Vieja teoría cuántica

La antigua teoría cuántica (a veces la antigua mecánica cuántica [1] ) es una aproximación a la descripción de los fenómenos atómicos que se desarrolló en 1900-1924 y precedió a la creación de la mecánica cuántica . Un rasgo característico de esta teoría es el uso simultáneo de la mecánica clásica y algunos supuestos que entraron en conflicto con ella. La base de la antigua teoría cuántica es el modelo del átomo de Bohr , al que más tarde Arnold Sommerfeld [2] añadió la cuantización de la componente z del momento angular , mal llamada cuantización espacial . La cuantización de la componente z permitió introducir órbitas electrónicas elípticas y proponer el concepto de degeneración energética . El éxito de la vieja teoría cuántica fue la descripción correcta del átomo de hidrógeno y el efecto Zeeman normal .

La herramienta principal de la antigua teoría cuántica es la cuantización de Bohr-Sommerfeld , un procedimiento que genera un conjunto discreto de estados del movimiento integrado de un sistema clásico y los define como estados permitidos de este sistema, similar a las órbitas permitidas en el Bohr. modelo. El sistema solo puede estar en estos estados y no en otros. Esta teoría no puede describir el movimiento caótico, ya que requiere el cierre completo de las trayectorias de movimiento del sistema clásico.

Historia

El punto de partida de la antigua teoría cuántica (y de la mecánica cuántica en general) es la aparición a principios del siglo XX de los trabajos de Max Planck sobre la emisión y absorción de la luz [3] [4] . El desarrollo directo de la teoría cuántica comenzó con la introducción por parte de Einstein de la teoría cuántica de la capacidad calorífica de un sólido . En el modelo de Einstein se supone que cada átomo de la red es un oscilador armónico cuantizado independiente, lo que permite explicar, junto con la ley clásica de Dulong-Petit a altas temperaturas, la caída de la capacidad calorífica a bajas temperaturas. Con esta técnica, los principios cuánticos se extendieron al movimiento de los átomos. Debye luego mejoró este modelo. .

En 1913, Niels Bohr utilizó consideraciones que pronto formuló como el principio de correspondencia y desarrolló un modelo del átomo de hidrógeno que podía explicar su espectro discreto formulando dos postulados bien conocidos. Posteriormente, Arnold Sommerfeld desarrolló las ideas de Bohr extendiendo su modelo a sistemas arbitrarios integrables utilizando el principio de invariancia adiabática de los números cuánticos. El modelo de Sommerfeld estaba mucho más cerca de la mecánica cuántica moderna que el modelo de Bohr. .

Durante la década de 1910 y principios de la de 1920, muchos problemas se resolvieron con éxito utilizando la antigua teoría cuántica. Se aclaró la naturaleza de los espectros de vibración y rotación de las moléculas, se descubrió el espín del electrón , gracias al cual se explicó la existencia de los números cuánticos semienteros. Planck introdujo las vibraciones de punto cero , Sommerfeld aplicó con éxito el modelo de Bohr al átomo de hidrógeno relativista y Hendrik Kramers explicó el efecto Stark . Bose y Einstein propusieron estadísticas cuánticas para fotones .

Kramers propuso un método para calcular las probabilidades de transición entre estados cuánticos utilizando los componentes de movimiento de Fourier, que luego fue desarrollado por él, junto con Werner Heisenberg, en un mapeo de matriz semiclásico de probabilidades de transición. Luego, en base a estas ideas, Heisenberg construyó la mecánica matricial , una formulación de la mecánica cuántica basada en matrices de transición. .

En 1924, Louis de Broglie desarrolló la teoría ondulatoria de la materia, que Einstein desarrolló un poco más tarde, derivando una ecuación semiclásica para las ondas de materia. En 1925, Erwin Schrödinger propuso la ecuación de ondas de la mecánica cuántica , que permitió reunir todos los resultados de la antigua teoría cuántica sin inconsistencias. La mecánica ondulatoria de Schrödinger se desarrolló independientemente de la mecánica matricial de Heisenberg, pero los experimentos mostraron que ambos métodos predecían los mismos resultados. Paul Dirac en 1926 demostró que ambas imágenes son equivalentes y se derivan de un método más general: la teoría de la representación [5] .

El advenimiento de la mecánica ondulatoria y matricial marcó el final de la antigua teoría cuántica. .

