El tercer problema del valor en la frontera

El problema de Robin , el problema de Newton , el tercer problema de valor límite, el problema del tipo de impedancia , una especie de problema de valor límite para ecuaciones diferenciales . Nombrado en honor al matemático francés Victor Robin y al físico británico Isaac Newton .

Planteamiento del problema

En su forma más general, el problema se plantea de la siguiente manera: resolver una ecuación diferencial parcial de la forma

Lu=f(\mathbf{x} )

en el área de

\Omega

Bajo condiciones de contorno de la siguiente forma:

\left.\left(au+b{\frac {\parcial u}{\parcial \mathbf {n} }}\right)\right|_{\parcial \Omega }=g(\mathbf {x } )

Tal tarea se llama el problema del tercer valor en la frontera .

Interpretación física

Dado que el tercer límite define la conexión entre la función deseada y su derivada normal en el límite de la región, entonces, dependiendo del problema que se resuelva, se utilizan diferentes formas de especificar e interpretar el tercer límite:

Para la ecuación de conducción de calor, se dan en la forma - transferencia de calor según la ley de Newton-Richmann [1] . $-\lambda {\frac {\parcial u}{\parcial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
Para las ecuaciones escalares obtenidas de las ecuaciones de Maxwell , , se da de forma similar (si la ecuación es relativa a la intensidad del campo eléctrico ) y significa la relación entre los campos eléctrico y magnético en el límite de la región. $-\mu ^{-1}{\frac {\parcial E}{\parcial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
Para ecuaciones vectoriales obtenidas a partir de las ecuaciones de Maxwell, la tercera ecuación de contorno se puede escribir, teniendo en cuenta la conexión , de la siguiente manera [2] : $\mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E}$

-\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0

Solución analítica

Se puede encontrar una solución analítica al problema del tercer valor en la frontera utilizando la teoría del potencial .

Solución numérica

Cada método numérico para resolver ecuaciones diferenciales tiene sus propias características de tener en cuenta el tercer límite, por ejemplo:

En el método de diferencias finitas , se construye un esquema de diferencias de la forma , donde es un operador de diferencias, y la ecuación resultante se agrega al sistema. $au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x}_{i})$ $R$
En el método de los elementos finitos, las terceras fronteras son naturales y se tienen en cuenta a nivel de formulación variacional, se obtienen adiciones a la matriz y al lado derecho [1] :

{\displaystyle \int _{\parcial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx))

es la suma al -ésimo, -ésimo elemento de la matriz;

i

j

{\displaystyle \int _{\parcial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx))

es la suma al i-ésimo elemento del lado derecho.

i

Véase también

Notas

↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak ME , Persova M.G. Método de elementos finitos para problemas escalares y vectoriales. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Resolviendo las Ecuaciones de Maxwell usando la Formulación Variacional Ultra Débil . - 2006. - S. 46 .

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Tipos de ecuaciones

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