Cuadratriz

Quadratrix es una curva trascendental plana , definida cinemáticamente . Fue propuesto en la antigüedad (siglo V a. C.) para resolver problemas de cuadratura de un círculo y trisección de un ángulo . El quadritrix se convirtió en la primera curva trascendental en matemáticas [1] .

Definición

La definición cinemática de una cuadrática es la siguiente: considere un cuadrado (Fig. 1), en el que está inscrito un sector de un cuarto de círculo. Deje que el punto se mueva uniformemente a lo largo del arco de un punto a otro ; al mismo tiempo, el segmento se mueve uniformemente de una posición a otra . Finalmente, requerimos que ambos movimientos comiencen y terminen al mismo tiempo. Luego, el punto de intersección del radio y el segmento describirá la cuadrática (ver Figuras 1 y 2, resaltadas en rojo). $A B C D$ $mi$ $D$ $B$ $A'B'$ $corriente continua$ $AB$ $AE$ $A'B'$

Los matemáticos antiguos tenían prejuicios contra las definiciones cinemáticas de las curvas, considerándolas indignas de la ciencia geométrica. Por lo tanto, propusieron otras dos definiciones que no utilizan el concepto de movimiento mecánico; estas definiciones se dan en los escritos de Pappus de Alejandría y representan la cuadratriz como una proyección de unas curvas asociadas a una hélice o espiral de Arquímedes [2] . Estas construcciones son bastante complicadas y no se utilizan en la práctica.

En época moderna se descubrieron otras construcciones donde aparece una cuadrática; por ejemplo, considere la intersección de una bobina de un helicoide con un plano que contiene el eje de esta superficie. Entonces la proyección de la recta de intersección sobre un plano perpendicular al eje es una rama de la cuadrática [3] .

Historia

La primera mención de la cuadratriz fue hecha por Pappus de Alejandría [4] y Jámblico a finales del siglo III. Papp también dio una descripción detallada de los métodos de su construcción. La curva fue descubierta, según Proclus Diadochus , por el sofista Hipias en el siglo V a. mi. y fue utilizado por él para resolver el problema de la trisección de un ángulo . Otro geómetra antiguo, Dinostratus , realizado en el siglo IV a. mi. estudio de esta curva y mostró que también proporciona una solución al problema de la cuadratura del círculo . En las fuentes, esta curva se denomina “Dinostratus quadritrix” o “Hippias quadritrix” [5] .

Papp escribe que el matemático del siglo III de la controversia de Nicea planteó dos serias objeciones al uso de un cuadrado para cuadrar un círculo, con las que Papp está totalmente de acuerdo [6] :

Es imposible coordinar con precisión el movimiento de los segmentos BC y AB, si no se conoce de antemano la relación entre la longitud del arco de un cuarto de círculo y el radio, por lo que se obtiene un círculo vicioso .
El punto K no se puede construir, porque en el momento correspondiente el segmento y el radio coinciden. En la terminología moderna, el punto K es el límite de los puntos de la cuadritrix, un concepto ajeno a las matemáticas antiguas.

En tiempos modernos, la curva fue explorada por Roberval (1636), Fermat , Barrow (1670) y otros matemáticos conocidos. Descartes dedicó muchas páginas al estudio de la cuadrática en su “ Geometría ” (1637) [7] . Newton en 1676 determinó la longitud del arco cuadritrix, su curvatura y el área de su segmento en forma de serie , y también indicó el método de dibujar tangentes [8] .

Ecuaciones de curvas

En coordenadas polares :

\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}).

Conclusión
Sea el radio del círculo, sea el ángulo actual y sea el radio polar. Por comodidad, introducimos el tiempo , que durante el período de movimiento cambia de 0 a 1. Luego, el movimiento uniforme de un punto a lo largo de un arco de longitud se puede expresar mediante la ecuación: $R$ $\varphi$ $MARICÓN$ $\rho =AF$ $t$ $mi$ $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ $\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).$ El movimiento uniforme del segmento se expresa mediante la ecuación: $A'B'$ $A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R$ Sustituyendo el valor de la primera ecuación en la segunda, finalmente obtenemos: $1-t$ $\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.$

Conclusión

Sea el radio del círculo, sea el ángulo actual y sea el radio polar. Por comodidad, introducimos el tiempo , que durante el período de movimiento cambia de 0 a 1. Luego, el movimiento uniforme de un punto a lo largo de un arco de longitud se puede expresar mediante la ecuación:

R

\varphi

MARICÓN

\rho =AF

t

mi

\textstyle {\frac {\pi }{2}}

\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).