Principios básicos

La idea principal de la antigua teoría cuántica era que el movimiento de un sistema atómico está cuantizado (discreto). El sistema obedece las leyes de la mecánica clásica con una excepción: no se permiten todos los movimientos del sistema, sino solo aquellos que cumplen con la regla

\oint\limits_{\mathcal{H}(p,q)=E} p_i dq_i = n_i h,

donde son los momentos canónicos, son sus coordenadas conjugadas, son números cuánticos, que solo pueden ser números enteros. La integral se toma a lo largo de una trayectoria de movimiento cerrada (para cada par de coordenadas-momento), que corresponde a una energía constante (que se describe mediante la función de Hamilton ). Además, la integral es el área en el espacio fase , que corresponde a la acción clásica . La acción, sin embargo, se cuantifica en unidades de la constante de Planck , razón por la cual la constante de Planck a menudo se conoce como el cuanto de acción . $Pi}$ $q_{yo}$ $n_{yo}$ $mi$ ${\ matemáticas {H}}$

Para que la condición de cuantificación tenga sentido, el movimiento clásico debe estar separado, es decir, debe haber coordenadas tales que el movimiento a lo largo de cada una de estas coordenadas sea periódico (en el caso de inconmensurabilidad de períodos a lo largo de diferentes coordenadas, el total el movimiento no será periódico). La antigua teoría cuántica obedece al principio de correspondencia , basado en las siguientes observaciones: las cantidades a cuantificar deben ser invariantes adiabáticas [6] . $q_{yo}$

Base experimental

Radiación de cuerpo negro

Uno de los principales problemas de la física a fines del siglo XIX fue el problema de la radiación del cuerpo negro. Un cuerpo negro es una idealización física: un cuerpo que absorbe completamente la radiación incidente de cualquier longitud de onda. Las sustancias negras reales, por ejemplo, el hollín, absorben el 99% de la radiación incidente en el rango de longitud de onda visible, pero absorben mucho peor la radiación infrarroja. Entre los cuerpos del sistema solar, un cuerpo absolutamente negro corresponde mejor al Sol .

Según la termodinámica clásica , la intensidad espectral I(ν) de la radiación debería ser la misma para cualquier cuerpo absolutamente negro calentado a la misma temperatura. Esta predicción es confirmada por el experimento. La intensidad espectral alcanza un máximo a una cierta frecuencia ν max y cae a cero en ambos lados del máximo. La frecuencia del máximo ν max , así como su altura, aumenta con la temperatura.

Los intentos de predecir teóricamente la forma de la curva de intensidad espectral experimental de un cuerpo negro basándose en las leyes de la física clásica condujeron a la fórmula de Rayleigh-Jeans [7] [8] :

$I(\nu) = \frac{2 \pi}{c^2} kT \nu^2.$

Excepto por la región de bajas frecuencias, la ley de la fórmula de Rayleigh-Jeans no concuerda con el experimento. Predice que la intensidad total de la energía radiada aumenta indefinidamente con la frecuencia ( catástrofe ultravioleta ), pero en realidad la intensidad total es finita.

En 1900, Max Planck postuló [4] que el intercambio de energía entre los átomos y la radiación electromagnética emitida por ellos ocurre en porciones discretas de energía, y la porción más pequeña de energía a una frecuencia dada ν es igual a

${\ estilo de visualización E = h \ nu}$ ,

donde h es la constante de Planck . En este caso, solo se pueden transferir porciones múltiples enteras de la energía hν durante la interacción de los átomos y la radiación . Usando este postulado, Planck derivó una fórmula para la intensidad espectral de la radiación electromagnética de equilibrio térmico de un cuerpo negro:

$I(\nu) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT)) - 1},$

que está en excelente acuerdo con el experimento. Así, Planck resolvió el problema de la radiación del cuerpo negro, utilizando la idea de cuantización de la energía, que contradice la física clásica.

Efecto fotoeléctrico

El efecto fotoeléctrico es el fenómeno de la emisión de electrones por parte de una sustancia bajo la acción de la luz (y, en general, de cualquier radiación electromagnética). Los primeros estudios sistemáticos del efecto fotoeléctrico fueron realizados por el físico ruso Stoletov en 1888, quien estableció varios patrones importantes. El punto clave resultó ser el hecho de que la energía de los fotoelectrones es absolutamente independiente de la intensidad de la luz incidente: un aumento en la intensidad solo aumenta el número de electrones expulsados, pero no su velocidad. Sin embargo, resultó que la velocidad de los electrones depende de la frecuencia de la radiación y, al aumentar la frecuencia, la energía de los fotoelectrones crece linealmente. Tales fenómenos eran incomprensibles desde el punto de vista de la electrodinámica clásica .

