El principio de incertidumbre

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El Principio de Incertidumbre de Heisenberg en la mecánica cuántica es una consideración fundamental (relación de incertidumbre) que establece el límite de la precisión de determinar simultáneamente un par de observables cuánticos que caracterizan un sistema descrito por operadores no conmutantes (por ejemplo, posición y momento, corriente y voltaje ). , campos eléctricos y magnéticos). Más accesible, suena así: cuanto más exactamente se mide una característica de una partícula, menos exactamente se puede medir la segunda. La relación de incertidumbre [* 1] establece un límite inferior para el producto de las desviaciones estándar de un par de observables cuánticos. El principio de incertidumbre, descubierto por Werner Heisenberg en 1927 , es una de las piedras angulares de la mecánica cuántica física [1] [2] . Es una consecuencia del principio de dualidad onda-partícula [3] [4] .

Resumen

Las relaciones de incertidumbre de Heisenberg son el límite teórico de la precisión de las mediciones simultáneas de dos observables que no conmutan. Son válidos tanto para medidas ideales , a veces llamadas medidas de von Neumann , como para medidas no ideales [* 2] .

Según el principio de incertidumbre, la posición y la velocidad (momento) de una partícula no se pueden medir con precisión al mismo tiempo [* 3] . El principio de incertidumbre, ya en la forma originalmente propuesta por Heisenberg, también es aplicable en el caso en que no se realice ninguna de las dos situaciones extremas (un momento completamente definido y una coordenada espacial completamente indefinida o un momento completamente indefinido y una coordenada completamente definida) .

Ejemplo: una partícula con un cierto valor de energía, ubicada en una caja con paredes perfectamente reflectantes ; no se caracteriza ni por un valor definido de momento (¡dada su dirección! [* 4] ), ni por ninguna "posición" definida o coordenada espacial (la función de onda de la partícula está deslocalizada dentro de todo el espacio de la caja, es decir, su las coordenadas no tienen un significado definido, las partículas de localización no son más precisas que las dimensiones de la caja).

Las relaciones de incertidumbre no limitan la precisión de una sola medición de cualquier cantidad (para cantidades multidimensionales, en el caso general, aquí solo se entiende un componente). Si su operador conmuta consigo mismo en diferentes momentos , la precisión de las mediciones múltiples (o continuas) de una cantidad no está limitada. Por ejemplo , la relación de incertidumbre de una partícula libre no impide la medición precisa de su momento, pero no permite la medición precisa de su coordenada (esta limitación se denomina límite cuántico estándar para coordenadas).

La relación de incertidumbre en la mecánica cuántica en el sentido matemático es una consecuencia directa de una cierta propiedad de la transformada de Fourier [* 5] .

Existe una analogía cuantitativa precisa entre las relaciones de incertidumbre de Heisenberg y las propiedades de las ondas o señales . Considere una señal variable en el tiempo, como una onda de sonido . No tiene sentido hablar del espectro de frecuencias de una señal en cualquier momento. Para determinar con precisión la frecuencia, es necesario observar la señal durante algún tiempo, perdiendo así la precisión de la sincronización. En otras palabras, el sonido no puede tener simultáneamente el valor exacto de su tiempo de fijación, como lo tiene un impulso muy corto, y el valor exacto de la frecuencia, como es el caso de un continuo (y, en principio, infinitamente largo) puro. tono (sinusoide pura). La posición temporal y la frecuencia de la onda son matemáticamente completamente análogas a las coordenadas y al momento mecánico cuántico de la partícula. Lo cual no es del todo sorprendente, si recordamos que ese es el momento en la mecánica cuántica, esta es la frecuencia espacial a lo largo de la coordenada correspondiente. $p_{x}=\hbar k_{x},$

En la vida cotidiana, cuando observamos objetos macroscópicos o micropartículas que se mueven en regiones macroscópicas del espacio, generalmente no notamos la incertidumbre cuántica porque el valor es extremadamente pequeño, por lo que los efectos resultantes de las relaciones de incertidumbre son tan insignificantes que no son capturados por instrumentos de medición o sentidos [5] . $\hbar$

Definición

Si hay varias (muchas) copias idénticas del sistema en un estado dado, entonces los valores medidos de posición y momento obedecerán a una cierta distribución de probabilidad : este es un postulado fundamental de la mecánica cuántica. Al medir el valor de la desviación estándar de la posición y la desviación estándar del impulso, encontramos que $\Delta x$ $\Delta p$

{\ estilo de visualización \ Delta x \ Delta p \ geqslant \ hbar}

donde ħ es la constante de Planck reducida .

