Configuración (geometría)

En geometría proyectiva , una configuración plana consiste en un conjunto finito de puntos y una configuración finita de líneas , de modo que cada punto incide en el mismo número de líneas y cada línea incide en el mismo número de puntos [2] .

Aunque algunas configuraciones específicas se habían estudiado antes (por ejemplo, por Thomas Kirkman en 1849), Theodor Reyet comenzó el estudio formal de las configuraciones en 1876 en la segunda edición de su libro Geometrie der Lage ( Geometría de posición ), en el contexto de una discusión del teorema de Desargues . Ernst Steinitz escribió su disertación sobre el tema en 1894 y las configuraciones fueron semi-polarizadas en 1932 por Hilbert y Cohn-Vossen en Anschauliche Geometrie ( Geometría visual ), que fue traducida al inglés [3] y al ruso.

Las configuraciones se pueden estudiar como conjuntos concretos de puntos y líneas en una geometría particular, como en el plano euclidiano o proyectivo (en cuyo caso se habla de una realización en esa geometría), o como una geometría de incidencia abstracta . En el último caso, las configuraciones están estrechamente relacionadas con los hipergráficos regulares y los gráficos bipartitos biregulares , pero con la restricción adicional de que dos puntos cualesquiera de la estructura de incidencia pueden asociarse como máximo con una línea, y dos líneas cualesquiera pueden asociarse con un máximo de un punto. Es decir, la circunferencia del gráfico bipartito correspondiente ( configuración del gráfico de Lévy ) debe ser al menos seis.

Notación

Una configuración plana se denota como ( p γ ℓ π ), donde p es el número de puntos, ℓ es el número de líneas, γ es el número de líneas que pasan por cada punto y π es el número de puntos en cada línea. Estos números deben satisfacer la relación

,

ya que este producto es igual al número de incidencias punto-línea (de banderas ).

Las configuraciones con el mismo símbolo no necesitan ser isomorfas como las estructuras de incidencia . Por ejemplo, hay tres configuraciones diferentes (9 3  9 3 ) - la configuración Pappus y dos configuraciones menos conocidas.

En algunas configuraciones p = ℓ y por lo tanto, γ = π. Se llaman configuraciones simétricas o balanceadas [4] y normalmente la notación omite la repetición. Por ejemplo, (9 3  9 3 ) se reduce a (9 3 ).

Ejemplos

Las siguientes configuraciones proyectivas son las más conocidas:

Dualidad de configuraciones

La configuración proyectivamente dual para ( p γ l π ) es la configuración ( l π p γ ), en la que se invierten los roles de "puntos" y "líneas". Por lo tanto, las configuraciones vienen en pares duales, excepto en los casos en que la configuración dual es isomorfa a la original. Estas excepciones se denominan configuraciones autodual y en estos casos p = l [6] .

Número de configuraciones ( n 3 )

El número de configuraciones no isomorfas de tipo ( n 3 ), a partir de n = 7, es un elemento de la secuencia

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... Secuencia OEIS A001403

Estos números se calculan como estructuras de incidencia abstractas, independientemente de la posibilidad de su implementación [7] . Como escribe Gropp [8] , nueve de cada diez configuraciones (10 3 ) y todas las configuraciones (11 3 ) y (12 3 ) se pueden realizar en el espacio euclidiano, pero para todo n ≥ 16 hay al menos una configuración irrealizable ( n 3 ) . Gropp también señala un error de larga data en esta secuencia: un artículo de 1895 intentó enumerar todas las configuraciones (12 3 ) y se encontraron 228 de ellas, pero la configuración 229 no se descubrió hasta 1988.

Construcción de configuraciones simétricas

Existen varios métodos para construir configuraciones, generalmente a partir de configuraciones ya conocidas. Algunos de los más simples de estos métodos construyen configuraciones simétricas ( p γ ).

Cualquier plano proyectivo finito de orden n es una configuración (( n 2 + n + 1) n + 1 ). Sea Π un plano proyectivo de orden n . Retire de Π el punto P y todas las líneas Π que pasan por P (pero no los puntos que se encuentran en estas líneas, excepto el punto P ) y elimine la línea l que no pasa por P y todos los puntos que se encuentran en esta línea. Como resultado, obtenemos una configuración del tipo (( n 2 - 1) n ). Si durante la construcción elegimos la línea l que pasa por P , obtenemos una configuración del tipo (( n 2 ) n ). Dado que se sabe que existen planos proyectivos para todos los órdenes n que son potencias de números primos, estas construcciones proporcionan una familia infinita de configuraciones simétricas.

No todas las configuraciones son realizables, por ejemplo, la configuración (43 7 ) no existe [9] . Sin embargo, Grupp [10] dio una construcción que muestra que para k ≥ 3 la configuración ( p k ) existe para todo p ≥ 2 l k + 1, donde l k es la longitud de la regla óptima de Golomb de orden k .

Altas dimensiones

El concepto de configuración se puede generalizar a dimensiones superiores, como puntos y líneas o planos en el espacio . En este caso, la restricción de que dos puntos no pueden estar en más de una línea se puede relajar, ya que dos puntos pueden pertenecer a más de un plano.

En el espacio tridimensional, son interesantes

Se obtiene una mayor generalización en el espacio tridimensional al considerar la incidencia de puntos, líneas y planos, es decir, j - espacios para 0 ≤ j < 3, donde cada j - espacio es incidente en N jk k -espacios ( j ≠ k ). Si denotamos por N jj el número de espacios j , tal configuración se puede representar como una matriz :

El enfoque se puede generalizar a otras dimensiones n , donde 0 ≤ j < n . Tales configuraciones están matemáticamente relacionadas con los poliedros regulares [11] .

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 En inglés - quadrangle y quadrilateral , que se traduce al ruso en ambos casos como quadrangle . Sin embargo, aquí estamos hablando de diferentes figuras.
  2. ↑ En la literatura, los términos configuración proyectiva ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) y configuración táctica de tipo (1,1) ( Dembowski 1968 ) se utilizan para el mismo concepto.
  3. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , pág. 94–170.
  4. ↑ Grünbaum, 2009 .
  5. ↑ Kelly, 1986 .
  6. ↑ Coxeter, 1999 , pág. 106-149.
  7. ↑ Betten, Brinkmann, Pisanski, 2000 .
  8. ↑ Gropp, 1997 .
  9. ↑ Esta configuración debería ser un plano proyectivo de orden 6, pero tal plano, según el teorema de Bruck-Reiser , no existe.
  10. ↑ Gropp, 1990 .
  11. ↑ Coxeter, 1948 .

Literatura

Enlaces