La explicación teórica del efecto fotoeléctrico fue dada por Albert Einstein en 1905. Usando la hipótesis de Planck, sugirió que la luz no solo se emite en porciones ( quanta ), sino que en general es una corriente de quanta ( fotones ) con energía hν . Con el efecto fotoeléctrico, parte de la luz incidente se refleja desde la superficie, mientras que la otra parte penetra en la capa superficial del metal y allí es absorbida. Cuando un electrón absorbe un fotón, recibe energía de él y, gastando parte de ella en la función de trabajo A out , sale del metal. Así, tenemos la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico:

$h \nu = A_{fuera} + P + eV,$

donde P es la energía de ionización (que para los metales se puede poner a cero, ya que el metal tiene una gran cantidad de electrones libres), eV es la energía cinética del fotoelectrón. Esta ecuación pronto fue intensamente probada en los experimentos de Robert Millikan , por los que, entre otras cosas, recibió el Premio Nobel de Física en 1923.

Así, el fenómeno del efecto fotoeléctrico es una confirmación experimental de la hipótesis de Planck y de las propiedades corpusculares de la luz.

El experimento de Frank-Hertz

Un experimento sobre dispersión inelástica de electrones por átomos, realizado en 1913-1914 por James Frank y Gustav Ludwig Hertz [9] , confirmó la validez de los postulados de Bohr.

En este experimento, átomos o moléculas de un gas más o menos enrarecido son bombardeados por electrones lentos. En este caso, se estudia la distribución de velocidades de los electrones antes y después de las colisiones. Si las colisiones son elásticas, la distribución de velocidades no cambia; y viceversa, durante las colisiones inelásticas, algunos de los electrones pierden su energía, dándosela a los átomos con los que chocaron, por lo que la distribución de velocidades cambia.

Como resultado del experimento de Frank-Hertz, se encontró que:

a velocidades de electrones inferiores a cierta velocidad crítica, la colisión es completamente elástica, es decir, el electrón no transfiere su energía al átomo, sino que rebota en él, cambiando únicamente la dirección de su velocidad;
cuando se alcanza la velocidad crítica, el impacto se vuelve inelástico, es decir, el electrón pierde parte de su energía y la transfiere al átomo, que en este caso pasa a otro estado estacionario, caracterizado por mayor energía.

Ejemplos de aplicación

Propiedades térmicas del oscilador armónico

El oscilador armónico es el sistema más simple de la antigua teoría cuántica. Escribamos el hamiltoniano :

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.

Los niveles de energía del sistema están determinados por las órbitas de movimiento, y las órbitas se seleccionan de acuerdo con la siguiente regla cuántica: el área en el espacio de fase que cubre cada órbita debe ser un número entero. De ello se deduce que la energía se cuantifica según la regla de Planck:

E_n = n\hbar\omega,

resultado conocido, según el cual se formula la regla de cuantización de la antigua teoría cuántica. Cabe señalar que este resultado difiere del presente en , ya que se sabe por la mecánica cuántica que el nivel cero de un oscilador armónico tiene energía . $\hbar \omega/2$ $\hbar \omega/2$

Las cantidades termodinámicas para un oscilador armónico cuantificado se pueden determinar promediando la energía en cada uno de los estados discretos:

U = \frac{1}{Z} \sum\limits_n n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT)) = {\hbar \omega e^{-\frac{\ hbar\omega}{kT}} \sobre 1 - e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}},

donde es la constante de Boltzmann , es la temperatura absoluta (que se mide en unidades de energía más naturales), es la función de partición . Es fácil ver que a temperaturas muy bajas (es decir, cuando el valor es grande) la energía promedio del oscilador armónico muy rápidamente, exponencialmente, llega a cero. La razón es que es la energía característica del movimiento arbitrario a una temperatura , y si es menor que , no es suficiente para transferir al menos un cuanto de energía al oscilador. Por lo tanto, el oscilador armónico permanece en el estado fundamental. $k$ $T$ $Z = \sum\limits_n e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}$ $\beta = \frac{1}{kT}$ $tu$ $kT$ $T$ $\hbar \omega$

Esto significa que a temperaturas muy bajas, el cambio de energía en relación con (y, por supuesto, la temperatura) es pequeño. El cambio de energía en relación con la temperatura es la capacidad calorífica; por lo tanto, la capacidad calorífica es pequeña a bajas temperaturas, tendiendo a cero a medida que $\beta$

e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}.

A altas temperaturas (es decir, a bajas temperaturas ), la energía media es . Este hecho es consistente con la ley de equipartición de la termodinámica clásica: cada oscilador armónico a temperatura tiene una energía promedio . Esto significa que la capacidad calorífica del oscilador es constante (en mecánica clásica) e igual a la constante de Boltzmann . Para un conjunto de átomos conectados por resortes (un modelo aceptable de un cuerpo sólido), la capacidad calorífica total es , donde es el número de osciladores. En general, a cada átomo se le asignan tres osciladores, teniendo en cuenta tres posibles direcciones de vibración en tres dimensiones. Por lo tanto, la capacidad calorífica de un sólido clásico a una temperatura suficientemente alta es igual a un átomo, o por mol, la ley de Dulong-Petit . $\beta$ $tu$ $kT$ $T$ $kT$ $k$ $Nk$ $norte$ $3k$ $3R$

Los sólidos monoatómicos a temperatura ambiente tienen aproximadamente la misma capacidad calorífica por átomo, pero este no es el caso a bajas temperaturas. A medida que la temperatura disminuye, la capacidad calorífica también disminuye y llega a cero a la temperatura del cero absoluto. Este hecho se confirma para todos los sistemas materiales y constituye la tercera ley de la termodinámica . La mecánica clásica no puede explicar la tercera ley de la termodinámica porque supone que la capacidad calorífica no depende de la temperatura. $3k$

Esta contradicción entre la mecánica clásica y la capacidad calorífica de los cuerpos fríos fue advertida en el siglo XIX por Maxwell ; la eliminación de esta contradicción fue una tarea difícil para quienes defendían la teoría atómica de la materia. Albert Einstein resolvió este problema en 1906 al proponer la idea de cuantificar el movimiento atómico y formular el modelo de Einstein , la primera aplicación de la teoría cuántica a los sistemas mecánicos. Un poco más tarde, Peter Debye desarrolló una teoría cuantitativa más precisa de la capacidad calorífica de los sólidos basada en osciladores armónicos cuantificados con diferentes frecuencias ( el modelo de Debye ).

Potencial unidimensional

Para cualquier energía E , puedes encontrar fácilmente el momento p usando la ley de conservación de la energía :

p = \sqrt{2m ( E - V(q))}.

Esta expresión integra sobre todos los valores de q entre los puntos de inflexión clásicos donde el impulso es cero.

Pozo de potencial rectangular

El caso más simple es una partícula en un pozo de potencial rectangular de longitud L , para la cual la condición de cuantificación es la siguiente:

2 \int_0^L p dq = nh,

¿de dónde es el impulso?

p = \frac{nh}{2L}.

Al integrar el lado derecho de la ecuación de cantidad de movimiento, se pueden encontrar los niveles de energía:

E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.

Potencial lineal

Consideremos otro potencial , lineal, que corresponde a una fuerza constante F. La formulación mecánico-cuántica de este problema es bastante complicada y, a diferencia de los casos considerados anteriormente, el resultado semiclásico no es exacto, sino que tiende a él a medida que aumentan los números cuánticos. Tenemos:

2 \int_0^{\frac{E}{F}} \sqrt{2m (E - Fx)} dx = nh,

lo que da la condición de cuantificación:

{4\sobre 3} \sqrt{2m}{ E^{3/2}\sobre F} = nh,

donde se pueden determinar los niveles de energía:

E_n = \left(\frac{3F}{4\sqrt{2m}} nh \right)^{2/3}.

Potencial cuadrático

El resultado semiclásico de este problema coincide con el resultado de la mecánica cuántica en el caso de calcular la energía del estado fundamental. La condición de cuantificación se verá así:

2 \int_{-\sqrt{\frac{2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}} \sqrt{2m\left(E - \frac12 kx^2\right) }\ dx = nh,

donde determinamos los niveles de energía:

mi = norte \frac{h}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m)) = norte \hbar \omega,

donde es la frecuencia angular. $\omega$

Rotador

El rotador consta de un cuerpo de masa M , que está fijado a una barra rígida sin masa de longitud R , y se describe mediante el siguiente lagrangiano bidimensional :

\mathcal{L}_{2D} = \frac{MR^2 \dot\varphi^2}{2},

de donde se puede expresar el momento angular , que depende del ángulo polar : $L$ $\varphi$

L = MR^2\punto\varphi.

