Haz (matemáticas)

Una gavilla es una estructura utilizada para establecer relaciones entre propiedades o características locales y globales de algún objeto matemático. Las poleas desempeñan un papel importante en topología , geometría diferencial y geometría algebraica , pero también tienen aplicaciones en teoría de números , análisis y teoría de categorías .

Definición intuitiva

En términos generales, una gavilla en un espacio topológico está dada por datos de dos tipos con dos propiedades adicionales. $F$ $X$

La primera parte de los datos está contenida en un mapeo que mapea cada subconjunto abierto del espacio a algún conjunto (abstracto) . Además, podemos exigir que se le dé cierta estructura a este conjunto, pero por ahora nos limitaremos al hecho de que esto es solo un conjunto. $tu$ $X$ $F(T)$

La segunda parte de los datos es que para cada par de conjuntos abiertos , se fija un cierto mapeo , llamado estrechamiento . (Actúa de manera similar a la operación de reducir el rango de funciones definidas en ) $V\subconjunto U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\to F(V)$ $V$ $tu$

También se requiere que estos datos tengan las siguientes dos propiedades:

Axioma de normalización : - un conjunto de un solo elemento. $F(\varnada)$
Axioma de pegado : si se da un sistema consistente de elementos(consistencia significa que los elementosytienen la misma restricción en el área), entonces estos determinan únicamente el elementode(donde es la unión de todos), cuyas restricciones en el área correspondiente son todos ellos. $x_{i}\en F(U_{i})$ $x_{yo}$ $x_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $X$ $F(T)$ $tu$ $tu_{i}$

Ejemplos

Paquetes de funciones

El ejemplo principal es un haz de funciones continuas sobre un espacio topológico X. La restricción de una función continua a un subconjunto abierto es una función continua sobre este subconjunto, y una función definida parcialmente sobre subconjuntos abiertos puede restaurarse en su unión.

Más precisamente, para cada subconjunto abierto del espacio denotamos el conjunto de todas las funciones continuas de valores reales . Dado un conjunto abierto contenido en y una función de , podemos reducir el alcance de la función a un conjunto y obtener una función . La restricción es una función continua en , por lo tanto, es un elemento del conjunto . Por lo tanto, se define el mapeo de restricciones . $tu$ $X$ $F(T)$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $V$ $tu$ $F$ $F(T)$ $F$ $V$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $V$ $F(V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\to F(V)$

El axioma de normalización obviamente se cumple, ya que solo hay una función continua del conjunto vacío en R : la función vacía . Para mostrar que el axioma del pegado también es válido, supongamos que tenemos un sistema consistente de funciones continuas , . Esto significa que las restricciones de las funciones y del conjunto deben coincidir. Definamos ahora la función de la siguiente manera: dado que es la unión de todos , cada punto de está cubierto por un conjunto para algunos . Definamos el valor de la función en el punto igual a . Esta definición es correcta: si también se encuentra en , entonces por la condición de consistencia , por lo que no importa cuál de estas funciones usar para determinar . Además, la función es continua en el punto , ya que en su vecindad coincide con la función continua . Como resultado, la función es continua en todo punto desde , es decir, continua en . Además, es la única función continua cuya restricción al dominio coincide con , ya que la función está completamente determinada por sus valores en los puntos. Como consecuencia, hay una y solo una función pegada de functions , a saber . $f_{i}:U_{i}\to {\mathbb{R}}$ $yo en yo$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $tu$ $tu_{i}$ $X$ $tu$ $tu_{i}$ $i$ $F$ $X$ $arreglar)$ $X$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $F$ $X$ $tu_{i}$ $arreglar)$ $F$ $tu$ $tu$ $F$ $tu_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $F$

De hecho, el paquete resultante no es solo un paquete de conjuntos. Dado que las funciones continuas se pueden sumar puntualmente para obtener funciones continuas nuevamente, esta gavilla también es una gavilla de grupos abelianos . Como también se pueden multiplicar, este haz es un haz de anillos conmutativos . Dado que las funciones continuas en un conjunto forman un espacio vectorial sobre R , este haz es un haz de álgebras sobre R .

