Características especiales
Las funciones especiales son funciones que se encuentran en varias aplicaciones de las matemáticas (más a menudo en varios problemas de física matemática) que no se expresan a través de funciones elementales . Las funciones especiales se representan como series o integrales .
Las funciones especiales suelen surgir de las siguientes tareas:
- integrales "no tomadas";
- soluciones de ecuaciones trascendentales que no se expresan en funciones elementales;
- soluciones de ecuaciones diferenciales que no se expresan en funciones elementales;
- series que no convergen a funciones elementales;
- expresión matemática de las propiedades de los números;
- la necesidad de especificar una función con propiedades inusuales.
Esta división no es estricta, ya que, por ejemplo, la mayoría de las soluciones no elementales de ecuaciones diferenciales se han expresado en términos de una integral no entendida o como una serie. Por tanto, no existe una clasificación estricta de las funciones trascendentales
La mayoría de las funciones especiales son trascendentales .
Funciones integrales
Tales funciones especiales incluyen: función beta , función gamma , logaritmo integral , exponente integral , integral de probabilidad , seno integral , coseno integral , funciones elípticas , integrales de Fresnel .
Funciones de serie
Tales funciones incluyen función hipergeométrica , función zeta , polilogaritmo .
Soluciones no elementales de ecuaciones diferenciales
Estas funciones especiales incluyen: funciones esféricas , funciones cilíndricas, funciones de Airy , funciones de cilindro parabólico , funciones de Mathieu , funciones de Bessel .
Características inusuales
Hay muchas funciones con un comportamiento inusual, diseñadas para varios propósitos. Esta es la función de Dirichlet , la función de Heaviside .
Funciones que expresan propiedades de números
Estas funciones suelen estar relacionadas con las propiedades más simples de los números. En primer lugar, esto incluye funciones aritméticas especiales , signo de un número , factorial .
Véase también
- El Proyecto Bateman es un proyecto para crear una enciclopedia de varios volúmenes sobre la teoría de funciones especiales.
Literatura
- Diccionario Enciclopédico Matemático, - Cualquier edición.
- Olver F. Introducción a los métodos asintóticos y funciones especiales, - M .: Nauka, 1978.
- Bateman G., Erdeyi A. Funciones trascendentales superiores: función hipergeométrica. Funciones de Legendre. — M.: Nauka, 1965. Per. ed.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Funciones trascendentales superiores. vol. 1 - 1953.
- Bateman G., Erdelyi A. Funciones trascendentales superiores: funciones de Bessel, funciones de cilindro parabólico, polinomios ortogonales. — M.: Nauka, 1966. Per. ed.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Funciones trascendentales superiores. vol. 2 - 1953.
- Bateman G., Erdeyi A. Funciones trascendentales superiores: funciones elípticas y automórficas. Funciones de Lame y Mathieu. — M.: Nauka, 1967. Per. ed.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Funciones trascendentales superiores. vol. 3 - 1955.
- Bateman G., Erdeyi A. Tablas de transformaciones integrales: transformaciones de Fourier, Laplace, Mellin. — M.: Nauka, 1969. Per. ed.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tablas de transformadas integrales. vol. 1 - 1954.
- Bateman G., Erdeyi A. Tablas de transformaciones integrales: transformaciones de Bessel. Integrales de funciones especiales. — M.: Nauka, 1970. Per. ed.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tablas de transformadas integrales. vol. 2 - 1954.
- Luke Yu Funciones matemáticas especiales y sus aproximaciones. — M.: Mir, 1980.
Enlaces