La vieja teoría cuántica requiere que se cuantifique el momento angular :

L = n\hbar.

En el modelo de Bohr, tal condición de cuantización, que se impone en órbitas circulares, es suficiente para determinar el espectro de energía.

Un rotador rígido tridimensional se describe mediante dos ángulos θ y φ del sistema de coordenadas esféricas con respecto a un eje Oz elegido arbitrariamente. Nuevamente, solo la energía cinética entra en el Lagrangiano:

\mathcal{L}_{3D} = \frac{MR^2 \dot\theta^2}{2} + \frac{MR^2 (\dot\varphi \sin\theta)^2}{2},

Los impulsos canónicos tendrán la forma:

p_{\theta} = \dot\theta,

p_{\varphi} = \dot\varphi \sin^2\theta.

La ecuación para φ es trivial, es una constante: $p_{\varfi}$

p_{\varphi} = l_{\varphi},

que es igual a la componente z del momento angular. Además, de la condición de cuantificación se deduce que después de la integración sobre el ángulo φ de 0 a 2π :

l_{\varfi} = m\hbar,

donde m es el llamado número cuántico magnético. El nombre proviene del hecho de que la componente z del momento angular es igual al momento magnético del rotador a lo largo del eje Oz (obviamente, si la partícula al final del rotador está cargada).

El momento angular total de un rotador tridimensional se cuantifica de manera similar al bidimensional. Dos condiciones de cuantificación determinan valores arbitrarios del momento angular total y su componente z utilizando los números cuánticos l , m . Estas condiciones también están presentes en la mecánica cuántica, pero en el momento del predominio de la antigua teoría cuántica, no estaba claro cómo podía cuantificarse la orientación del momento angular en relación con un eje Oz elegido arbitrariamente. Parecía que la existencia de alguna dirección distinguida en el espacio debería haber seguido de esto.

Este fenómeno se denominó cuantización espacial , pero parecía ser incompatible con la isotropía del espacio. En la mecánica cuántica, el momento angular se cuantifica de la misma manera, pero sus estados discretos a lo largo de un eje son una superposición de estados a lo largo de los otros ejes, por lo que no surge una dirección particular en el espacio durante el proceso de cuantificación. Por lo tanto, ahora no se usa el término " cuantización espacial ", sino que se usa el término " cuantización del momento angular ".

Átomo de hidrógeno

La parte angular del átomo de hidrógeno es un rotador, que se caracteriza por los números cuánticos l , m . Solo se desconoce la coordenada radial, que viene dada por el movimiento periódico unidimensional.

Para un valor fijo del momento angular total L , la función de Hamilton del clásico problema de Kepler tiene la forma (aquí las variables se eligen de modo que la masa y la energía se vuelvan adimensionales):

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{1}{r}.

Fijando la energía como una constante (negativa) y resolviendo la ecuación resultante para el momento p , tenemos la condición de cuantización:

2 \int\sqrt{2E - \frac{l^2}{r^2} + \frac{2}{r}}\ dr = kh,

lo que determina el nuevo número cuántico k , que junto con el número l determina los niveles de energía:

E_{k,l} = - \frac{1}{2 (k+l)^2}.

Es fácil ver que la energía depende de la suma de los números cuánticos k y l , que se pueden denotar como otro número cuántico n , que se denomina número cuántico principal . Si k no es negativo, entonces los valores permitidos del número l para un n dado no pueden ser mayores que el valor n dado .

Este modelo semiclásico del átomo de hidrógeno se llama modelo de Sommerfeld, y las órbitas de los electrones en él son elipses. El modelo de Sommerfeld predijo el hecho de que el momento magnético de un átomo, que se mide a lo largo de algún eje, tendría solo valores discretos. Este resultado parecía contradecir la isotropía del espacio, pero fue confirmado por el experimento de Stern-Gerlach . La teoría de Bohr-Sommerfeld fue una de las etapas más importantes en el desarrollo de la mecánica cuántica, ya que describía la posibilidad de dividir los niveles de energía de un átomo en un campo magnético , es decir, explicaba el efecto Zeeman .