Tenga en cuenta que esta desigualdad ofrece varias posibilidades: en la física no relativista, un estado puede ser tal que se puede medir con una precisión arbitrariamente alta, pero luego se conocerá solo aproximadamente; o, por el contrario, se puede determinar con una precisión arbitrariamente alta, mientras que no. En todos los demás estados, y , y se puede medir con una precisión "razonable" (pero no arbitrariamente alta). $X$ $pags$ $pags$ $X$ $X$ $pags$

En física relativista , en un marco de referencia en reposo relativo a un microobjeto, existe un error mínimo en la medición de sus coordenadas . Este error corresponde a la incertidumbre del momento , correspondiente a la energía umbral mínima para la formación de un par partícula-antipartícula, por lo que el propio proceso de medición pierde sentido. ${\ estilo de visualización \ Delta q \ sim {\ frac {\ hbar} {mc}}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta p \ sim mc}$

En el marco de referencia, con respecto al cual el microobjeto se mueve con energía , el error mínimo al medir sus coordenadas es . En el caso límite de las energías ultrarrelativistas , la energía está relacionada con el impulso por la relación y , es decir, el error de medida de la coordenada coincide con la longitud de onda de De Broglie del microobjeto [6] . $\epsilon$ $\Delta q\sim {\frac {\hbar c}{\epsilon}}$ ${\ estilo de visualización \ épsilon = cp}$ ${\ estilo de visualización \ Delta q \ sim {\ frac {\ hbar} {p}}}$

Cuando se logra la igualdad

La igualdad en la relación de incertidumbre se logra si y solo si la forma de la representación del vector de estado del sistema en la representación de coordenadas coincide con la forma de su representación en la representación de impulsos (no cambia con la transformada de Fourier) [7] .

Variaciones y ejemplos

Principio de incertidumbre generalizada

El principio de incertidumbre no se aplica solo a la posición y el momento (como lo propuso por primera vez Heisenberg). En su forma general, se aplica a todo par de variables conjugadas . En general, y en contraste con el caso de la posición y el momento discutido anteriormente, el límite inferior del producto de las "incertidumbres" de dos variables conjugadas depende del estado del sistema. El principio de incertidumbre se convierte entonces en un teorema en la teoría de operadores, que se dará a continuación.

teorema _ Para cualquier operador autoadjunto : y , y cualquier elemento de , tal que y ambos estén definidos (es decir, en particular, y también estén definidos), tenemos: $A\dos puntos H\a H$ $B\colon H\to H$ $X$ $H$ $ABx$ $BAx$ $Hacha$ $bx$

\langle x|AB|x\rangle \langle x|BA|x\rangle =\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle \right |\left|\langle Bx|Bx\rangle \right|=\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}

Esta es una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky .

Por lo tanto, la siguiente forma general del principio de incertidumbre , derivada por primera vez en 1930 por Howard Percy Robertson y (independientemente) Erwin Schrödinger , es verdadera :

{\frac {1}{4}}|\langle x|AB-BA|x\rangle |^{2}\leqslant \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.

Esta desigualdad se llama relación de Robertson-Schrödinger .

El operador se llama conmutador y se denotan como . Se define para aquellos para los que tanto y están definidos . $AB-BA$ $A$ $B$ $[A,B]$ $X$ $ABx$ $BAx$

De la relación de Robertson-Schrödinger se sigue inmediatamente la relación de incertidumbre de Heisenberg :

Supongamos que y son dos cantidades físicas que están asociadas con operadores autoadjuntos. Si y están definidos, entonces: $A$ $B$ $AB/psi$ $BA/psi$

\Delta _{{\psi }}A\,\Delta _{{\psi }}B\geqslant {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[A,{B}\ derecha]\derecha\rangle _{\psi}\derecha|

dónde:

\left\langle X\right\rangle _{\psi}=\left\langle \psi |X|\psi \right\rangle

es el valor medio del operador de cantidad en el estado del sistema, y $X$ $\psi$

\Delta _{{\psi }}X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}

es el operador de la desviación estándar de una cantidad en el estado del sistema. $X$ $\psi$

Las definiciones anteriores de media y desviación estándar se definen formalmente únicamente en términos de la teoría del operador. Sin embargo, la declaración se vuelve más significativa una vez que observamos que, de hecho, son la media y la desviación estándar de la distribución de valores medida. Ver mecánica estadística cuántica .