El movimiento uniforme del segmento se expresa mediante la ecuación: $A'B'$

A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R

Sustituyendo el valor de la primera ecuación en la segunda, finalmente obtenemos: $1-t$

\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.

En coordenadas rectangulares :

x=y\,\nombre del operador {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Conclusión
Llevamos la ecuación en coordenadas polares a la forma: $\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Considerando , obtenemos $\rho \sin \varphi =y$ $y={\frac{2R}{\pi }}\varfi$ Por motivos geométricos: . Entonces la ecuación se verá así: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}$ ${\frac {\pi y}{2R}}=\nombre del operador {arctg}{\frac {y}{x}}$ Tomamos la tangente de ambas partes: $\operatorname {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}$ eso es $x=y\,\nombre del operador {ctg}{\frac {\pi y}{2R))$

Conclusión

Llevamos la ecuación en coordenadas polares a la forma:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Considerando , obtenemos $\rho \sin \varphi =y$

y={\frac{2R}{\pi }}\varfi

Por motivos geométricos: . Entonces la ecuación se verá así: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}$

{\frac {\pi y}{2R}}=\nombre del operador {arctg}{\frac {y}{x}}

Tomamos la tangente de ambas partes:

\operatorname {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}

eso es

x=y\,\nombre del operador {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Propiedad principal

La ecuación cuadrática en coordenadas polares se puede escribir como:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,

o: donde

y=k\varfi,

k={\frac{2R}{\pi }}.

Esto implica la propiedad principal de esta curva [9] :

Las ordenadas de dos puntos cualquiera de la cuadritrix están relacionadas como los ángulos polares de estos puntos: ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{2}}}.$

Una cuadratriz es la única curva (no degenerada) en el primer cuadrante de coordenadas que tiene esta propiedad (es fácil probar esto repitiendo el razonamiento anterior en orden inverso).

Otras propiedades

El área del segmento cuadrado está determinada por la fórmula [3] : $ADFG$

S={\frac{2R^{2}\ln 2}{\pi }}

Aplicación

Trisección de ángulos

La trisección de ángulos, es decir, la división de un ángulo arbitrario en tres partes iguales, con ayuda de una cuadrática, se realiza de forma elemental. Sea (Fig. 1) un cierto ángulo, un tercio del cual debe construirse. El algoritmo de división es el siguiente: $EAB$

Encontramos un punto en el cuadrado y su ordenada . $F$ $A'$
Ponga a un lado su tercera parte en el segmento; obtener algún punto . $AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO'$ $H$
Encontramos un punto con ordenada en el cuadrado . $k$ $H$
Pasamos el haz . El ángulo es el deseado. $Alaska$ $KAB$

La prueba de este algoritmo se sigue inmediatamente de la propiedad principal de la cuadritrix. También es obvio que de manera similar es posible dividir el ángulo no solo en tres, sino también en cualquier otro número de partes [10] .

La cuadratura de un círculo

El problema de la cuadratura de un círculo se plantea de la siguiente manera: construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado de radio . Algebraicamente, esto significa resolver la ecuación: . $R$ $x^{2}=\pi R^{2}$

Construyamos una cuadrática para el círculo inicial, como en la Fig. 1. Utilizando el primer límite notable , obtenemos que la abscisa de su punto inferior (en la Fig. 3 es el segmento ) es igual a . Expresamos esto como una proporción: , donde es la circunferencia del círculo. La relación anterior te permite construir un segmento de longitud . Un rectángulo con lados tendrá el área deseada, y construir un cuadrado de igual área es una cuestión sencilla, consulte el artículo Cuadratura (matemáticas) o la fig. 3. $AG$ ${\ estilo de visualización AJ}$ ${\frac{2R}{\pi ))$ $C:2R=2R:AG$ $C=2\piR$ $C$ $R$ $C/2$

Variaciones

Además de la cuadratura de Dinostratus discutida anteriormente, hay una serie de otras curvas que se pueden usar para cuadrar un círculo y, por lo tanto, también se denominan cuadrices [3] .