Órbita relativista (problema Kepleriano)

La solución relativista para los niveles de energía del átomo fue encontrada por Arnold Sommerfeld [2] . Escribamos la ecuación relativista para la energía con potencial electrostático :

mi = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{ r}

y hacer la sustitución : $tu = \frac{1}{r}$

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E}{m_0 c^2} + k \frac{Z e^2}{ m_0 c^2} u.

Escribamos las expresiones para los impulsos:

p_r = m\dot r,

p_{\varphi} = señor^2 \dot \varphi,

entonces su relación será , y de aquí se puede obtener la ecuación de movimiento (ecuación de Binet ): $\frac{p_r}{p_{\varphi}} = - \frac{du}{d\varphi}$

\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_{\varphi }^2} \right) u + \frac{m_0 kZe^2}{p_{\varphi}^2} \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) = - \omega_0^2 u + K,

cuya solución se parece a:

u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_0 \varphi.

El desplazamiento angular del periapsis en un periodo es

\Delta \varphi = 2 \pi \left( \frac{1}{\omega_0} - 1 \right).

Las condiciones de cuantización en nuestro caso se verán así:

\oint p_{\varphi} d \varphi = 2 \pi p_{\varphi} = n_{\varphi} h,

\oint p_r dr = p_{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right) ^2 d \varphi = n_r h,

donde se pueden calcular los niveles de energía:

\frac{E_{n_r, n_{\varphi))}{m_0 c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_{\varphi} ^ 2 - \alpha ^2 Z^2} )^2} \right) ^{-1/2} - 1,

donde es la constante de estructura fina . Este resultado coincide con la solución de la ecuación de Dirac [10] . Además, si hacemos la sustitución de los números cuánticos y , entonces la fórmula resultante coincidirá con la solución exacta de la ecuación de Klein-Gordon [11] . $\alpha = \frac{2\pike^2}{hc}$ $n_r \a n_r + 1/2$ $n_{\varphi} \a l + 1/2$

Ondas de De Broglie

En 1905, Einstein observó que la entropía de un campo electromagnético en una caja, que según Planck está representada por osciladores armónicos cuantizados, para el caso de ondas cortas es igual a la entropía de un gas de partículas puntuales en la misma caja, y el número de partículas es igual al número de cuantos. Por lo tanto, Einstein llegó a la conclusión de que el cuanto puede interpretarse como una partícula localizada [12] , una partícula de luz, un fotón .

El argumento de Einstein se basaba en la termodinámica, en contar el número de estados, por lo que no era muy convincente. A pesar de esto, planteó la hipótesis de que la luz tiene propiedades tanto de onda como de partícula, más precisamente, que es una onda electromagnética estacionaria con una frecuencia y energía cuantizada: $\omega$

E = n\hbar\omega,

que se puede representar como n fotones con energías . Pero Einstein no pudo explicar cómo se relacionan los fotones con una onda. $\hbar \omega$

Los fotones tienen energía y cantidad de movimiento igual a , donde es el vector de onda de una onda electromagnética. Esto es requerido por la teoría de la relatividad , según la cual el momento y la energía forman un vector de 4 , al igual que la frecuencia con el vector de onda. ${\ estilo de visualización \ hbar \ mathbf {k}}$ $\matemáticas {k}$

En 1924, Louis de Broglie planteó la hipótesis de que la materia, en particular un electrón, es similar a un fotón, descrito por una onda que satisface la siguiente relación:

p = \hbark,

o, escribiendo el número de onda en términos de la longitud de onda , $k$ $\lambda$

p = \frac{h}{\lambda}.

Luego se dio cuenta de que la condición de cuantificación

\int p dx = \hbar \int k dx = 2 \pi \hbar n

determina el cambio de fase de la onda a medida que viaja a lo largo de la órbita clásica. Por lo tanto, para la interferencia constructiva, el número de longitudes de onda que caben en una órbita clásica debe ser un número entero. Esta condición explica el hecho de que las órbitas deben cuantificarse: las ondas de materia forman ondas estacionarias solo en ciertas frecuencias y energías discretas.

Por ejemplo, para una partícula colocada en una caja, la onda estacionaria debe caber en un número entero de longitudes de onda entre las paredes de la caja. Entonces la condición de cuantificación tiene la forma:

n \lambda = 2L,

entonces el impulso se cuantifica así:

p = \frac{nh}{2L},

determinando así los niveles de energía.