Lo mismo se puede hacer no solo para un par de operadores conjugados (por ejemplo, coordenada y cantidad de movimiento, o duración y energía ), sino en general para cualquier par de operadores hermitianos . Existe una relación de incertidumbre entre la intensidad de campo y el número de partículas, lo que conduce al fenómeno de las partículas virtuales .

También es posible que haya dos operadores autoadjuntos que no conmutan y , que tienen el mismo vector propio . En este caso, es un estado puro que es simultáneamente medible para y . $A$ $B$ $\psi$ $\psi$ $A$ $B$

Variables generales observables que están sujetas al principio de incertidumbre

Los resultados matemáticos anteriores muestran cómo encontrar las relaciones de incertidumbre entre variables físicas, es decir, determinar los valores de pares de variables y , cuyo conmutador tiene ciertas propiedades analíticas. $A$ $B$

La relación de incertidumbre más conocida es entre la posición y el momento de una partícula en el espacio:

\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geqslant {\frac {\hbar }{2))

Del principio de incertidumbre entre momento y coordenada se sigue que cuanto menores sean las distancias en estudio, mayor será la energía de las partículas elementales. En la región ultrarrelativista ( ) la energía es proporcional al momento : y la relación de incertidumbre para la energía y la coordenada toma la forma , donde se expresa en GeV y en cm . Esta relación determina la energía de las partículas elementales requerida para alcanzar las pequeñas distancias especificadas entre ellas. Para acercarse a las partículas elementales a distancias de cm o menos, es necesario impartirles una energía mayor que GeV [8] . $p\gg mc$ $mi$ $pags$ $E=cp$ $\Delta E\Delta x\geqslant c{\frac {\hbar}}{2))$ $\Delta E\geqslant {\frac {10^{{-14}}}{\Delta x}}$ $\Delta E$ $\Delta x$ $10^{{-14}}$ $una$

la relación de incertidumbre entre dos componentes ortogonales del operador del momento angular total de una partícula:

\Delta J_{i}\Delta J_{j}\geqslant {\frac {\hbar }{2))\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|

donde son diferentes y denota el momento angular a lo largo del eje .

i,

j,

k

Ji}

x_{yo}

La siguiente relación de incertidumbre entre energía y tiempo se presenta a menudo en los libros de texto de física, aunque su interpretación requiere cuidado ya que no hay un operador que represente el tiempo:

\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}

Esta relación se puede entender en una de tres formas posibles [9] :

$\Delta E$ es la incertidumbre de la energía del estado del micro-objeto, que está en este estado por tiempo . $\Delta t$
$\Delta E$ es la incertidumbre de la energía del micro-objeto en algún proceso con duración . $\Delta t$
$\Delta E$ - la máxima precisión en la determinación de la energía de un sistema cuántico, alcanzable mediante un proceso de medición que dura tiempo . $\Delta t$

No hay consenso sobre la derivabilidad de esta relación de los otros axiomas de la mecánica cuántica [10] .

Relación de incertidumbre entre el número de fotones y la fase de onda. Considere la radiación electromagnética monocromática en un cierto volumen. Desde un punto de vista corpuscular, es una colección de fotones con la energía de cada fotón . Desde el punto de vista de la onda, es una onda clásica con fase . Las cantidades corpusculares y ondulatorias están relacionadas por la relación de incertidumbre: $norte$ $\hbar \omega$ ${\ estilo de visualización \ Phi = \ omega t}$ $norte$ $\Fi$

{\ estilo de visualización \ Delta N \ Delta \ Phi \ geqslant 1}

Esta relación se deriva de la relación de incertidumbre para la energía y el tiempo. Se necesita tiempo para medir la energía de cualquier objeto cuántico con precisión . La incertidumbre de la energía del colectivo de fotones , donde está la incertidumbre del número de fotones. Se necesita tiempo para medirlo . Durante este tiempo, el cambio en la fase de la onda . Obtenemos [11] . $\Delta E$ $\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\Delta E))$ $\Delta E=\hbar \omega \Delta N$ ${\ estilo de visualización \ Delta N}$ $\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\hbar \omega \Delta N))$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ Phi = \ omega \ Delta t}$ $\Delta \Phi \geqslant {\frac {1}{\Delta N))$