Gavillas de soluciones a ecuaciones diferenciales

Para simplificar, trabajaremos con el espacio R . Suponga que se da una ecuación diferencial en R y se buscan soluciones suaves, es decir, funciones suaves que satisfagan esta ecuación. El ejemplo anterior describió cómo se construye un haz de funciones continuas en R. Se puede usar una construcción similar literalmente con las palabras "continuo" reemplazada por las palabras "suave" para construir un haz de funciones suaves en R . Denotemos este paquete por . es el conjunto de funciones suaves . Algunos elementos son soluciones a la ecuación . Resulta que estas soluciones en sí mismas forman un paquete. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}$ $GRAMO$ $GU)$ $U\a {\mathbb {R}}$ $GU)$ $F=0$

Para cada conjunto abierto , sea el conjunto de funciones suaves tal que . Las asignaciones de restricciones siguen siendo restricciones de funciones, al igual que en . todo también consiste en una función vacía. Para probar el axioma del pegado, sea un conjunto de conjuntos abiertos y sea su unión. Sean elementos consistentes en las intersecciones, es decir, . Definámoslo de la misma manera que antes: siempre cuando se define. Para asegurarse de que sigue siendo una solución a la ecuación diferencial, observe que la satisface en cada uno de los conjuntos , ya que allí coincide con la función . Por lo tanto, hay una solución a la ecuación . Para verificar qué es único, tenga en cuenta, como antes, qué está determinado por sus valores en los puntos, y estos valores deben coincidir con los valores en . Entonces, es el único pegado de funciones , por lo que hay una gavilla. $tu$ $H(T)$ $y:U\to {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\puntos)=0$ $GRAMO$ $H(\varnada)$ $\{U_{i}\},i\en yo$ $tu$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $F$ $f(x)=f_{i}(x)$ $arreglar)$ $F$ $F$ $tu_{i}$ $arreglar)$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ $arreglar)$ $tu_{i}$ $F$ $\{f_{i}\}$ $H$

Tenga en cuenta que está contenido en for any . Además, si es un elemento de , y es un conjunto abierto contenido en , entonces el resultado de aplicar el mapa de restricción a las funciones en el lápiz será el mismo que en el lápiz . En tales casos, se dice que la gavilla es una subgavilla de la gavilla . $H(T)$ $GU)$ $tu$ $F$ $H(T)$ $V$ $tu$ $V$ $F$ $H$ $GRAMO$ $H$ $GRAMO$

Dependiendo de la ecuación diferencial , puede ocurrir que al sumar dos soluciones de esta ecuación se vuelva a dar su solución, por ejemplo, si es lineal. En este caso se tratará de un haz de grupos con una operación de grupo dada por suma puntual de funciones. Sin embargo, en el caso general , solo una gavilla de juegos, y no una gavilla de grupos o anillos. $F$ $F$ $H$ $H$

Gavillas de campos vectoriales

Sea una variedad suave . El campo vectorial on asigna cada punto a un vector desde el espacio tangente hasta el punto . Se requiere que dependa sin problemas de . Definamos una gavilla que transportará información sobre campos vectoriales en . Para cada conjunto abierto , considere como una variedad suave y sea el conjunto de todos los campos vectoriales (suaves) en . En otras palabras, hay un conjunto de funciones que asignan un punto a un vector de , dependiendo suavemente de él. Como está abierto, . Definimos asignaciones de restricciones como restricciones de campos vectoriales. $METRO$ $V$ $METRO$ $X$ $METRO$ $V(x)$ $T_{x}M$ $METRO$ $X$ $V(x)$ $X$ $\mathcal{T}$ $METRO$ $tu$ $tu$ ${\ matemáticas {T}} (U)$ $tu$ ${\ matemáticas {T}} (U)$ $V$ $X$ $tu$ $V(x)$ $T_{x}U$ $tu$ $T_{x}U=T_{x}M$