Cuadratriz de Chirnhaus (o Chirnhausen), afín a la sinusoide habitual [11] :

y=a\sin {\frac {\pi x}{2a))

Cuadritrix de Ozanam :

x=2a\sen ^{2}{\frac {y}{2a}}

Cocleoide [11] con ecuación polar . $\rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi ))$

Además, varios autores prefieren intercambiar x e y en la ecuación cuadrática de Dinostrat [12] :

y=x\,\nombre del operador {ctg}{\frac {\pi x}{2R))

Esta opción ( cuadrática completa ) tiene la ventaja de que la función se define en todo el eje real, excepto en los puntos singulares (en el punto , la función se define aún más al pasar al límite; consulte su gráfico en la Fig. 4). En coordenadas polares, la rama central de esta versión de la curva se describe mediante la fórmula [12] : $y(x)$ $\pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\puntos$ $x=0$ $y(x)$ $R=1$

\rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}

Esta curva tiene un número infinito de ramas, para las cuales las líneas verticales en los puntos singulares son asíntotas . Los puntos de una curva con una ordenada (excepto un punto en el eje y) son puntos de inflexión [12] . $y={\frac {2R}{\pi}}$

Notas

↑ Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 84-85.
↑ Prasolov VV, 1992 , p. 58-61.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , pág. 230.
↑ Pappus de Alejandría . Colección Matemática, Libro IV, 30-34.
↑ Savelov A. A., 1960 , p. 227.
↑ Prasolov, 2018 , pág. 71.
↑ Prasolov VV, 1992 , p. 61-62.
↑ Isaac Newton. Trabajos matemáticos / Traducción y comentarios de D. D. Mordukhai-Boltovsky . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 31 , 87-89, 99, 166, 227, 287. - 452 p. - (Clásicos de las ciencias naturales).
↑ Tres famosos problemas de la antigüedad, 1963 , p. 34-35.
↑ Tres famosos problemas de la antigüedad, 1963 , p. 35-37.
↑ 1 2 Vileitner G. Historia de las matemáticas desde Descartes hasta mediados del siglo XIX. - M. : GIFML, 1960. - S. 284. - 468 p.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , pág. 228.

Literatura

Zhukov A. V. "Sobre el número π" Copia de archivo del 29 de febrero de 2008 en Wayback Machine . M.: MTSNMO, 2002, 32 s ISBN 5-94057-030-5
Prasolov VV Historia de las matemáticas, en dos volúmenes. - M. : MTSNMO , 2018. - T. 1. - 296 p. - ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9.
Prasolov VV Tres problemas de construcción clásicos. Duplicación de un cubo, trisección de un ángulo, cuadratura de un círculo . — M .: Nauka, 1992. — 80 p. - ( Clases populares de matemáticas , número 62).
Proshletsova I. L. Sobre el quadritrix de Dinostrat // Investigaciones históricas y matemáticas . San Petersburgo: Editorial de la Fundación Internacional para la Historia de la Ciencia. Tema. 35 (1994). págs. 220-229.
Savelov A. A. Curvas planas: sistemática, propiedades, aplicaciones (Guía de referencia). - M. : Fizmatlit, 1960. - S. 227-230. — 293 pág. Reeditado en 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
Chistyakov V.D. Tres famosos problemas de la antigüedad. - M. : Estado. uch.-ped. editorial del Ministerio de Educación de la RSFSR, 1963. - S. 33-37. — 96 págs.
Shchetnikov A. I. ¿Cómo se encontraron algunas soluciones de tres problemas clásicos de la antigüedad? // Educación matemática. - 2008. - Nº 4 (48) . - Pág. 3-15 .
Shchetnikov A.I. La cuadritrix de Hippias y su conexión con los problemas de la trisección de un ángulo y la cuadratura de un círculo // Actas de las VIII Lecturas Internacionales de Kolmogorov. - Yaroslavl: Editorial de YaGPU, 2010. - S. 392 -396 . - ISBN 978-5-87555-630-2 .

Enlaces

Quadratrix of Hippias Archivado el 4 de febrero de 2012 en Wayback Machine en el archivo MacTutor. (Inglés)
Cuadratriz de Hipias en Convergencia . (Inglés)

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio