Espacio pre-Hilbert

El espacio pre-Hilbert (algunos autores también tienen espacio euclidiano ) es un espacio lineal real o complejo con un producto escalar definido en él . No es necesariamente completo , a diferencia de un espacio de Hilbert . Ampliamente utilizado en análisis funcional y disciplinas afines.

Definición

Un par se llama espacio pre-Hilbert si es un espacio lineal y está definido por el producto escalar. (Por lo general, significa el producto interno en el sentido habitual, es decir, definido positivo). $\left(X,\langle\cdot, \cdot\rangle\right)$ $X$ $\langle\cdot , \cdot\rangle$ $X$

Norma

El espacio pre-Hilbert puede considerarse normalizado , ya que el producto interior genera una norma natural :

\| x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X

En los casos en los que el producto escalar no es estrictamente definido positivo, es decir, se elige de modo que pueda ser cero para distinto de cero (lo que puede ser difícil de evitar en algunos casos de dimensión infinita), entonces la expresión anterior no da una norma, pero solo un seminor . $X$

Propiedades

Teorema de Von Neumann-Yordmann : si la ley del paralelogramo es válida en un espacio semi-normado , entonces es pre-Hilbert, es decir, existe (y, además, el único) producto escalar tal que . $(H,\;\|\cdot\|)$ $(H,\;\|\cdot\|)$ $(\cdot,\cdot)$ $\|x\|=(x,x)^{1/2}$

Ejemplo

En la teoría de las series de Fourier , se utiliza mucho el espacio pre-Hilbert de funciones reales con cuadrado integrable.

L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\, dx < \infty\derecho.\derecho\},

si el producto escalar se define como

\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b ]\grande).

El producto escalar introducido de esta forma no da una norma, sino solo una seminorma, a menos que identifiquemos funciones que difieren solo en un conjunto de medida cero (como se hace en la construcción estándar del espacio L 2 ).

Véase también

espacio euclidiano

La contribución de David Hilbert a la ciencia
espacios	Espacio de Hilbert Espacio pre-Hilbert ladrillo gilberto
axiomática	axiomática de hilbert
teoremas	Teorema de Hilbert 90 Teorema de la base de Hilbert Teorema nulo de Hilbert Teorema de Hilbert-Schmidt
Operadores	Transformada de Hilbert Operador de Hilbert-Schmidt
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