La relación de incertidumbre entre el radio gravitacional y la coordenada radial de la partícula: , $\Delta r_{g}\Delta r\geqslant \ell _{P}^{2}$

donde es el radio gravitatorio , es la coordenada radial , es la longitud de Planck , que es otra forma de la relación de incertidumbre de Heisenberg entre el momento y la coordenada aplicada a la escala de Planck . [12] En efecto, esta relación se puede escribir de la siguiente manera: , donde es la constante gravitatoria , es la masa del cuerpo, es la velocidad de la luz , es la constante de Dirac . Reduciendo las mismas constantes a la izquierda y a la derecha, llegamos a la relación de incertidumbre de Heisenberg . La relación de incertidumbre establecida predice la aparición de agujeros negros virtuales y agujeros de gusano ( espuma cuántica ) en la escala de Planck. $r_{g}$ $r$ $\ell _{{P}}$ $\Delta (2Gm/c^{2})\Delta r\geqslant G\hbar /c^{3}$ $GRAMO$ $metro$ $C$ $\hbar$ ${\ estilo de visualización \ Delta (mc) \ Delta r \ geqslant \ hbar /2}$

Disipación relación incertidumbre - tiempo. Conecta la tasa de producción de entropía en un sistema estocástico fuera del equilibrio con el tiempo promedio de finalización del proceso de evolución de este sistema : [13] $\langle {\dot {S}}_{e}\rangle$ ${\mathfrak{T}}$

\langle {\dot {S}}_{e}\rangle {\mathfrak {T}}\geq k_{B}

Ha sido verificado experimentalmente. [catorce]

Cabe destacar que para cumplir las condiciones del teorema es necesario que ambos operadores autoadjuntos estén definidos sobre el mismo conjunto de funciones. Un ejemplo de un par de operadores para los que se viola esta condición es el operador de proyección de momento angular y el operador de ángulo de acimut . El primero de ellos es autoadjunto solo en el conjunto de funciones periódicas, mientras que el operador obviamente infiere a partir de este conjunto. Para resolver el problema que ha surgido, puede tomar en lugar de , lo que conducirá a la siguiente forma del principio de incertidumbre [** 1] : $L_{z}$ $\varphi$ $2\pi$ $\varphi$ $\varphi$ $\sin\varphi$

\langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \sin \varphi)^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}\ langle (\cos \varphi)^{2}\rangle

. Sin embargo, bajo la condición de periodicidad, no es esencial y el principio de incertidumbre toma la forma habitual:

\langle (\varphi)^{2}\rangle \ll\pi^{2}

\langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \varphi)^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar^{2}}{4}}

Nota

Para un oscilador tridimensional, el principio de incertidumbre toma la forma:

\langle \Delta L_{z}\rangle {\frac {\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2)){\pi ^{2}}})}}\geqslant {\frac {\hbar}{2}}

y para el operador de número de partículas y ángulo la forma: $norte$ $\varphi$

{\frac {[(\langle \Delta n\rangle )^{2}+(\langle n\rangle +{\frac {1}{2)))^{2}]^{{\frac {1} {2}}}\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2}}{\pi ^{2}}})}} \geqslant {\frac {\hbar}}{2))

(Véase A. I. Baz, Ya. B. Zeldovich, A. M. Perelomov. Dispersión, reacciones y decaimientos en mecánica cuántica no relativista. 2ª ed., M., Nauka, 1971, págs. 58-59.)

Derivación en teoría cuántica de estimación

El principio de incertidumbre del momento coordinado se deriva alternativamente como una estimación de máxima verosimilitud en la teoría de la estimación cuántica [15] .

El principio de incertidumbre tiempo-energía se deriva alternativamente como una expresión de la desigualdad cuántica de Cramer-Rao en la teoría de estimación cuántica , en el caso de que se mida la posición de una partícula [16] .