Para mostrar que hay una gavilla, primero tenga en cuenta que consta de una sola función vacía, ya que no hay puntos en el conjunto vacío. Veamos ahora el axioma del pegado. Sea , un conjunto de conjuntos abiertos, y U su unión. En cada conjunto abierto , elegimos un campo vectorial y suponemos que estos campos son consistentes en las intersecciones, es decir, . Ahora definimos un nuevo campo vectorial V en U de la siguiente manera: para cualquier x de U , elija , que contenga x . Definamos V(x) como . Dado que los campos son consistentes en las intersecciones, V está bien definida. Además, V(x) es un vector tangente de , que depende suavemente de x , ya que depende suavemente de x y la "dependencia suave" es una propiedad local. Finalmente, V es el único pegado posible de los campos , ya que V está únicamente determinado por sus valores en cada punto x , y estos valores deben coincidir con los valores del campo en . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(\varnada)$ $\{U_{i}\}$ $yo en yo$ $tu_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $tu_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $tu_{i}$

Se puede dar otra definición de haz usando el paquete tangente TM de la variedad M. Considere una proyección natural que asigna un punto x a un par (x, v) , donde x es un punto en M y v es un vector de . Un campo vectorial en un conjunto abierto U es lo mismo que una sección de la proyección p , es decir, un mapeo suave tal que , donde es el mapeo de identidad en U . En otras palabras, la sección s asocia un punto x con un par (x, v) de forma suave. El mapeo s no puede asociar un punto x con un par (y, v) con , debido a la condición . Esto nos permite representar el paquete tangente como un paquete de secciones de un paquete tangente. En otras palabras, para cualquier U hay un conjunto de todas las secciones de la proyección p , y los mapas de restricción son la restricción habitual de funciones. Por analogía, se puede construir un haz de secciones de cualquier mapeo continuo de espacios topológicos. $\mathcal{T}$ $p:TM\a M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {identificación}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\ matemáticas {T}} (U)$

Una gavilla es siempre una gavilla de grupos con operaciones de suma de vectores puntuales. Sin embargo, por lo general no hay gavilla de anillos, ya que la operación de multiplicación no se define de forma natural en los vectores. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Formal definición

El primer paso para definir la noción de haz es definir la noción de prehaz , que abarca los espacios de datos asociados con cada subconjunto abierto de un espacio topológico y las operaciones de restringir esos datos de subconjuntos más grandes a más pequeños. En el segundo paso, se imponen restricciones adicionales: los requisitos para la satisfacibilidad de los axiomas de normalización y pegado. Una pregavilla que satisface estos requisitos es una gavilla.

Definición de pregavilla

Sea un espacio topológico y C una categoría . Una pregavilla con valores en la categoría C se da sobre un espacio si [1] : $X$ $X$ $F$

Cada subconjunto abierto está asociado con F(U) , un objeto de categoría C. $tu$ $X$
Cada inclusión de conjuntos abiertos está asociada con un morfismo de objetos de la categoría C : $V\subconjunto U$

\rho _{{VU}}\colon F(U)\to F(V)

Estos morfismos se denominan morfismos de restricción . La totalidad de estos morfismos deben satisfacer las siguientes condiciones:

Para cualquier conjunto abierto , es el morfismo identidad del objeto . $tu$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {UU}}$ $F(T)$
Para cada inclusión doble , la igualdad $W\subconjunto V\subconjunto U$

\rho_{{WV}}\circ \rho_{{VU}}=\rho_{{WU}}

La última condición significa que debería ser indiferente si limitamos los datos de un área a otra directamente, o en dos etapas, con una restricción preliminar en , y de ella ya - en . $tu$ $W$ $V$ $W$

