Relación (teoría de conjuntos)

Una relación es una estructura matemática que define formalmente las propiedades de varios objetos y sus relaciones. Ejemplos comunes de relaciones en matemáticas son igualdad (=) , divisibilidad , similitud , paralelismo y muchos otros.

El concepto de relación como subconjunto de un producto cartesiano está formalizado en la teoría de conjuntos y se ha generalizado en el lenguaje matemático en todas sus ramas. La visión de la teoría de conjuntos de una relación la caracteriza en términos de volumen: de qué combinaciones de elementos se llena; se considera un enfoque significativo en la lógica matemática , donde la relación es una función proposicional , es decir, una expresión con variables indefinidas, la sustitución de valores específicos por lo que la hace verdadera o falsa. Las relaciones juegan un papel importante en el álgebra universal , donde el objeto básico de estudio de la sección es un conjunto con un conjunto arbitrario de operaciones y relaciones. Una de las aplicaciones más llamativas de la técnica de las relaciones matemáticas en aplicaciones son los sistemas de gestión de bases de datos relacionales , basados metodológicamente en el álgebra relacional formal .

Las relaciones generalmente se clasifican por el número de objetos relacionados ( aridad ) y sus propias propiedades, como simetría , transitividad , reflexividad .

Definiciones formales y notación

$norte$ La relación -local ( -ary ) definida en conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano de estos conjuntos: . El hecho de que los elementos estén conectados por una relación se denota por o . $norte$ $R$ $M_{1},M_{2},\ldots,M_{n}$ ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$ $norte$ $\langle m_{1}\en M_{1},m_{2}\en M_{2},\dots m_{n}\en M_{n}\rangle$ $R$ $R(m_{1},m_{2},\puntos,m_{n})$ ${\ estilo de visualización (m_ {1}, m_ {2}, \ puntos, m_ {n}) \ en R}$

El hecho de la conexión entre objetos y una relación binaria generalmente se denota usando la notación infija : . Las relaciones individuales (unarias) corresponden a propiedades o atributos, por regla general, para tales casos, no se utiliza la terminología de las relaciones. A veces se utilizan relaciones de tres lugares ( ternario ), relaciones de cuatro lugares (cuaternario); las relaciones de aridad indefinidamente alta se denominan "multiarias", "de muchos lugares". ${\ estilo de visualización m_ {1} \ en M_ {1}}$ ${\ estilo de visualización m_ {2} \ en M_ {2}}$ $R\subconjunto M_{1}\veces M_{2}$ $m_{1}\,R\,m_{2}$

Una relación universal es una relación que conecta todos los elementos de conjuntos dados, es decir, coincidentes con el producto cartesiano:. Una relación nula es una relación que no vincula ningún elemento, es decir, un conjunto vacío :. ${\displaystyle R=M_{1}\veces M_{2}\veces \puntos M_{n))$ ${\displaystyle R=\varnada\subconjunto M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$

Una relación funcional es una relación que forma una función : es funcional si de la ejecución se sigue que ( la unicidad del valor de la función está asegurada). ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1))$ $R(m_{1},\dots,m_{n},x)$ $R(m_{1},\dots,m_{n},y)$ $x=y$

Propiedades generales y tipos de relaciones binarias

Las relaciones más comunes en el lenguaje de las matemáticas son binarias sobre un conjunto ( ), que se usan con mayor frecuencia con algunas propiedades comunes [1] : $R\subseteq M^{2}$

simetría ( ) o antisimetría ( ), $a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$ $a\,R\,b\,\cuña \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b$
reflexividad ( ) o anti -reflexividad , ${\ estilo de visualización a \, R \, a}$ ${\ estilo de visualización \ neg \, (a \, R \, a)}$
transitividad ( ) o antitransitividad ( ), $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c$ $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c$
conectividad ( ). $a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$

Dependiendo del conjunto de propiedades de las relaciones binarias, se forman algunos tipos de ellas ampliamente utilizados:

relación de equivalencia - cualquier relación reflexiva , transitiva y simétrica ;
la relación de preorden es reflexiva y transitiva;
relación de orden parcial - reflexiva, transitiva y antisimétrica;
relación de orden estricto - antirreflexiva, transitiva, antisimétrica;
la relación de orden lineal es conexa, reflexiva, antisimétrica.

La relación de igualdad juega un papel importante: la relación de equivalencia, realizada solo para dos elementos coincidentes.

Puede haber otras combinaciones de propiedades de las relaciones, por ejemplo, transitivas y reflexivas, pero no tiene otras propiedades simples, la relación de divisibilidad sobre el conjunto de los números naturales , generalmente denotada por el símbolo , consta de pares de la forma , donde divide uniformemente. Un ejemplo de relación ternaria es la formación de un triple pitagórico por tres números, estar en relación con un cuádruple pitagórico es un ejemplo de relación cuaternaria. $|$ $\ ángulo x, y \ ángulo$ $X$ $y$

En la teoría de grafos se aplica un conjunto más flexible de propiedades de las relaciones binarias : un gráfico no dirigido se puede definir como un conjunto de vértices con una relación binaria simétrica sobre él, y un gráfico dirigido como un conjunto de vértices con una relación binaria arbitraria sobre él.

Álgebras de relaciones

Todas las relaciones -arias sobre un producto cartesiano forman un álgebra booleana bajo las operaciones de teoría de conjuntos de unión , intersección y complemento . $norte$ ${\displaystyle M_{1}\veces \puntos \veces M_{n))$

El álgebra relacional es un sistema cerrado de operaciones sobre relaciones en un modelo de datos relacional .

Notas

↑ Cuantificadores universales omitidos en fórmulas

Literatura

Relación - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . D. M. Smirnov
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Introducción a la lógica matemática. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1982. - 120 p. — 29.500 copias.