Interpretaciones

A Albert Einstein no le gustó mucho el principio de incertidumbre y desafió a Niels Bohr y Werner Heisenberg con un famoso experimento mental (Ver discusión Bohr-Einstein ): llenar una caja con material radiactivo que emite radiación al azar. La caja tiene un obturador abierto, que inmediatamente después del llenado se cierra mediante un reloj en un momento determinado, lo que permite que escape una pequeña cantidad de radiación. Por lo tanto, el tiempo ya se sabe exactamente. Todavía queremos medir con precisión la variable conjugada de energía. Einstein sugirió hacer esto pesando la caja antes y después. La equivalencia entre masa y energía según la relatividad especial te permitirá determinar con precisión cuánta energía queda en la caja. Bohr objetó lo siguiente: si la energía se va, entonces la caja del encendedor se moverá un poco en la balanza. Esto cambiará la posición del reloj. Por lo tanto, los relojes se desvían de nuestro marco de referencia fijo y, de acuerdo con la relatividad especial, su medida del tiempo diferirá de la nuestra, lo que conducirá a un valor de error inevitable. Un análisis detallado muestra que la inexactitud está correctamente dada por la relación de Heisenberg.

Dentro de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica ampliamente aceptada pero no universalmente , el principio de incertidumbre se acepta en un nivel elemental. El universo físico no existe en forma determinista , sino como un conjunto de probabilidades o posibilidades. Por ejemplo, el patrón (distribución de probabilidad) producido por millones de fotones que se difractan a través de una rendija se puede calcular utilizando la mecánica cuántica, pero la ruta exacta de cada fotón no se puede predecir mediante ningún método conocido. La interpretación de Copenhague sostiene que esto no puede predecirse por ningún método.

Fue esta interpretación la que Einstein cuestionó cuando escribió a Max Born : "Dios no juega a los dados" [** 2] . Niels Bohr , quien fue uno de los autores de la Interpretación de Copenhague, respondió: "Einstein, no le digas a Dios qué hacer" [** 3] .

Einstein estaba convencido de que esta interpretación estaba equivocada. Su razonamiento se basaba en el hecho de que todas las distribuciones de probabilidad ya conocidas eran el resultado de eventos deterministas. La distribución de una moneda al aire o de un dado rodante se puede describir mediante una distribución de probabilidad (50% cara, 50% cruz). Pero eso no significa que sus movimientos físicos sean impredecibles. Los mecánicos ordinarios pueden calcular exactamente cómo caerá cada moneda si se conocen las fuerzas que actúan sobre ella y las caras/cruces aún se distribuyen aleatoriamente (con fuerzas iniciales aleatorias).

Einstein asumió que hay variables ocultas en la mecánica cuántica que subyacen a las probabilidades observables.

Ni Einstein ni nadie más desde entonces ha sido capaz de construir una teoría satisfactoria de las variables ocultas, y la desigualdad de Bell ilustra algunos caminos muy espinosos para intentar hacerlo. Aunque el comportamiento de una partícula individual es aleatorio, también está correlacionado con el comportamiento de otras partículas. Por lo tanto, si el principio de incertidumbre es el resultado de algún proceso determinista, entonces resulta que las partículas a grandes distancias deben transmitirse información entre sí inmediatamente para garantizar correlaciones en su comportamiento.

El principio de incertidumbre en la literatura popular

El principio de incertidumbre es a menudo incorrecto se entiende o informa en la prensa popular. Un error común es que observar un evento cambia el evento mismo. . En términos generales, esto no tiene nada que ver con el principio de incertidumbre. Casi cualquier operador lineal cambia el vector sobre el que actúa (es decir, casi cualquier observación cambia de estado), pero para los operadores conmutativos no hay restricciones sobre la posible dispersión de valores ( ver arriba ). Por ejemplo, las proyecciones de la cantidad de movimiento sobre los ejes y se pueden medir juntas con la precisión que se desee, aunque cada medición cambia el estado del sistema. Además, el principio de incertidumbre trata sobre la medición paralela de cantidades para varios sistemas que se encuentran en el mismo estado, y no sobre interacciones secuenciales con el mismo sistema. $X$ $y$

Se han propuesto otras analogías (también engañosas) con efectos macroscópicos para explicar el principio de incertidumbre: una de ellas implica presionar una semilla de sandía con el dedo. El efecto es conocido: es imposible predecir qué tan rápido o dónde desaparecerá la semilla. Este resultado aleatorio se basa completamente en la aleatoriedad, que se puede explicar en términos clásicos simples.

