Símbolos de Christoffel

Los símbolos de Christoffel (o Christoffel ) son los coeficientes de la expresión coordinada de la conexión afín , en particular, la conexión Levi-Civita . El nombre de Elvin Bruno Christoffel . Se utiliza en geometría diferencial , relatividad general y teorías relacionadas de la gravedad . Aparecen en la expresión de coordenadas del tensor de curvatura . Al mismo tiempo, los símbolos en sí mismos no son tensores.

Generalmente denotado por ; a veces, siguiendo la notación original de Christoffel, se usa el símbolo [1] ${\ estilo de visualización \ gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\{{\begin{pequeña matriz}k\\ij\end{pequeña matriz}}\}.$

A continuación, se utiliza la regla de suma de Einstein, es decir, sobre superíndices y subíndices repetidos, la suma está implícita.

Historia

Los símbolos aparecieron por primera vez en el artículo de Christoffel "Sobre la transformación de expresiones diferenciales homogéneas de segundo grado" (en alemán: Über die Transformation der homogeneen Differentialausdrücke zweiten Grades - J. fur Math., No. 70, 1869). En él, el autor consideró las condiciones para la coincidencia de la geometría riemanniana , definida por dos formas métricas diferentes. Independientemente de Christoffel, un problema similar fue resuelto por Rudolf Lipschitz , cuyo artículo apareció un año después [1] .

Un concepto elemental de los símbolos de Christoffel

Introducción

Se puede obtener una representación visual de los símbolos de Christoffel utilizando el ejemplo de un sistema de coordenadas polares . En este sistema , las coordenadas de un punto son la distancia desde este al polo y el ángulo de dirección desde el eje polar. ${r}$ $\varphi$

Las coordenadas del vector , como en el sistema de coordenadas rectangulares , deben considerarse diferenciales (incrementos infinitamente pequeños) de estas cantidades: . $({\rm d}r,\,{\rm d}\varphi)$

Sea un vector con componentes , donde tiene el significado geométrico de la proyección del vector sobre el rayo radial (que pasa por el comienzo del vector), y es el ángulo en el que se ve el vector desde el polo. En un sistema de coordenadas rectangulares, los componentes del vector no cambian durante la traslación paralela. Este no es el caso en el sistema de coordenadas polares ( ver Figuras 1 y 2 ). $\negrita símbolo A$ $(a,\,\alfa)$ $a$ $\negrita símbolo A$ $\alfa$

Los símbolos de Christoffel simplemente expresan el cambio en los componentes del vector durante su transferencia paralela.

Traslación paralela a lo largo de líneas de coordenadas

Cuando el vector se desplaza a lo largo del rayo radial una distancia , su componente obviamente no cambia, pero su segunda coordenada ( ) disminuye ( Fig. 1 ). El valor del vector permanece sin cambios, por lo tanto . De aquí resulta (despreciando los valores del segundo y superiores órdenes de pequeñez ): ${\rm d}r$ $a$ $\alfa$ $|A|^2= a^2 + r^2\alfa^2$ $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

La traslación paralela a lo largo del arco cambia tanto las coordenadas como ( Fig. 2 ). Obviamente, , , y por lo tanto: $a$ $\alfa$ $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$ $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Además, dado que , , y , entonces $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ $A\sin\lambda=r\alfa$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Traslación paralela en una dirección arbitraria

Para un pequeño desplazamiento arbitrario del vector (cuando tanto y como cambian), se deben sumar los cambios en los componentes : $r$ $\varphi$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi .

Las expresiones resultantes tienen una estructura común: el cambio en los componentes del vector es proporcional a todos los componentes del vector y proporcional a la magnitud del desplazamiento del vector. Los coeficientes de proporcionalidad (sin un menos común) se denominan símbolos de Christoffel .

En una notación más general , , , y se puede escribir (teniendo en cuenta la suma sobre índices repetidos ): $x ^ 1 = r$ $x^2=\varfi$ ${A^1=a}$ $A^2=\alfa$

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Aquí los símbolos de Christoffel , y todos los demás son iguales a cero. ${\Gamma^1_{22}=-r}$ $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$

En un sistema de coordenadas rectangulares, todos los símbolos de Christoffel son iguales a cero, ya que los componentes del vector no cambian durante la traslación paralela. De esto se puede concluir que los símbolos de Christoffel no forman un tensor : si un tensor es cero en cualquier sistema de coordenadas, entonces es cero en todos los demás sistemas de coordenadas.

Símbolos de Christoffel de primer y segundo tipo

Los símbolos de Christoffel del segundo tipo se pueden definir como los coeficientes de la expansión de la derivada covariante de vectores de coordenadas con respecto a la base: $\Gamma^{k}_{ij}$ $\parcial_i=\frac{\parcial }{\parcial x^i}$

\nabla_{\parcial_{j}}\parcial_{i}=\Gamma_{ij}^{k}\parcial_{k}.

Símbolos de Christoffel del primer tipo : $\Gamma^{}_{n,ij}$

\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\parcial g_{in} {\parcial x^{j))}+{\frac {\parcial g_{jn)){\parcial x^{i))}-{\frac {\parcial g_{ij)){\parcial x^ {n}}}\derecha).

Expresión en términos del tensor métrico

Los símbolos de Christoffel de la conexión Levi-Civita para un mapa se pueden determinar a partir de la ausencia de torsión, es decir, $x^yo$

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},

y la condición de que la derivada covariante del tensor métrico sea igual a cero: $g_{{ik}}$

0=\nabla_{\ell }g_{ik}={\frac {\parcial g_{ik)){\parcial x^{\ell ))}-g_{mk}\Gamma ^{m} {}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.

Para acortar la notación, el símbolo nabla y los símbolos de derivadas parciales a menudo se omiten, en lugar de ellos, se coloca un punto y coma ";" antes del índice por el cual se hace la diferenciación. en caso de covariante y coma "," en caso de derivada parcial. Entonces la expresión anterior también se puede escribir como $\nabla$

0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m} {}_{k\ell}.

Las expresiones explícitas para los símbolos de Christoffel del segundo tipo se obtienen sumando esta ecuación y las otras dos ecuaciones, que se obtienen por permutación cíclica de índices:

\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\parcial g_{mk}}{\parcial x^{\ell ))}+{\frac {\parcial g_{m\ell }}{\parcial x^{k}}}-{\frac {\parcial g_{k\ell }}{\parcial x ^{m))}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m }),

donde es la representación contravariante de la métrica, que es la matriz inversa a , se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones lineales . $g^{ij}$ $g_{ij}$ ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta_{k}^{i))$

Notación invariante

La notación invariable para la conectividad se abstrae de un sistema de coordenadas específico y, por lo tanto, es más preferible para probar teoremas matemáticos.

Sean X e Y campos vectoriales con componentes y . Entonces la k -ésima componente de la derivada covariante del campo Y con respecto a X está dada por ${\ Displaystyle X ^ {i}}$ ${\ Displaystyle Y ^ {k}}$

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac { \parcial Y^{k}}{\parcial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).

La condición libre de torsión para una conexión :

{\ estilo de visualización \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}

es equivalente a la simetría de los símbolos de Christoffel en dos subíndices:

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.

Cambio de coordenadas

Aunque los símbolos de Christoffel están escritos en la misma notación que los componentes de los tensores , no son tensores porque no se transforman como tensores cuando cambian a un nuevo sistema de coordenadas. En particular, al elegir coordenadas en la vecindad de cualquier punto, los símbolos de Christoffel pueden hacerse localmente iguales a cero (o al revés distintos de cero), lo que es imposible para un tensor.

Cuando las variables se reemplazan por vectores base, se transforman covariantemente: ${\ estilo de visualización (x ^ {1}, \ puntos, x ^ {n}) \ }$ ${\ estilo de visualización (y ^ {1}, \ puntos, y ^ {n})}$

{\frac {\parcial }{\parcial y^{i))}={\frac {\parcial x^{k)){\parcial y^{i))}{\frac {\parcial} {\parcial x^{k))},

de donde se sigue la fórmula de transformación del símbolo de Christoffel:

{{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\parcial x^{p}}{\parcial y^{i}}}\,{\ frac {\x parcial^{q}}{\y parcial^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\y parcial^{k}}{\ parcial x^{r))}+{\frac {\parcial y^{k)){\parcial x^{r))}\,{\frac {\parcial ^{2}x^{r)){ \parcial y^{i}\parcial y^{j}}}.