Einstein desarrolló aún más esta hipótesis y le dio una forma matemáticamente más rigurosa, señalando que la función de fase de las ondas en un sistema mecánico debe identificarse con la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi . Posteriormente, sobre la base de estas ideas , Schrödinger propuso su ecuación mecánica cuántica , sentando así las bases de la mecánica ondulatoria.

Matriz de transición de Kramers

La antigua teoría cuántica se formuló solo para una cierta clase de sistemas mecánicos. Por ejemplo, ella no trabajaba con la absorción y emisión de radiación. Pero Hendrik Kramers trató de encontrar reglas mediante las cuales se pudieran calcular la absorción y la emisión [13] [14] [15] .

Kramers admitió que la órbita de un sistema cuántico se puede expandir en una serie de Fourier en términos de armónicos con frecuencias que son múltiplos de la frecuencia de la órbita: $\omega$

X_n(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{nk}.

Aquí, el índice n se refiere al conjunto de números cuánticos que caracteriza la órbita y debe coincidir con el conjunto n , l , m del modelo de Sommerfeld. La frecuencia es la frecuencia angular de la órbita, k es el índice de la componente de Fourier. Bohr asumió que el k-ésimo armónico del movimiento clásico corresponde a la transición del nivel n al nivel n − k . $\omega = 2\pi / T_n$

Kramers creía que la transición entre estados es similar a la emisión clásica de radiación, que ocurre en frecuencias que son múltiplos de las frecuencias orbitales. La intensidad de la radiación será proporcional a , como debería ser en la mecánica clásica. Pero tal descripción es inexacta si las frecuencias de los componentes de Fourier no corresponden exactamente a las energías de transición entre los niveles. $|X_k|^2$

Posteriormente, estas ideas fueron desarrolladas por Heisenberg , Born y Jordan [16] [17] [18] , lo que condujo al surgimiento de la mecánica matricial .

Limitaciones de la antigua teoría cuántica

La antigua teoría cuántica y, en particular, el modelo de Bohr fueron un paso importante en el desarrollo de la teoría de la estructura del átomo. A principios del siglo XX, cuando la aplicación de hipótesis cuánticas era más un arte que una ciencia, los éxitos de la antigua teoría cuántica causaron una profunda impresión. Mostró la inaplicabilidad de la física clásica a los fenómenos intraatómicos y la gran importancia de las leyes cuánticas a nivel microscópico. Pero la vieja teoría cuántica es solo una etapa de transición para la creación de una teoría consistente de los fenómenos atómicos, ya que solo una gama limitada de problemas puede resolverse dentro de su marco. Las principales razones de la crisis de la vieja teoría cuántica, que llevó a la necesidad de construir una nueva mecánica cuántica, fueron [19] :

inconsistencia lógica interna: la teoría no es consistentemente cuántica ni consistentemente clásica;
incapacidad para explicar el efecto Zeeman anómalo ;
la imposibilidad de calcular la intensidad de las líneas espectrales;
la imposibilidad de construir una teoría de un átomo multielectrónico (en particular, un átomo de helio ).

Más tarde quedó claro que la antigua teoría cuántica es, de hecho, una aproximación semiclásica de la ecuación de Schrödinger [20] .

Véase también

Notas

↑ Tipler, Llewellyn, 2007 .
↑ 1 2 Sommerfeld, 1956 .
↑ Planck, 1900 , pág. 237.
↑ 1 2 Planck, 1901 , pág. 553.
↑ Dirac, 1927 , pág. 621-641.
↑ Landau, Lifshitz, 2008 , pág. 210.
↑ Strutt, 1900 , pág. 539-540.
↑ Vaqueros, 1905 , pág. 545-552.
↑ Franck, Hertz, 1914 , pág. 457-467.
↑ Granovsky, 2004 , pág. 577-578.
↑ Vakarchuk, 2012 .
↑ Einstein, 1905 , pág. 132.
↑ Kramer, 1919 .
↑ Kramers, 1920 , pág. 199-223.
↑ Kramers, 1924 , pág. 673-674.
↑ Heisenberg, 1925 , pág. 879-893.
↑ Nacido, Jordania, 1925 , p. 858-888.
↑ Heisenberg, Nacido, Jordania, 1926 , p. 557-615.
↑ Shpolski, 1974 .
↑ Landau, Lifshitz, 2008 .

Literatura

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Sommerfeld A. Estructura del átomo y espectros. — M. : GITTL, 1956. — 592+696 p.
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