En algunas historias de ciencia ficción , el dispositivo para superar el principio de incertidumbre se llama compensador de Heisenberg, el más famoso utilizado en la nave estelar Enterprise de la serie de televisión de ciencia ficción Star Trek en un teletransportador. Sin embargo, no se sabe qué significa "superar el principio de incertidumbre". En una de las conferencias de prensa, se le preguntó al productor de la serie Gene Roddenberry "¿Cómo funciona el compensador de Heisenberg?", a lo que respondió "¡Gracias, bien!"

En Dune de Frank Herbert: "La previsión", se dio cuenta, "es como un rayo de luz más allá del cual no se puede ver nada, determina la medida exacta... y posiblemente el error".[ especificar ] . Resulta que algo así como el principio de incertidumbre de Heisenberg yacía en sus habilidades visionarias: para ver, necesitas gastar energía, y gastando energía, cambias lo que ves.

Humor científico

La naturaleza inusual del principio de incertidumbre de Heisenberg y su nombre pegadizo lo han convertido en fuente de una serie de bromas. Se afirma que un graffiti popular en las paredes del departamento de física de los campus universitarios es: "Heisenberg pudo haber estado aquí".

En otro chiste sobre el principio de incertidumbre, un policía detiene a un físico cuántico en una carretera y le pregunta: "¿Sabe a qué velocidad iba, señor?" A lo que el físico responde: “¡No, pero sé exactamente dónde estoy!”.

Véase también

Notas

↑ Cada par de cantidades conjugadas tiene su propia relación de incertidumbre, aunque tiene la misma forma ; por lo tanto, este término se usa a menudo en plural ( relaciones de incertidumbre ), tanto en el caso de las relaciones de incertidumbre en general, como en los casos en que varias razones específicas se refieren a diferentes cantidades, y no a un solo par. $\Delta A\cdot \Delta B\geqslant \hbar$
↑ Hay, sin embargo, formas de eludir parcialmente estas limitaciones asociadas con mediciones débiles .
↑ En principio, esto se aplica no solo a las partículas, sino también a cualquier objeto dinámico, por ejemplo, un campo para el cual las variables de campo sirven como un análogo de las coordenadas de las partículas, y los impulsos canónicos asociados con un cambio en el campo con el tiempo sirven como un análogo de los componentes del momento de las partículas.
↑ Sin embargo, en el ejemplo con una partícula en una caja, el módulo de momento está definido, pero su dirección no está definida.
↑ La forma más sencilla de ilustrar esta propiedad es la siguiente. Sea alguna función f ( x ) y su imagen de Fourier (espectro) F ( k ) - es decir, es obvio que si “comprimimos la función f ” por x por A veces, es decir, iremos a la función f A ( x ) = f ( Ax ) , entonces su espectro se extenderá el mismo número de veces: F A ( k ) = const F ( k / A ) , ya que la frecuencia de cada armónico espectral de esta expansión será obviamente tiene que ser multiplicado por A . Esta ilustración, estrictamente hablando, por supuesto, es bastante privada, pero revela el significado físico de la propiedad ilustrada: cuando comprimimos una señal, sus frecuencias aumentan por el mismo factor. No es mucho más difícil obtener una conclusión similar para el caso de los paquetes de ondas gaussianas por cálculo directo , mostrando que la mitad del ancho de un paquete de ondas gaussianas es inversamente proporcional a la mitad del ancho de su espectro (que también tiene una onda gaussiana). forma). También se pueden probar teoremas más generales, reduciendo exactamente a la relación de incertidumbre de Heisenberg, solo que sin ħ en el lado derecho (o, en otras palabras, repitiendo exactamente la relación de incertidumbre de Heisenberg para ħ = 1 ). $f(x)=\int F(k)e^{{ikx}}dk.$ $e^{{ikx}}$

Literatura

Fuentes

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↑ Más precisamente: “La teoría da mucho, pero no nos acerca a los misterios del Viejo. De todos modos, estoy convencido de que [él] no juega a los dados ” Carta a Max Born, 12 de diciembre de 1926, op. Einstein, La vida y los tiempos ISBN 0-380-44123-3
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artículos periodísticos

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Sobre las relaciones de incertidumbre de Schrödinger

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Además

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Enlaces

Enciclopedia de Filosofía de Stanford
aip.org: Mecánica cuántica 1925-1927 - El principio de incertidumbre
El mundo de la física de Eric Weisstein - El principio de incertidumbre
Ecuación de Schrödinger del principio de incertidumbre exacto
John Baz sobre la relación de incertidumbre tiempo-energía