Módulo sobre el ring

Un módulo sobre un anillo es uno de los conceptos básicos en álgebra general , que es una generalización de dos conceptos algebraicos: un espacio vectorial (de hecho, un espacio vectorial es un módulo sobre un campo ) y un grupo abeliano (que es un módulo sobre el anillo de enteros ). $\matemáticas {Z}$

El concepto de módulo está en el corazón del álgebra conmutativa , que juega un papel importante en varias áreas de las matemáticas como

Motivación

En un espacio vectorial, un conjunto de escalares forma un campo y la multiplicación por un escalar satisface varios axiomas como la distributividad de la multiplicación. En el módulo solo se requiere que los escalares formen un anillo (asociativo, con unidad ), los axiomas siguen siendo los mismos.

Gran parte de la teoría de los módulos consiste en intentos de generalizarles las propiedades conocidas de los espacios vectoriales, a veces para esto uno tiene que restringirse a módulos sobre anillos de "buen comportamiento", como dominios ideales principales . En general, sin embargo, los módulos son más complejos que los espacios vectoriales. Por ejemplo, no todos los módulos pueden elegir una base , e incluso aquellos en los que esto es posible pueden tener varias bases con diferente número de elementos (en el caso de un anillo no conmutativo).

Definiciones

Sea un anillo (generalmente considerado conmutativo con el elemento de identidad ). Un -módulo es un grupo abeliano con la operación de multiplicación por elementos del anillo : $R\$ $1\en R$ $R$ $METRO\$ $R\$

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,

que cumple las siguientes condiciones:

una)

\para todos los m\en M,\,\para todos los r_{1},r_{2}\en R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),

\para todos los m\in M\quad 1m=m.

\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},

cuatro)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.

Nota: en el caso de un anillo no conmutativo, estos módulos a menudo se denominan left . En este caso, los módulos de la derecha son aquellos objetos en los que la condición 1) se sustituye por la siguiente:

$\para todos los m\en M,\,\para todos los r_{1},r_{2}\en R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

que es mucho más conveniente de formular escribiendo el elemento de anillo a la derecha del elemento de módulo : $metro$

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ de ahí la terminología.

En el caso de un anillo conmutativo , las definiciones de los módulos izquierdo y derecho son las mismas y simplemente se denominan módulos. $R\$

Cualquier anillo puede ser considerado como un módulo sobre sí mismo (en el caso no conmutativo también es un módulo derecho sobre sí mismo). $R\$

Definiciones y propiedades relacionadas

Un submódulo de un módulo es un subgrupo del grupo que se cierra bajo la multiplicación por elementos de , es decir, tal que: $SRES}\$ $B\$ $METRO\$ $R\$

\para todo b\en B,\ r\en R\ :rb\en B

Si un anillo se ve como un módulo izquierdo sobre sí mismo, entonces sus submódulos son ideales izquierdos ; si el anillo es considerado como un módulo correcto, entonces por ideales correctos. En el caso conmutativo, los conceptos de ideales izquierdo y derecho coinciden. $R$

Un homomorfismo , u -homomorfismo de -módulos , es un homomorfismo de grupo para el que se cumple la condición adicional . El conjunto de todos estos homomorfismos se denota por . Sobre este conjunto, se puede introducir la estructura de un grupo abeliano definiendo el 0 y las siguientes igualdades: $R$ ${\ estilo de visualización, R}$ $A$ $B$ $\phi :A\a B$ $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$ $Hom_{R}(A,\B)$ $-$ $+$

0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a

Si es un submódulo del módulo , podemos considerar el módulo cociente como un conjunto de clases de equivalencia de elementos definiendo la relación de equivalencia entre los elementos: $norte$ $METRO$ $MINNESOTA$ $METRO$

a \ sim b

si y solo si .

licenciado en Letras

norte

Los elementos del módulo de factores generalmente se denotan como . Las operaciones de suma y multiplicación se definen mediante fórmulas . $[a]=\{a+n:n\en N\}=a+N$ $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$

Ejemplos

Todo grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de los enteros.
Cualquier grupo abeliano acotado (es decir, un grupo abeliano tal que ) es un módulo sobre el anillo de clases de residuos módulo . $norte$ $A$ ${\ estilo de visualización nA = 0}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $norte$
El espacio lineal sobre el campo es módulo sobre . $F$ $F$
El espacio lineal es un módulo sobre el anillo de todas sus transformaciones lineales . $V$ $L(V)$
Las formas diferenciales en una variedad suave están equipadas con una estructura de módulo natural sobre el anillo de todas las funciones suaves en . $METRO$ $METRO$
Si I es un ideal izquierdo del anillo R , entonces será un módulo izquierdo sobre este anillo. De manera similar, los ideales correctos serán módulos correctos.

Tipos de módulos

Módulos generados finitamente
Módulos cíclicos : Se dice que un módulo es cíclico si es generado por un solo elemento.
Módulos gratuitos
Módulos proyectivos
Módulos de inyección
Módulos indescomponibles : se dice que un módulo es indescomponible si es distinto de cero y no se puede descomponer en una suma directa de dos módulos distintos de cero.
Módulos completamente descomponibles : módulos que se pueden descomponer en una suma directa de indescomponibles.
Módulos simples
Módulos semisimples
Módulos artísticos
módulos noetherianos

Historia

Los ejemplos más simples de módulos (grupos abelianos finitos, es decir, -módulos) ya aparecen en Gauss como un grupo de clase de formas cuadráticas binarias. El concepto general de módulo se encuentra por primera vez en las décadas de 1960 y 1980. XIX en los trabajos de Dedekind y Kronecker , dedicados a la aritmética de campos de números algebraicos y funciones algebraicas. El estudio de las álgebras asociativas de dimensión finita, y en particular de las álgebras de grupos de grupos finitos (B. Pierce, F. Frobenius ), realizado por la misma época, condujo al estudio de los ideales de algunos anillos no conmutativos. Inicialmente, la teoría de los módulos se desarrolló principalmente como la teoría de los ideales de algún anillo. Solo más tarde, en los trabajos de E. Noether y W. Krull, se notó que es más conveniente formular y probar muchos resultados en términos de módulos arbitrarios, y no solo ideales. $\matemáticas {Z}$

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1967.