Ecuaciones de aguas poco profundas

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Las ecuaciones de aguas poco profundas (también conocidas como ecuaciones de Saint-Venanten forma lineal) es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas que describe flujos bajo la superficie de un líquido.

Las ecuaciones se obtienen [1] integrando las ecuaciones de Navier-Stokes sobre profundidad , siempre que la escala horizontal sea mucho mayor que la vertical. Bajo esta condición, se sigue de la ley de continuidad que las velocidades verticales en el líquido son pequeñas, los gradientes de presión verticales son cercanos a cero, y los gradientes horizontales son causados por la rugosidad de la superficie del líquido, y las velocidades horizontales son las mismo en toda la profundidad. Al integrar a lo largo de la vertical, las velocidades verticales salen de las ecuaciones.

Aunque las velocidades verticales están ausentes de las ecuaciones de aguas poco profundas, no son cero. Cuando se obtienen las velocidades horizontales, las velocidades verticales se derivan de la ecuación de continuidad.

Las situaciones en las que la profundidad del área del agua es mucho menor que las dimensiones horizontales son bastante comunes, por lo que las ecuaciones de aguas poco profundas se utilizan ampliamente. Se utilizan teniendo en cuenta las fuerzas de Coriolis en la modelización de la atmósfera y el océano como simplificación del sistema de ecuaciones primitivas que describen los flujos en la atmósfera.

Las ecuaciones de aguas poco profundas tienen en cuenta solo un nivel vertical, por lo que no pueden describir factores que varíen con la profundidad. Sin embargo, cuando la dinámica de los flujos en dirección vertical es relativamente simple, los cambios verticales pueden separarse de los horizontales, y el estado de dicho sistema puede describirse mediante varios sistemas de ecuaciones para aguas poco profundas.

Ecuaciones

Forma conservadora

Las ecuaciones de aguas poco profundas se derivan de las ecuaciones de conservación de la masa y el momento ( las ecuaciones de Navier-Stokes ), que son válidas para el caso general, incluidas las situaciones en las que no se cumplen las condiciones de aguas poco profundas. Sin tener en cuenta las fuerzas de Coriolis , la fricción y la viscosidad , las ecuaciones toman la forma:

{\begin{alineado}{\frac {\parcial \eta }{\parcial t))+{\frac {\parcial (\eta u)}{\parcial x))+{\frac {\parcial (\eta v)}{\parcial y))&=0\\[3pt]{\frac {\parcial (\eta u)}{\parcial t))+{\frac {\parcial }{\parcial x }}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\parcial (\eta uv)}{\parcial y }}&=0\\[3pt]{\frac {\parcial (\eta v)}{\parcial t}}+{\frac {\parcial (\eta uv)}{\parcial x}}+{\ frac {\parcial }{\parcial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{alineado }}

Forma no conservativa

Se pueden escribir ecuaciones para velocidades. Debido a que las velocidades no forman parte de las leyes fundamentales de conservación, estas ecuaciones no describen fenómenos como el golpe de ariete o el salto hidráulico .

{\begin{alineado}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\parcial \eta }{\parcial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt))+fu&=-g{\frac {\parcial \eta }{\parcial y))-bv,\\[3pt]{\frac {\parcial \eta }{\parcial t)) &=-{\frac {\parcial }{\parcial x)){\Bigl (}u\left(H+\eta \right){\Bigr )}-{\frac {\parcial }{\parcial y)) {\Bigl (}v\left(H+\eta \right){\Bigr)},\end{alineado))

dónde

$tu$	es la velocidad a lo largo del eje x ;
$v$	es la velocidad a lo largo del eje y ;
$H$	es la altura media de la superficie del líquido;
$\eta$	— desviación de la presión en el plano horizontal con respecto al valor medio;
$gramo$	- aceleración de la gravedad;
$F$	es el parámetro de Coriolis igual en la Tierra $2\Omega\sin\varphi;$
$\Omega$	es la velocidad angular de rotación de la Tierra alrededor de su eje ( radianes /hora); ${\ estilo de visualización \ pi /12}$
$\varphi$	- latitud geográfica;
$b$	es el coeficiente de resistencia viscosa.

Aplicaciones de simulación

Las ecuaciones de aguas poco profundas se pueden aplicar para simular las ondas de Rossby y Kelvinen la atmósfera, ríos, lagos, océanos y cuerpos de agua más pequeños como piscinas. Para que la aplicación de las ecuaciones de aguas poco profundas sea correcta, las dimensiones horizontales del área del agua deben ser significativamente mayores que la profundidad. Las ecuaciones de aguas poco profundas también son adecuadas para modelar mareas. El movimiento de las mareas, que tiene escalas horizontales de cientos de kilómetros, puede considerarse un fenómeno de aguas poco profundas, incluso si se produce en muchos kilómetros de profundidad oceánica.

Véase también

método Wolzinger

Notas

↑ David A. Randall. The Shallow Water Equations (inglés) (enlace no disponible) (6 de julio de 2006). Consultado el 17 de diciembre de 2011. Archivado desde el original el 6 de septiembre de 2012.

Literatura

Ecuaciones de Temam R. Navier-Stokes. Teoría y análisis numérico. - 2ª ed. — M .: Mir, 1981. — 408 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hidrodinámica. - 4ª edición, estereotipada. — M .: Nauka , 1988. — 736 p. - (" Física Teórica ", Tomo VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hidrodinámica y transferencia de calor durante la vaporización. - 3ra ed., Rev. - M. : Escuela superior, 1986. - 448 p.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Hidrodinámica química. - M. : Cuántica, 1996. - 336 p. - 1500 copias.

Bulatov O. V., Elizarova T. G. Ecuaciones regularizadas de aguas poco profundas y un método efectivo para la simulación numérica de corrientes en cuerpos de aguas poco profundas // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2011. - T. 51 , N º 1 . — S. 170–184 .

Elizarova T. G., Zlotnik A. A., Nikitina O. V. Modelado de flujos unidimensionales de aguas poco profundas basado en ecuaciones regularizadas . MV Keldysh. 2011. Núm. 33. 36 págs.

ZI Fedotova, GS Khakimzyanov Jerarquía de ecuaciones de aguas poco profundas: derivación, estudio, algoritmos computacionales . Conferencia Internacional "Tecnologías Matemáticas y de la Información, MIT-2011".

AS Petrosyan Capítulos adicionales de la hidrodinámica de un fluido pesado con un límite libre . IKI RAN, M., 2010, 128 p.

Enlaces

Obras originales de Navier, Poisson, Saint-Venant, Stokes, dedicadas a la derivación de las ecuaciones de movimiento de un fluido viscoso
https://web.archive.org/web/20120216051853/http://physics.nmt.edu/~raymond/classes/ph332/notes/shallowgov/shallowgov.pdf - derivación de ecuaciones de aguas poco profundas a partir de principios generales (en lugar de simplificando las ecuaciones de Navier-Stokes), algunas soluciones analíticas.

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