Pre-gavillas en teoría de categorías

Se obtiene una definición muy compacta de pregavilla en términos de teoría de categorías. En primer lugar, se define la categoría O(X) de conjuntos abiertos del espacio X , cuyos objetos son subconjuntos abiertos de X , y el conjunto de morfismos de un objeto V de esta categoría en un objeto U en el caso de que V sea un subconjunto de U , consta de un solo morfismo: el mapeo de la inclusión V en U , y vacío de lo contrario. Entonces un prehaz sobre un espacio X con valores en la categoría C es cualquier funtor contravariante F de la categoría O(X) a la categoría C. Tal definición de presheaf permite una mayor generalización cuando se consideran funtores en C , no necesariamente de una categoría de la forma O(X) (ver presheaf (teoría de categorías) ).

Si se da un prehaz F sobre un espacio X con valores en la categoría C , y U es un subconjunto abierto de X , entonces el objeto F(U) se denomina espacio de sección del prehaz F sobre el conjunto U . Si C es una categoría específica , entonces cada elemento del conjunto F(U) se denomina sección del haz F sobre U , por analogía con las secciones de los espacios fibrosos y el espacio étale del haz (ver más abajo ). Una sección sobre X se llama sección global . La restricción de sección generalmente se denota como . F (U) también se denota a menudo como , especialmente en el contexto de la teoría de la cohomología de haces , en la que el dominio U es fijo y el haz F es variable. ${\ estilo de visualización \ rho _ {VU} (s)}$ $s$ $s|_{V}$ $\Gamma (U, F)$

Definición de gavilla

Una gavilla es una pregavilla en la que se cumplen 2 axiomas [2] .

$F(\varnada)$ es un objeto terminal de categoría C .

Por supuesto, para que el axioma tenga sentido, la categoría C debe tener un objeto terminal. En la práctica, este suele ser el caso.

Sin embargo, un axioma más importante es el axioma del pegado . Recuérdese que en los ejemplos discutidos anteriormente, este axioma requería que el conjunto de datos (secciones de la gavilla) que son consistentes en las intersecciones de sus dominios de definición siempre permitan (además, de forma única) su pegado — una sección sobre la unión de abiertos conjuntos sobre los que esta sección se da como si fuera parcialmente. Para simplificar, formulamos el axioma de pegado en el caso de que C sea una categoría concreta. Para el caso general, véase el artículo " Axioma del pegado ".

Sea un conjunto de conjuntos abiertos en el espacio X , y sea U su unión. Deje que se dé una sección de una (pre)gavilla F sobre cada uno de ellos . Un conjunto de estas secciones se llama compatible si para cualquier i y j $tu_{i}$ $s_{i}\en F(U_{i})$

\rho_{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho_{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} }(s_{j})

El axioma de pegado para F se cumple si

cada conjunto de cortes consistentes define un corte único tal que para cada i . $si}$ $s\en F(U)$ $s_{i}=\rho_{{U_{i},U}}s$

La sección s se llama pegado ( eng. pegado, concatenación, colación ) de secciones , ya que es, por así decirlo, pegado de secciones más pequeñas. $si}$

En los ejemplos dados arriba, ciertas funciones correspondían a las secciones transversales de las vigas. En tales casos, el axioma del pegado parte de funciones que coinciden en las intersecciones y afirma la existencia de una única función f que extiende simultáneamente todas las funciones al conjunto U , justo lo que se mostró en esos ejemplos para demostrar que en ellos efectivamente se presentaba un haz. . $f_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f_{i}$

A menudo, el axioma de pegado se divide en dos partes: el axioma de existencia y el axioma de singularidad. Las pregavillas que satisfacen únicamente el axioma de unicidad se denominan pregavillas separables ( separadas en inglés ).

Más ejemplos

Dado que las gavillas contienen exactamente los datos necesarios para pasar de situaciones locales a situaciones globales, hay muchos ejemplos de gavillas que ocurren en matemáticas. Estos son algunos ejemplos adicionales de paquetes:

Cualquier mapeo continuo de espacios topológicos define un haz de conjuntos. Sea f : Y → X una aplicación continua. Definimos la gavilla como igual al conjunto de todas las secciones de la aplicación , es decir, es el conjunto de todas las aplicaciones s : U → Y tal que los morfismos de restricción están dados por la restricción habitual de la aplicación a subconjuntos del dominio de definición . Este haz se llama haz de secciones de f , y es especialmente importante cuando f es la proyección del espacio fibroso sobre el espacio de su base. Cabe señalar que en el caso de que la imagen de f no contenga a U en su totalidad, el conjunto está vacío. Como ejemplo específico, puede tomar y . Entonces hay muchas ramas del logaritmo sobre el conjunto . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $f|_{U}:U\a Y$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \barra invertida 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $tu$
Sea M una variedad C k (una variedad de suavidad k). Para cada subconjunto abierto U en M definimos U → R como el conjunto de todas las funciones C k -suaves . Los morfismos de restricción son restricciones de funciones ordinarias. Luego hay un haz de anillos con sumas y multiplicaciones dadas por sumas puntuales y multiplicaciones de funciones. Este haz se llama el haz de estructura de M . ${\mathcal {O}}_{M}(U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Para cada j ≤ k , también se define una gavilla sobre M , llamada la gavilla de j -veces funciones continuamente diferenciables en M . es una subgavilla de la gavilla que, en un conjunto abierto U , define el conjunto de todas las funciones C j en U . ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Un haz de funciones sin ceros se define sobre M. Es decir, para cada U , existe el conjunto de todas las funciones de valor real en U que no se anulan. Este es un haz de grupos con una operación de grupo dada por la multiplicación puntual de funciones. ${\mathcal {O}}_{X}^{\veces}$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times}(U)$
M también tiene un haz cotangente Ω M . En todo conjunto abierto U , Ω M ( U ) existe un conjunto de formas diferenciales de grado 1 en U . Los morfismos de restricción son las restricciones habituales de las formas diferenciales. De manera similar, para cualquier p > 0, se define el haz Ω p de formas p diferenciales.
Si M es una variedad suave, para cada conjunto abierto U , el conjunto es el conjunto de todas las distribuciones de valor real ( funciones generalizadas ) en U. Las restricciones se establecen por restricción de funciones. Entonces se convierte en un conjunto de funciones generalizadas . ${\ matemáticas {DB}} (U)$ ${\ matemáticas {DB}}$
Sea X una variedad compleja y U un subconjunto abierto de X , definido como el conjunto de operadores diferenciales holomorfos de orden finito sobre U . Al especificar la restricción como una restricción de función ordinaria, obtenemos una gavilla llamada gavilla de operadores diferenciales holomorfos . ${\mathcal {D}}_{X}(U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Fijamos un punto x de X y algún objeto S de categoría C. Un haz rascacielos sobre x con fibra S es un haz S x , definido como sigue: Si U es un conjunto abierto que contiene x , entonces S x ( U ) = S , de lo contrario S x ( U ) es un objeto terminal de categoría C . Los mapas de restricción, respectivamente, son el morfismo de identidad de un objeto S si ambos conjuntos abiertos contienen x , o el mismo morfismo único de S en un objeto terminal de la categoría C.

Algunas estructuras matemáticas se definen como espacios con una gavilla fija. Por ejemplo, un espacio con un montón de anillos arriba (sobre él) se llama espacio anillado . Si todas las fibras (ver más abajo) de una gavilla son anillos locales , entonces este es un espacio con anillos locales . Si las secciones de un haz de anillos locales se pueden representar localmente como elementos de algún anillo conmutativo, obtenemos el esquema .

Aquí hay 2 ejemplos de poleas previas que no son poleas:

Sea un espacio topológico de dos puntos con topología discreta. Definimos el presheaf F de la siguiente manera: el mapeo de restricciones es la proyección desde sobre el primer componente, y el mapeo de restricciones es la proyección sobre el segundo componente. Es una pregavilla que no es separable: toda sección global se define por tres números, pero las secciones superan (conjuntos abiertos) y definen sólo dos de ellos. Aunque es posible pegar cualquiera de las dos secciones dadas por puntos , no hay unicidad de tal pegado. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnada)=\{\varnada\},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} .$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\estilo de script \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\estilo de script \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Sea X un plano complejo , y para sus subconjuntos abiertos U ponemos F ( U ) el conjunto de funciones holomorfas acotadas en U con las aplicaciones de restricción habituales. Esto no será una viga, ya que pegar en este caso no siempre es posible. Por ejemplo, sea U r un disco abierto | z | < r . La función f ( z ) = z está acotada en cada disco U r . Por lo tanto, obtenemos secciones consistentes s r sobre U r (que son restricciones de la función f ( z ) sobre U r ). Sin embargo, no permiten el pegado, ya que la función f no está acotada en todo el plano complejo. Por tanto , F es una pregavilla, pero no una gavilla. Tenga en cuenta que F es separable porque es un subhaz del haz de funciones holomorfas en X .

Morfismos de gavilla

Dado que los haces contienen datos asociados con cada subconjunto abierto de X , un morfismo de haces se define como un conjunto de asignaciones, una para cada conjunto abierto, que satisface algunas condiciones de coherencia.

Las gavillas son pre-gavillas de un tipo especial, así como los grupos abelianos son un caso especial de grupos (las gavillas forman una subcategoría completa en la categoría de pre-gavillas). En otras palabras, un morfismo de gavillas es lo mismo que un morfismo en la categoría de pre-gavillas, pero entre objetos que son gavillas; el axioma de pegado no se usa de ninguna manera en la definición de un morfismo.

Morfismos de gavilla sobre un espacio

En esta sección, todas las gavillas se definen sobre el espacio X y toman valores en una categoría fija C (cuando hablamos del núcleo y conúcleo de los morfismos, asumimos que C es una categoría abeliana ).

Let y be dos tales paquetes. Un morfismo de C-gavillas en X se asocia con cada conjunto abierto U de X un morfismo , de modo que todos estos morfismos son compatibles entre sí y con las aplicaciones de restricción en ambas poleas. En otras palabras, para todo conjunto abierto V y su subconjunto abierto U , existe un diagrama conmutativo : ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),$

Esta condición de consistencia significa que cada sección s del haz G sobre un conjunto abierto V está asociada con alguna sección sobre V del haz F , y sus restricciones a un subconjunto abierto U del conjunto V están relacionadas por un morfismo . (La restricción a la imagen V de una sección s es la misma que la imagen de su restricción a V .) ${\ estilo de visualización \ varphi _ {V} (s)}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

El simple hecho de que un morfismo de gavillas es un isomorfismo (es decir, tiene un morfismo inverso) exactamente cuando todos los morfismos son isomorfismos (reversibles). Lo mismo es cierto para los monomorfismos y no para los epimorfismos . Esto se debe al hecho de que el núcleo de un morfismo de gavillas es siempre una gavilla, mientras que la imagen y el conúcleo pueden no serlo (pero siempre serán pregavillas separables). Véase el artículo " Cohomología de haces ". $\varphi _{U}$

Morfismos de gavilla sobre diferentes espacios

Además, las poleas toman valores en una categoría C fija , pero se pueden definir en diferentes espacios.

Sean X e Y espacios topológicos con poleas O X y O Y definidas en ellos, respectivamente. El morfismo de un par ( X , O X ) en ( Y , O Y ) viene dado por los siguientes datos:

Mapeo continuo f : X → Y
una familia de C - morfismos φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) para cada subconjunto abierto V del espacio Y que conmuta con mapeos de restricción. Es decir, si V 1 ⊂ V 2 son dos subconjuntos abiertos de Y , el siguiente diagrama debe ser conmutativo (las flechas verticales son morfismos de restricción de subconjuntos):

Esta definición también es adecuada para definir un morfismo de pregavillas sobre diferentes espacios.

