Descomposición de Schur

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Descomposición de Schur : descomposición de una matriz en matrices unitarias , triangulares superiores y unitarias inversas , nombradas así por Isai Schur .

Declaración

Si es una matriz cuadrada de orden con elementos complejos , entonces se puede representar como [1] [2] : $A$ $norte$

A=QUQ^{-1}

donde es una matriz unitaria (por lo que su inversa es una matriz hermitiana conjugada ), y es una matriz triangular superior , que se denomina forma de Schur de la matriz . Debido a que es similar a una matriz , tiene el mismo multiconjunto de valores propios , y debido a que es triangular, estos valores propios son los mismos que los elementos diagonales de la matriz . $q$ $Q^{-1}$ $Q^{*}$ $q$ $tu$ $A$ $tu$ $A$ $tu$

De la descomposición de Schur se deduce que hay una secuencia incrustada de subespacios invariantes y una base ortogonal ordenada tal que una combinación lineal de los vectores de la primera base da para todos en la secuencia. En otras palabras, la primera parte dice que un mapeo lineal en un espacio vectorial complejo de dimensión finita estabiliza toda la bandera . $A$ $\{0\}=V_{0}\subconjunto V_{1}\subconjunto \puntos \subconjunto V_{n}=\mathbb {C} ^{n}$ $i$ $V_i$ $i$ $j$ $V_{1},\puntos V_{n}$

Prueba

Una prueba constructiva de la descomposición de Schur es la siguiente: cualquier operador en un espacio vectorial complejo de dimensión finita tiene un valor propio correspondiente al espacio propio . Sea un complemento ortonormal. Con tal descomposición ortogonal , tiene una representación matricial (puede elegir cualquier base ortonormal y para los espacios generados por ellas y respectivamente): $A$ $\lambda$ $V_{\lambda}$ $V_{\lambda }^{\perp}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {1}}$ $\mathbb{Z} _{2}$ $V_{\lambda}$ $V_{\lambda }^{\perp}$

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{matriz}}\rightarrow {\begin{matriz}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matriz}}

donde está el operador de identidad en . La matriz resultante es triangular excepto por el bloque . Pero exactamente el mismo procedimiento se puede realizar para la submatriz , que se considera como un operador sobre y sus submatrices. Al continuar el procedimiento una vez, el espacio se agotará y la construcción dará el resultado deseado. ${\ Displaystyle I_ {\ lambda}}$ $V_{\lambda}$ ${\ estilo de visualización A_ {2 \, 2}}$ ${\ estilo de visualización A_ {2 \, 2}}$ $V_{\lambda }^{\perp}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$

Características

Aunque cualquier matriz cuadrada tiene una descomposición de Schur, en general dicha descomposición no es única. Por ejemplo, un espacio propio puede tener una dimensión mayor que 1, en cuyo caso cualquier base ortonormal para dará el resultado deseado. $V_{\lambda}$ $V_{\lambda}$

Una matriz triangular se puede representar como la suma de una matriz diagonal y una triangular estrictamente superior : . Una matriz triangular estrictamente superior es nilpotente . La matriz diagonal contiene los valores propios de la matriz en orden aleatorio. La parte nilpotente generalmente tampoco es única, pero su norma de Frobenius está determinada únicamente por la matriz , ya que la norma de Frobenius de la matriz es igual a la norma de Frobenius de la matriz . $tu$ $D$ $norte$ ${\ estilo de visualización U = D + N}$ $D$ $A$ $norte$ $A$ $A$ ${\ estilo de visualización U = D + N}$

Si es normal , entonces su forma de Schur es diagonal , y las columnas de la matriz de descomposición serán vectores propios de la matriz . La descomposición de Schur generaliza así la descomposición espectral . En particular, si es definido positivo , su descomposición de Schur, su descomposición espectral y su descomposición en valor singular son las mismas. $A$ $tu$ $q$ $QUQ^{-1}$ $A$ $A$

Una familia conmutativa de matrices se puede reducir a la vez a una forma triangular, es decir, existe una matriz unitaria tal que para cualquiera de la familia dada es triangular superior. La afirmación final se prueba por inducción. Como consecuencia, cualquier familia conmutativa de matrices normales puede reducirse a una forma diagonal [3] . ${\ estilo de visualización \ {A_ {i} \}}$ $q$ $Ai}$ $QA_{i}Q^{*}$

En el caso de dimensión infinita, no todos los operadores acotados en un espacio de Banach tienen un subespacio invariante . Sin embargo, la triangularización de una matriz cuadrada arbitraria se generaliza a operadores compactos . Cualquier operador compacto en un espacio de Banach tiene un nido de subespacios invariantes cerrados.

Cálculo

La descomposición de Schur de una matriz dada se realiza mediante el algoritmo QR o sus variantes. Con el uso de dichos algoritmos para la descomposición de Schur, no es necesario calcular previamente las raíces del polinomio característico correspondiente a la matriz. Por el contrario, el algoritmo QR se puede usar para calcular las raíces de cualquier polinomio característico determinado al encontrar la descomposición de Schur de su matriz adjunta . De la misma manera, el algoritmo QR se utiliza para calcular los valores propios de cualquier matriz dada que son los elementos diagonales de la matriz de descomposición de Schur triangular superior. Todos los algoritmos necesarios se implementan, en particular, en la biblioteca Lapack [4] .

Aplicaciones

Algunos resultados importantes de la teoría de Lie se derivan de la descomposición de Schur en particular:

cualquier operador invertible está contenido en un subgrupo de Borel ,
cualquier operador fija un punto en la bandera múltiple .

Descomposición de Schur generalizada

La descomposición de Schur generalizada de dos matrices cuadradas y es un par consistente de descomposiciones de ambas matrices y , donde y son unitarias y y son triangulares . La descomposición de Schur generalizada a veces también se denomina descomposición QZ . $A$ $B$ $A=QSZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $q$ $Z$ $S$ $T$

Los valores propios generalizados que resuelven el problema de valor generalizado (donde es un vector distinto de cero desconocido) se pueden calcular como la relación de los elementos diagonales a los elementos correspondientes de . Es decir, el -ésimo valor propio generalizado satisface la igualdad . $\lambda$ $Ax=\lambda Bx$ $X$ $S$ $T$ $i$ $\lambda _{i}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {i} = S_ {ii}/T_ {ii}}$

Notas

↑ R. A. Horn, C. R. Johnson. análisis matricial. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1985. - ISBN 0-521-38632-2 . )
↑ GH Golub, CF Van Loan. Cálculos Matriciales. — 3er. - Prensa de la Universidad Johns Hopkins, 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
↑ Descomposición de Schur (inglés) // Wikipedia. — 2020-03-17.
↑ E. Anderson. Guía del usuario de LAPACK. - Tercero. - Filadelfia, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 1999. - ISBN 0-89871-447-8 .

Literatura

VV Prasolov. Problemas y teoremas de álgebra lineal. - 2do. — Moscú, 2008. — P. 226-227 (3.7.1. Descomposición de Schur), 498 (9.3.5. Descomposición de Schur).