] .

Propiedades

Si el área de la base es finita, entonces el volumen del cono también es finito y es igual a un tercio del producto de la altura y el área de la base.

V={1\sobre 3}SH,

donde S es el área de la base, H es la altura. Así, todos los conos basados en una base dada (de área finita) y que tienen un vértice situado en un plano dado paralelo a la base tienen el mismo volumen, ya que sus alturas son iguales.

El centro de gravedad de cualquier cono de volumen finito se encuentra a un cuarto de la altura desde la base.
El ángulo sólido en el vértice de un cono circular recto es igual a

2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),

donde α es el ángulo de apertura del cono.

El área de la superficie lateral de un cono circular recto es igual a

{\ estilo de visualización S = \ pi Rt,}

pero en general

S={\frac{tl}{2)),

donde R es el radio de la base, es la longitud de la generatriz, es la longitud del límite de la base.

{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))

yo

El área de la superficie total (es decir, la suma de las áreas de la superficie lateral y la base) es igual a

{\ estilo de visualización S = \ pi R (t + R),}

para un cono circular recto y

S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),

para arbitrario, donde es el área de la base.

S_{\text{oc))

El volumen de un cono circular (no necesariamente recto) es igual a

V={1 \sobre 3}\pi R^{2}H.

Para un cono circular truncado (no necesariamente recto), el volumen es:

V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),

donde y son los radios de las bases inferior y superior, respectivamente, es la altura desde el plano de la base inferior a la base superior.

R

r

H

Para un cono truncado arbitrario (no necesariamente recto y circular), el volumen es:

V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),

donde y son las áreas de las bases superior (más cercana a la parte superior) e inferior, respectivamente, y son las distancias desde el plano de las bases superior e inferior, respectivamente, a la parte superior.

S_{1}

S_{2}

H_1

H_2

La intersección de un plano con un cono circular recto es una de las secciones cónicas (en casos no degenerados, elipse , parábola o hipérbola , según la posición del plano de corte).

Ecuación del cono circular recto

Ecuaciones que definen la superficie lateral de un cono circular recto con un ángulo de apertura de 2Θ , un vértice en el origen de coordenadas y un eje que coincide con el eje de Oz :

En un sistema de coordenadas esféricas con coordenadas ( r , φ, θ) :

\theta =\Theta.

En un sistema de coordenadas cilíndricas con coordenadas ( r , φ, z ) :

z=r\cdot\nombre del operador {ctg}\Theta

r=z\cdot\nombre del operador {tg}\Theta.

En un sistema de coordenadas cartesianas con coordenadas ( x , y , z ) :

z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg}\Theta.

Esta ecuación en forma canónica se escribe como

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

donde las constantes a , c están determinadas por la proporción Esto demuestra que la superficie lateral de un cono circular recto es una superficie de segundo orden (se llama superficie cónica ). En general, una superficie cónica de segundo orden descansa sobre una elipse; en un sistema de coordenadas cartesiano adecuado (los ejes Ox y Oy son paralelos a los ejes de la elipse, el vértice del cono coincide con el origen, el centro de la elipse se encuentra en el eje Oz ) su ecuación tiene la forma

c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

además , a/c y b/c son iguales a los semiejes de la elipse. En el caso más general, cuando el cono descansa sobre una superficie plana arbitraria, se puede demostrar que la ecuación de la superficie lateral del cono (con el vértice en el origen) viene dada por la ecuación donde la función es homogénea , que es decir, satisface la condición para cualquier número real α .

f(x,y,z)=0,

f(x,y,z)

f(\alfa x,\alfa y,\alfa z)=\alfa ^{n}f(x,y,z)

Desarrollo

Un cono circular recto como cuerpo de revolución está formado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de los catetos, donde h , la altura del cono desde el centro de la base hasta la parte superior, es el cateto del triángulo rectángulo alrededor del cual gira el cono. tiene lugar la rotación. El segundo cateto de un triángulo rectángulo r es el radio en la base del cono. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es l , la generatriz del cono.

Solo se pueden usar dos valores r y l para crear un barrido de cono . El radio base r determina el círculo de la base del cono en la exploración, y el sector de la superficie lateral del cono determina la generatriz de la superficie lateral l , que es el radio del sector de la superficie lateral. El ángulo de sector en el desarrollo de la superficie lateral del cono está determinado por la fórmula: $\varphi$

φ = 360°·( r / l ) .

Variaciones y generalizaciones

En geometría algebraica , un cono es un subconjunto arbitrario de un espacio vectorial sobre un campo para el cual, para cualquier $k$ $V$ $F$ $\lambda \in F$ $\lambda K=K.$
En topología, un cono sobre un espacio topológico X es un espacio cociente por la relación de equivalencia $X\veces [0,\infty)$ ${\ estilo de visualización (x, 0) \ sim (y, 0).}$
En álgebra lineal, existe el concepto de cono convexo .

Véase también

Notas

↑ Diccionario etimológico de la lengua rusa de Max Fasmer
↑ "Yo κῶνος"
↑ Diccionario enciclopédico matemático, 1988 , p. 288.
↑ Manual de Matemáticas . Consultado el 22 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2020. (indefinido)

Literatura

Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . - 2ª ed. — M .: Nauka, 1970. — 720 p.
Cono // Diccionario enciclopédico matemático . - M. : Enciclopedia soviética, 1988. - S. 288 . — 847 pág.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego gran ruso Brockhaus y Efron Pequeño Brockhaus y Efron V.Dahl
En catálogos bibliográficos	NKC : ph973161