Matriz de Cartan

En matemáticas , el término matriz de Cartan tiene tres significados. Todos ellos llevan el nombre del matemático francés Elie Cartan . De hecho, las matrices de Cartan en el contexto de las álgebras de Lie fueron exploradas por primera vez por Wilhelm Killing , mientras que la forma de Killing se debe a Cartan.

Álgebras de mentira

La matriz de Cartan generalizada es una matriz cuadrada con entradas enteras tales que $A=(a_{ij})$

Elementos diagonales a ii = 2.
Elementos fuera de la diagonal . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ si y solo si . $a_{ji}=0$
A se puede escribir como DS donde D es una matriz diagonal y S es simétrica .

Por ejemplo, la matriz de Cartan para G 2 se puede descomponer de la siguiente manera:

\left [ \begin{smallmatrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ] = \left [ \begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \ end{smallmatrix}\right ] \left [ \begin{smallmatrix} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{smallmatrix}\right ].

La tercera condición no es independiente y es una consecuencia de la primera y cuarta condiciones.

Siempre podemos elegir D con elementos diagonales positivos. En este caso, si S en la expansión es definida positiva , entonces se dice que A es una matriz de Cartan .

La matriz de Cartan de un álgebra de Lie simple es una matriz cuyos elementos son productos escalares

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\sobre (r_i,r_i)}

(a veces llamados números enteros de Cartan ), donde r i es el sistema raíz del álgebra . Los elementos son enteros debido a una de las propiedades del sistema raíz . La primera condición se deriva de la definición, la segunda del hecho de que for es una raíz, que es una combinación lineal de raíces simples r i y r j con un coeficiente positivo para r j , y luego el coeficiente para r i debe ser no -negativo. La tercera condición es verdadera debido a la simetría de la relación de ortogonalidad . Y finalmente, sea y . Dado que las raíces simples son linealmente independientes, entonces S es su matriz de Gram (con un factor de 2) y, por lo tanto, es definida positiva. $i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i$ $D_{ij}={\delta_{ij}\sobre (r_i,r_i)}$ $S_{ij}=2(r_i,r_j)$

Y viceversa, si se da una matriz de Cartan generalizada, se puede encontrar el álgebra de Lie correspondiente (ver detalles en el artículo Kac-Moody Algebra ).

Clasificación

Una matriz de tamaño A es descomponible si existe un subconjunto no vacío tal que para todo y . A es indescomponible si no se cumple esta condición. $n\veces n$ $Yo \subconjunto \{1,\puntos,n\}$ $a_{ij}=0$ $yo en yo$ $j \ notin yo$

Sea A una matriz de Cartan generalizada indescomponible. Decimos que A es de tipo finito si todos sus principales menores son positivos, que A es de tipo afín si todos sus principales menores propios son positivos y el determinante de A es 0, y que A es de tipo indeterminado en caso contrario.

Las matrices indescomponibles de tipo finito clasifican grupos de Lie simples de dimensión finita (de tipo ), mientras que las matrices indescomponibles de tipo afín clasifican álgebras de Lie afines (sobre unos cuerpos algebraicamente cerrados con característica 0). $A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$

Determinantes de matrices de Cartan para álgebras de Lie simples

Los determinantes de las matrices de Cartan de álgebras de Lie simples se dan en la tabla.

$Un}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n=6,7,8$	$F_{4}$	$G_{2}$
norte +1	2	2	cuatro	9- n	una	una

Otra propiedad de este determinante es que es igual al índice del sistema raíz asociado, es decir, es igual a , donde denotan el peso del retículo y el retículo raíz, respectivamente. $|P/Q|$ $pag q$

Representaciones de álgebras de dimensión finita

En la teoría de las representaciones modulares y en la teoría más general de las representaciones de álgebras asociativas de dimensión finita que no son semisimples , la matriz de Cartan se define considerando un conjunto (finito) de módulos principales indescomponibles y escribir series de composición para ellos en términos de módulos primos , produciendo una matriz de números enteros que contiene el número de ocurrencias del módulo primo.

Matrices de Cartan en la teoría M

En la teoría M , se puede representar la geometría como un límite de dos ciclos que se intersecan en un número finito de puntos, ya que el área de los dos ciclos tiende a cero. En el límite surge un grupo de simetría local . La matriz de índices de intersección de la base de dos ciclos es, hipotéticamente, la matriz de Cartan del álgebra de Lie de este grupo de simetría local [1] .

Esto se puede explicar de la siguiente manera: en la teoría M, hay solitones , que son superficies bidimensionales llamadas membranas o 2-branas . Las 2 branas tienen tensión y, por lo tanto, tienden a encogerse, pero se pueden envolver alrededor de dos ciclos para evitar que las membranas se colapsen hasta cero.

Es posible realizar una compactación una dimensión, en la que se ubican todos los dos ciclos y sus puntos de intersección, y tomar el límite en el que la dimensión colapsa a cero, obteniendo así una reducción en esta dimensión. Entonces obtenemos la teoría de cuerdas de tipo IIA como un límite de la teoría M con dos branas envolventes de dos ciclos, ahora representadas como cuerdas abiertas estiradas entre D-branas . Existe un grupo de simetría local U(1) para cada D-brana, similar a los grados de libertad de movimiento sin reorientación. El límite donde dos ciclos tienen área cero es el límite donde estas D-branas están una encima de la otra.

Una cuerda abierta estirada entre dos D-branas representa un generador de álgebra de Lie, y el conmutador de dos de estos generadores es el tercer generador representado por una cuerda abierta, que se puede obtener pegando los bordes de las dos cuerdas abiertas. Otras conexiones entre diferentes cuerdas abiertas dependen de la forma en que las 2 branas pueden intersecarse en la teoría M original, es decir, en el número de intersecciones de dos ciclos. Así, el álgebra de Lie depende enteramente de estos números de intersección. Se sugiere la conexión con la matriz de Cartan porque describe los conmutadores de raíz simples que están asociados con los dos ciclos en la base elegida.

Tenga en cuenta que los generadores en la subálgebra de Cartan están representados por cuerdas abiertas que se estiran entre una brana D y la misma brana.

Véase también

Notas

↑ Senador de Ashoke. Una nota sobre las simetrías de calibre mejoradas en la teoría M y de cuerdas // Journal of High Energy Physics. - Ediciones IOP, 1997. - T. 1997 , no. 9 _ -doi : 10.1088 / 1126-6708/1997/09/001 .

Literatura

William Fulton, Joe Harris. Teoría de la representación: un primer curso. - Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - P. 334. - ( Textos de Posgrado en Matemáticas ). - ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys. Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación. - Springer-Verlag, 1972. - T. 9. - S. 55-56. — ( Textos de Grado en Matemáticas ). — ISBN 0-387-90052-7 .
Víctor G. Kac. Álgebras de mentira de dimensión infinita. — 3er. - 1990. - ISBN 978-0-521-46693-6 .
Michiel Hazewinkel. Enciclopedia de Matemáticas. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Enlaces

Weisstein, matriz de Eric W. Cartan (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .