Vector (matemáticas)

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Vector (del lat.  vector - "portador", "portador", "portador") - en el caso más simple, un objeto matemáticocaracterizado por magnitud y dirección. Por ejemplo, en geometría y en ciencias naturales, un vector es un segmento dirigido de una línea recta en el espacio euclidiano (o en un plano) [1] .

Ejemplos: radio vector , velocidad , momento de fuerza . Si se da un sistema de coordenadas en el espacio , entonces el vector se define únicamente por un conjunto de sus coordenadas. Por lo tanto, en matemáticas, informática y otras ciencias, un conjunto ordenado de números a menudo también se denomina vector. En un sentido más general, un vector en matemáticas se considera como un elemento de algún espacio vectorial (lineal) .

Es uno de los conceptos fundamentales del álgebra lineal . Cuando se utiliza la definición más general, los vectores son casi todos los objetos estudiados en álgebra lineal, incluidas las matrices , los tensores , sin embargo, si estos objetos están presentes en el contexto circundante, un vector se entiende como un vector de fila o un vector de columna, respectivamente . tensor de primer rango. Las propiedades de las operaciones con vectores se estudian en cálculo vectorial .

Notación

Un vector representado por un conjunto de elementos (componente) se denota de las siguientes formas:

.

Para enfatizar que es un vector (y no un escalar), use una fuente overline, flecha superior, negrita o gótica:

La suma de vectores casi siempre se indica con un signo más:

.

La multiplicación por un número simplemente se escribe al lado, sin un signo especial, por ejemplo:

,

y el número generalmente se escribe a la izquierda.

La multiplicación de un vector por una matriz también se denota escribiendo uno al lado del otro, sin un signo especial, pero aquí la permutación de los factores generalmente afecta el resultado. La acción de un operador lineal sobre un vector también se indica escribiendo el operador a la izquierda, sin un signo especial.

Vale la pena tener en cuenta que multiplicar un vector por una matriz requiere escribir los componentes del primero como una fila, mientras que multiplicar una matriz por un vector requiere escribir el segundo como una columna. Para enfatizar aún más que el vector participa en la operación como una cadena, el signo de transposición se escribe :

Historia

Intuitivamente, un vector se entiende como un objeto que tiene una magnitud, una dirección y (opcionalmente) un punto de aplicación. Los inicios del cálculo vectorial aparecieron junto con el modelo geométrico de los números complejos ( Gauss , 1831). Hamilton publicó operaciones avanzadas sobre vectores como parte de su cálculo de cuaterniones (los componentes imaginarios de un cuaternión formaban un vector). Hamilton propuso el término vector en sí mismo ( del latín  vector , carrier ) y describió algunas de las operaciones del análisis de vectores . Este formalismo fue utilizado por Maxwell en sus trabajos sobre electromagnetismo , llamando así la atención de los científicos hacia un nuevo cálculo. Pronto apareció Elements of Vector Analysis (década de 1880) de Gibbs , y luego Heaviside (1903) le dio al análisis vectorial un aspecto moderno [2] .

No hay designaciones de vectores generalmente aceptadas, se utilizan negritas, un guión o una flecha sobre una letra, el alfabeto gótico, etc.. [2]

En geometría

En geometría, los vectores se entienden como segmentos dirigidos. Esta interpretación se usa a menudo en gráficos por computadora mediante la construcción de mapas de luz usando superficies normales . Además, usando vectores, puedes encontrar las áreas de varias formas, por ejemplo, triángulos y paralelogramos , así como los volúmenes de cuerpos: tetraedro y paralelepípedo .
A veces, una dirección se identifica con un vector.

Un vector en geometría está naturalmente asociado con una transferencia (transferencia paralela ), lo que obviamente aclara el origen de su nombre ( lat.  vector , portador ). De hecho, cualquier segmento dirigido define de forma única algún tipo de traslación paralela de un plano o espacio, y viceversa, una traslación paralela define de forma única un único segmento dirigido (sin ambigüedades, si consideramos que todos los segmentos dirigidos de la misma dirección y longitud son iguales, es decir, considerarlos como vectores libres ).

La interpretación de un vector como traslación nos permite introducir la operación de suma de vectores de forma natural e intuitivamente obvia  - como una composición (aplicación sucesiva) de dos (o varias) traslaciones; lo mismo se aplica a la operación de multiplicar un vector por un número.

