Módulo semisencillo

Los módulos semisimples ( módulos completamente reducibles ) son módulos algebraicos generales que se pueden restaurar fácilmente a partir de sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se llama anillo semisimple artiniano . Un ejemplo importante de un anillo semisimple es el anillo de grupo de un grupo finito sobre un campo de característica cero. La estructura de los anillos semisimples se describe mediante el teorema de Wedderburn-Artin : todos estos anillos son productos directos de anillos de matriz .

Definición

Se dan tres definiciones equivalentes [1] de un módulo semisimple (completamente reducible): un módulo M es semisimple si

M es isomorfo a una suma directa de módulos simples (también llamados irreducibles).
M se puede descomponer en una suma directa de submódulos simples de M .
Para todo N submódulo M , existe un complemento P tal que M = N ⊕ P .

La reducibilidad completa es una condición más fuerte que completamente descomponible: un módulo completamente descomponible es un módulo que se descompone en una suma directa de indescomponibles . Por ejemplo, el anillo de los enteros es completamente descomponible (esto se deriva de su indescomponibilidad), pero no es completamente reducible, ya que tiene submódulos (por ejemplo, el conjunto de los números pares).

Propiedades

Si M es semisimple y N es su submódulo , entonces N y M / N también son semisimples.
Si todos son módulos semisimples, entonces la suma directa también es semisimple. $Mi}$ ${\ estilo de visualización \ bigoplus _ {i} M_ {i}}$
El módulo M es finitamente generado y semisimple si y solo si es artiniano y su radical es cero.

Anillos semisimples

Se dice que un anillo es semisimple (izquierda) si es semisimple como un módulo (izquierda) sobre sí mismo. Resulta que los anillos semisimples izquierdos son semisimples derechos y viceversa, por lo que podemos hablar de anillos semisimples.

Los anillos semisimples se pueden caracterizar en términos de álgebra homológica : un anillo R es semisimple si y solo si cada secuencia exacta corta de módulos R (izquierda) se divide . En particular, un módulo sobre un anillo semisimple es inyectivo y proyectivo .

Los anillos semisimples son tanto artinianos como noetherianos . Si hay un homomorfismo de un campo a un anillo semisimple, se llama álgebra semisimple .

Ejemplos

Un anillo semisimple conmutativo es isomorfo a un producto directo de campos.
Si k es un campo y G es un grupo finito de orden n , entonces el anillo de grupo k [ G ] es semisimple si y sólo si la característica del campo no divide a n . Este resultado se conoce como el teorema de Maschke y es importante en la teoría de la representación de grupos .

El teorema de Wedderburn-Artin

El teorema de Wedderburn-Artin establece que cualquier anillo semisimple es isomorfo al producto directo de los anillos de la matriz ni por ni con elementos en el cuerpo D i , y los números ni están definidos de manera única , y los cuerpos son únicos hasta el isomorfismo. En particular, un anillo simple es isomorfo a un anillo de matriz sobre un anillo de división.

El resultado original de Wedderburn fue que un anillo simple, que es un álgebra simple de dimensión finita sobre un anillo de división, es isomorfo a un anillo de matriz. Emil Artin generalizó el teorema al caso de anillos semisimples (artinianos).

Ejemplos de casos en los que se puede aplicar el teorema de Wedderburn-Artin: toda álgebra simple de dimensión finita sobre R es un anillo de matriz sobre R , C o H ( cuaterniones ), toda álgebra simple de dimensión finita sobre C es un anillo de matriz sobre C .

Notas

↑ Nathan Jacobson, Álgebra básica II (segunda edición), p.120

Literatura

Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2.ª ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0
RS Pierce. Álgebras asociativas . Textos de Posgrado en Matemáticas vol 88.