Teorema de Hilbert 90

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El teorema 90 de Hilbert es uno de los principales enunciados para las extensiones cíclicas finitas de Galois .

Forma multiplicativa

Sea el grupo de Galois de extensión cíclica finita y sea su generador. Entonces la norma de cualquier elemento es 1 si y solo si hay un elemento distinto de cero , que es $GRAMO$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \in E$ $\alpha \in E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Prueba

La suficiencia es obvia: si entonces, teniendo en cuenta la multiplicatividad de la norma, tenemos Dado que la norma para extensiones separables es igual al producto de todos y aplicar tal producto conduce solo a una permutación de los factores, entonces $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha )))).$ $\sigma _{i}(\alfa ),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

Para probar la necesidad, escribimos el siguiente mapeo:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta)\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

Según el teorema de la independencia lineal de los caracteres, esta aplicación no es cero. Por lo tanto, hay un elemento para el cual $\gamma \en E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma ).

Si aplicamos el mapeo y luego multiplicamos la expresión resultante por entonces el primer término irá al segundo, y así sucesivamente, y el último irá al primero, ya que $\sigma$ $\alfa ,$ $\ beta ,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Entonces obtenemos que dividiendo por tenemos Necesidad queda demostrado. $\beta \sigma (\alfa)=\alfa,$ $\sigma (\alfa)\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Forma aditiva

Sea el grupo de Galois de extensión cíclica finita y sea su generador. Entonces la traza de un elemento es 0 si y solo si existe un elemento distinto de cero tal que $GRAMO$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \in E$ $\ alfa \ en E,$ $\beta =\alfa -\sigma (\alfa).$

La prueba de suficiencia es completamente análoga al caso multiplicativo y, si es necesario, consideramos un elemento para el cual y construimos el requerido en la forma: $\gamma \en E,$ ${\mathrm {tr}}\gamma \neq 0$ $\alfa$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Literatura

Leng S. Álgebra . - M. : Mir, 1967. - S. 243 -244.

Véase también

Cohomología de Galois

La contribución de David Hilbert a la ciencia
espacios	Espacio de Hilbert Espacio pre-Hilbert ladrillo gilberto
axiomática	axiomática de hilbert
teoremas	Teorema de Hilbert 90 Teorema de la base de Hilbert Teorema nulo de Hilbert Teorema de Hilbert-Schmidt
Operadores	Transformada de Hilbert Operador de Hilbert-Schmidt
relatividad general	Ecuaciones de Einstein-Hilbert " Hilbert y las ecuaciones del campo gravitatorio "
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