En álgebra lineal

En álgebra lineal, un vector es un elemento de un espacio lineal, que corresponde a la definición general dada a continuación. Los vectores pueden tener diferente naturaleza: segmentos dirigidos, matrices, números, funciones y otros, pero todos los espacios lineales de la misma dimensión son isomorfos entre sí.
Este concepto de vector se usa con mayor frecuencia cuando se resuelven sistemas de ecuaciones algebraicas lineales , así como cuando se trabaja con operadores lineales (un ejemplo de un operador lineal es un operador de rotación ). A menudo esta definición se amplía definiendo una norma o un producto escalar (quizás ambos juntos), luego de lo cual operan con espacios normados y euclidianos , el concepto de ángulo entre vectores se asocia con un producto escalar, y el concepto de longitud vectorial está asociado a una norma. Muchos objetos matemáticos (por ejemplo, matrices , tensores , etc.), incluidos aquellos con una estructura más general que una lista ordenada finita (y a veces incluso numerable), satisfacen los axiomas del espacio vectorial , es decir, desde el punto de vista del álgebra. , son vectores .

En análisis funcional

En el análisis funcional, se consideran espacios funcionales: espacios lineales de dimensión infinita . Sus elementos pueden ser funciones. En base a esta representación de la función, se construye la teoría de las series de Fourier . De manera similar, con el álgebra lineal, a menudo se introduce una norma, un producto interno o una métrica en el espacio de funciones. Algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales se basan en el concepto de una función como elemento de un espacio de Hilbert , por ejemplo, el método de los elementos finitos .

Definición general

La definición más general de un vector se da por medio del álgebra general :

En otras palabras, sea y .

Si hay una operación tal que para cualquiera y para cualquiera se cumplen las siguientes relaciones:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

después

Muchos resultados en álgebra lineal se han generalizado a módulos unitarios sobre campos sesgados no conmutativos e incluso módulos arbitrarios sobre anillos ; así, en el caso más general, en algunos contextos, cualquier elemento de un módulo sobre un anillo puede llamarse vector.

Interpretación física

Un vector como estructura que tiene tanto magnitud (módulo) como dirección se considera en física como un modelo matemático de velocidad , fuerza y ​​cantidades relacionadas, cinemáticas o dinámicas. El modelo matemático de muchos campos físicos (por ejemplo, un campo electromagnético o un campo de velocidad de un fluido) son campos vectoriales .

Los espacios vectoriales abstractos multidimensionales e infinitamente dimensionales (en el espíritu del análisis funcional ) se utilizan en el formalismo lagrangiano y hamiltoniano aplicado a sistemas mecánicos y otros sistemas dinámicos, y en mecánica cuántica (ver vector de estado ).

Vector como secuencia

Vector  — ( secuencia , tupla ) elementos homogéneos. Esta es la definición más general en el sentido de que puede que no se den operaciones vectoriales convencionales, puede haber menos de ellas, o puede que no satisfagan los axiomas habituales del espacio lineal . Es de esta forma que se entiende un vector en programación , donde, por regla general, se denota con un nombre identificador entre corchetes (por ejemplo, objeto[] ). La lista de propiedades modela la definición de la clase y el estado de un objeto aceptado en la teoría de sistemas . Entonces, los tipos de los elementos del vector determinan la clase del objeto y los valores de los elementos definen su estado. Sin embargo, este uso del término probablemente ya está más allá del alcance generalmente aceptado en álgebra y, de hecho, en matemáticas en general.

Un conjunto ordenado de n números se llama vector aritmético. Denotados , los números se denominan componentes del vector aritmético. El conjunto de vectores aritméticos para los que se definen las operaciones de suma y multiplicación por un número se denomina espacio de vectores aritméticos [3] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Vector // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1.
  2. ↑ 1 2 Alexandrova N. V. Historia de términos matemáticos, conceptos, notación: Libro de referencia del diccionario . - 3ra ed. - San Petersburgo. : LKI, 2008. - S.  22 -23. — 248 págs. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
  3. ↑ Capítulo 2. El espacio de vectores aritméticos R n // Álgebra lineal. IET MPEI Breves notas de clase .

Literatura

Enlaces