Gavilla asociada con pregavilla

A menudo es útil representar los datos que forman la previga usando un haz. Resulta que hay un procedimiento muy conveniente que le permite hacer esto. Tome una pregavilla y construya una nueva gavilla , llamada la gavilla asociada con la pregavilla . se denomina funtor de gavilla asociado ( del inglés sheaving funtor, sheafification funtor, associated sheaf funtor ). Existe un morfismo natural de pregavilla con la propiedad de universalidad de que para cualquier morfismo de gavilla y pregavilla existe un único morfismo de gavilla tal que . De hecho, hay un funtor adjunto al funtor de incrustación de la categoría de gavillas en la categoría de pregavillas, y hay una unidad de conjugación . $F$ $aF$ $F$ $a$ $i:F\to aF$ $GRAMO$ $f:F\a G$ ${\tilde f}:aF\to G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $a$ $i$

Gérmenes de secciones de vigas

La capa de gavilla permite describir las propiedades de la gavilla “cerca” del punto x ∈ X. Aquí "cerca" significa que estamos mirando la vecindad más pequeña posible del punto. Por supuesto, ningún vecindario es lo suficientemente pequeño por sí mismo, pero podemos considerar su límite (o, más exactamente, colimit ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\ matemáticas {F}}$

La capa sobre el punto x se define como

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim_{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

el límite directo de todas las vecindades del punto x . En otras palabras, un elemento de la capa es una sección del haz en algún entorno x , y dos de esas secciones corresponden a un elemento del haz si tienen la misma restricción en algún entorno del punto x .

El morfismo natural F ( U ) → Fx toma una sección s en una vecindad de F ( U ) hasta su germen . Esto generaliza la definición habitual de un germen .

Historia

En 1936, P. S. Aleksandrov propuso la construcción de un nervio de cubierta que asocia una cubierta abierta arbitraria con un complejo simplicial .
En 1938 , Hassler Whitney dio una definición "moderna" de cohomología, resumiendo el trabajo realizado desde que Alexander y Kolmogorov definieron las cocadenas .
En 1945, Jean Leray publicó los resultados de un trabajo realizado en cautiverio alemán que dio lugar a la teoría de haces y secuencias espectrales .
En 1948, en un seminario de Cartan , se escribieron por primera vez en su totalidad los principios de la teoría de las poleas.
En 1950, en el seminario de Cartan, se propuso una "segunda versión" de la teoría de las gavillas: se utilizan la definición del espacio étale de una gavilla y la estructura de las capas. Al mismo tiempo, Kiyoshi Oka planteó la idea de un paquete de ideales.
En 1954, Serre escribió el artículo Faisceaux algébriques cohérents (publicado en 1955), que marcó el comienzo del uso de poleas en geometría algebraica . Sus ideas fueron retomadas inmediatamente por Hirzebruch , quien en 1956 escribió un importante libro sobre métodos topológicos en geometría algebraica.
En 1955, Grothendieck , en sus conferencias en Kansas, define la categoría abeliana y el prehaz, y con la ayuda de resoluciones inyectivas hace posible utilizar la cohomología de haces en un espacio topológico arbitrario como funtores derivados .
En 1957, Grothendieck desarrolla la teoría de las poleas de acuerdo con las necesidades de la geometría algebraica, introduciendo los conceptos: esquemas y poleas generales para sobre ella, cohomología local , categorías derivadas y topologías de Grothendieck .

Véase también

Teoría de los topos

Notas

↑ Schwartz, 1964 , pág. 181.
↑ Schwartz, 1964 , pág. 180.

Literatura

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Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Segunda serie Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Métodos topológicos en geometría algebraica: clásicos en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (edición actualizada de un clásico que usa suficiente teoría de la gavilla para mostrar su poder )
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