Lista de grupos de simetría esférica

Grupo de puntos en el espacio 3D

Grupos de politopos , [n,3], (*n32)
Simetrías de involución C s , (*) [ ] =	Simetría cíclica C nv , (*nn) [n] =	Simetría diedro D nh , (*n22) [n,2] =
Simetría tetraédrica T d , (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O h , (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I h , (*532) [5,3] =

Los grupos de simetría esférica también se denominan grupos de puntos en el espacio tridimensional , sin embargo, este artículo solo considera simetrías finitas. Hay cinco clases fundamentales de simetría que poseen los dominios fundamentales triangulares: diedro , cíclico , tetraédrico , octaédrico e icosaédrico .

El artículo enumera los grupos según los símbolos de Schoenflies , la notación de Coxeter [1] , la notación orbifold [2] y el orden. Conway utilizó una variante de la notación de Schoenflies, basada en la estructura algebraica del grupo de cuaterniones , con una o dos letras mayúsculas y un conjunto completo de subíndices. El orden del grupo está indicado por el índice, a menos que se duplique con un signo más/menos ("±"), lo que implica simetría central [3] .

También se da el simbolismo de Herman-Mogen (récord internacional). Los grupos de cristalografía , 32 en total, son un subconjunto con elementos de orden 2, 3, 4 y 6 [4] .

Simetrías-involuciones

Hay cuatro simetrías que son inversas a sí mismas, es decir involuciones : transformación de identidad (C 1 ), simetría especular (C s ), simetría rotacional (C 2 ) y simetría central (C i ).

En t.	Geom. [5]	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.	Fondo. región
una	una	once	C1 _	C1 _	][ [ ] +	una
2	2	22	D1 = C2 _	D2 = C2 _	[2] +	2

En t.	Geom.	Orib.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.	Fondo. región
una	22	×	C yo \u003d S 2	CC2 _	[2 + ,2 + ]	2
2 = metro	una	*	do s = do 1v = do 1h	±C 1 = CD 2	[ ]	2

Simetría cíclica

Hay cuatro familias infinitas de simetría cíclica con n =2 y mayores. (n puede ser igual a 1 como un caso especial de falta de simetría )

En t.	Geo	Orbe.	Schönf.	Conway.	Coca.	Ya que.
2	2	22	C2 = D1 _	C2 = D2 _	[2] + [2,1] +	2
mm2	2	*22	C 2v = D 1h	CD 4 = DD 4	[2] [2,1]	cuatro
cuatro	42	2×	S4 _	CC4 _	[2 + ,4 + ]	cuatro
2/m	2 2	2*	C 2h = D 1d	±C2 = ± D2	[2,2 + ] [2 + ,2]	cuatro

En t.	Geom.	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.
3 4 5 6 norte	3 4 5 6 norte	33 44 55 66 nn	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	[3] + [4] + [5] + [6] + [n] +	3 4 5 6 norte
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 norte	33 44 55 66 *nn	C 3v C 4v C 5v C 6v C nv	CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n	±C 3 CC 8 ±C 5 CC 12 CC 2n / ±C n	[2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2n + ]	6 8 10 12 2n
3/m= 6 4/m 5/m= 10 6/m n/m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3* 4* 5* 6* n*	C 3h C 4h C 5h C 6h C nh	CC 6 ±C 4 CC 10 ±C 6 ±C n / CC 2n	[2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ]	6 8 10 12 2n

Simetría diedro

Hay tres familias infinitas con simetría diédrica con n igual o mayor que 2. ( n puede ser igual a 1 como caso especial)

En t.	Geom.	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.
222	2 . 2	222	D2 _	D4 _	[2,2] +	cuatro
42m _	4 2	2*2	D2d _	DD 8	[2 + ,4]	ocho
mmm	22	*222	D2h _	±D 4	[2,2]	ocho

En t.	Geom.	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2n._ _ _ 2	223 224 225 226 22n	D 3 D 4 D 5 D 6 Dn _	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n	[2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2,n] +	6 8 10 12 2n
3m 8 2m 5m 12 .2m _ _	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	23 24 25 26 2*n	D 3d D 4d D 5d D 6d D nd	±D 6 DD 16 ±D 10 DD 24 DD 4n / ±D 2n	[2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2n]	12 16 20 24 4n
6 m2 4/mmm 10 m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D 3h D 4h D 5h D 6h D nh	DD 12 ±D 8 DD 20 ±D 12 ±D 2n / DD 4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Simetrías de poliedros

Hay tres tipos de simetría para los poliedros : simetría tetraédrica , simetría octaédrica y simetría icosaédrica , denominada así por los poliedros regulares de cara triangular que poseen tales simetrías.

simetría tetraédrica

En t.	Geom.	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] + = [4,3 + ] +	12
metro 3	4 3	3*2	jue _	±T	[ 4,3+ ]	24
43m _	33	*332	Td _	A	[3,3] = [1 + ,4,3]	24

Simetría octaédrica

En t.	Geom.	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.	Fondo. región
432	4 . 3	432	O	O	[4,3] + = [[3,3]] +	24
metro 3 metro	43	*432	oh _	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

simetría icosaédrica

En t.	Geom.	Orbe.	Schönf.	Conway	Coca.	Ya que.	Fondo. región
532	5 . 3	532	yo	yo	[5,3] +	60
53 2/m	53	*532	Yo h	± yo	[5,3]	120

Véase también

Grupo de simetría de puntos cristalográficos
grupo triangular
Lista de grupos de simetría plana
Grupos de puntos en espacio bidimensional

Literatura

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Apéndice I
Donald E. Arenas. Sistemas Cristalinos y Geometría // Introducción a la Cristalografía . - Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc., 1993. - P. 165 . - ISBN 0-486-67839-3 .

John H. Conway, Derek A. Smith. Sobre cuaterniones y octavas = Sobre cuaterniones y octoniones. - Moscú: MTSNMO, 2009. - ISBN 978-5-94057-517-7 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Las simetrías de las cosas. - Nueva York: AK Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
HSM Coxeter . Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicación Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Prueba 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (Prueba 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Prueba 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson. Capítulo 11: Grupos de simetría finita // Geometrías y Transformaciones. — 2015.
D. Hestenes , J. Holt. Los grupos del espacio cristalográfico en álgebra geométrica // Revista de física matemática. - 2007. -Edición. 48, 023514.

Enlaces externos

Grupos de simetría esférica finita
Símbolo Weisstein, Eric W. Schoenflies (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Grupos de puntos cristalográficos (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría , por David I. McCooey