El guión significa el sistema de coordenadas y . Por lo tanto, los símbolos de Christoffel no se transforman como un tensor. Representan un objeto geométrico más complejo en el espacio tangente con una ley de transformación no lineal de un sistema de coordenadas a otro.

nota _ Puede ver, por ejemplo, a partir de la definición que el primer índice es tensorial, es decir, según él, los símbolos de Christoffel se transforman en un tensor.

Símbolos de Christoffel en varios sistemas de coordenadas

Utilizando la expresión del símbolo a través del tensor métrico , o transformando las coordenadas, se pueden obtener sus valores en cualquier sistema de coordenadas. En mecánica y física, los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales son los más utilizados . En este caso, los símbolos de Christoffel con coeficientes iguales se expresan en función de los coeficientes de Lamé (elementos diagonales del tensor métrico) , y todos los demás son cero. $H_\beta$

Los símbolos de Christoffel del primer tipo se expresan de la siguiente manera:

\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\parcial H_{\beta }}{\parcial x^{\gamma }}}

{\ estilo de visualización \ beta \ neq \ gamma,}

\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\parcial H_{\beta )){\parcial x^{\gamma ))}.

Símbolos de Christoffel del segundo tipo:

\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\parcial H_{\ beta }}{\x parcial^{\gamma }}}

{\ estilo de visualización \ beta \ neq \ gamma,}

\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta ))}{\frac {\H_ parcial{\beta }}{\x parcial^{\gamma }}}.

Valores para sistemas de coordenadas comunes:

En el sistema de coordenadas cartesianas : , por lo que la derivada covariante es la misma que la derivada parcial. $\{x,y,z\}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {ij} ^ {k} \ equivalente 0}$
En un sistema de coordenadas cilíndricas : , . El resto son cero. ${\ estilo de visualización \ {r, \ phi, z \}}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {22} ^ {1} = -r}$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r))$
En el sistema de coordenadas esféricas : , , , , . El resto son cero. ${\ estilo de visualización \ {r, \ theta, \ phi \}}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {22} ^ {1} = -r}$ $\Gamma _{33}^{1}=-r\sen ^{2}\theta$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$ $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$ $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\nombre del operador {ctg} \theta$

Variaciones y generalizaciones

Diferencia de dos conexiones afines

\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla}}_{X}Y

es un tensor. Si se define en el mapa como una conexión en la que los campos tensoriales con componentes constantes son paralelos, los Christoffels son los componentes del tensor resultante . En este caso, la ausencia de torsión para ambas conexiones implica la simetría del tensor ${\tilde {\nabla))$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$ $\Gama$

{\ estilo de visualización \ Gamma _ {X} Y = \ Gamma _ {Y} X}

Puede elegir una conectividad base diferente . Por ejemplo, al declarar un campo arbitrario de marcos ortonormales paralelos; así es como se hace en el método del marco móvil . Dado que en este caso la conexión puede tener una torsión distinta de cero , entonces en general . Sin embargo, dado que ambas conexiones son riemannianas, se cumple otra relación igualmente útil: ${\tilde {\nabla))$ ${\tilde {\nabla))$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {X} Y \ neq \ Gamma _ {Y} X}$

\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0

En otras palabras, es una forma 1 en una variedad con valores en operadores antisimétricos en el espacio tangente. $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {X}}$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Matemáticas del siglo XIX. Volumen II: Geometría. Teoría de las Funciones Analíticas / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . - M. : Nauka, 1981. - S. 89. - 270 p.

Literatura

Dimitrienko Yu. I. Cálculo tensorial. - M. : Escuela superior, 2001. - 575 p. — ISBN 5-06-004155-7 .

Pobedrya B.E. Conferencias sobre análisis tensorial. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1974. - 206 p.

Chernavsky A. V. Geometría diferencial, 2 cursos .