Espiral de Arquímedes

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Una espiral de Arquímedes es una espiral , una curva plana , una trayectoria del punto M (ver Fig. 1), que se mueve uniformemente a lo largo del rayo OV con el comienzo en O , mientras que el propio rayo OV gira uniformemente alrededor de O. En otras palabras, la distancia ρ = OM es proporcional al ángulo de rotación φ del haz OV . La rotación del rayo OV en el mismo ángulo corresponde al mismo incremento ρ.

Las propiedades de esta espiral son descritas por el antiguo científico griego Arquímedes en su ensayo " Sobre espirales ".

Descripción

La ecuación de la espiral de Arquímedes en el sistema de coordenadas polares se escribe de la siguiente manera:

(una)

{\ estilo de visualización \ rho = k \ varphi,}

donde k es el desplazamiento del punto M a lo largo del rayo r cuando se gira un ángulo igual a un radián.

La rotación de la recta sobre corresponde al desplazamiento a = | bm | = | MA | = . El número a se llama el " paso de la hélice ". La ecuación de la espiral de Arquímedes se puede reescribir de la siguiente manera: $2\pi$ $2k\pi$

{\ estilo de visualización \ rho = {\ frac {a} {2 \ pi}} \ varphi.}

Cuando el haz gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se obtiene una hélice dextrógira (línea azul) (ver Fig. 2), cuando se gira en el sentido de las agujas del reloj, se obtiene una hélice dextrógira (línea verde).

Ambas ramas de la espiral (derecha e izquierda) están descritas por una ecuación (1). Los valores positivos corresponden a la hélice derecha, los valores negativos a la hélice izquierda. Si el punto M se mueve a lo largo de la línea UV desde valores negativos a través del centro de rotación O y luego a valores positivos, a lo largo de la línea UV, entonces el punto M describirá ambas ramas de la espiral. $\varphi$

El rayo OV, trazado desde el punto inicial O, cruza la espiral un número infinito de veces: puntos B, M, A, etc. Las distancias entre los puntos B y M, M y A son iguales al paso de la hélice . Cuando la espiral se desenrolla, la distancia del punto O al punto M tiende a infinito, mientras que el paso de la espiral permanece constante (finito), es decir, cuanto más lejos del centro, más cerca se acercan las vueltas de la espiral a un círculo. . $a=2k\pi$

Área del sector

Área de sector OCM : $S$

\izquierda(2\derecha)

S={\frac {1}{6}}\varphi \left(\rho ^{2}+\rho \rho '+\rho '^{2}\right)

donde , , . $\rho=OC$ $\rho '=OM$ $\varphi=\ángulo COM$

Para , , , la fórmula (2) da el área de la figura delimitada por la primera vuelta de la espiral y el segmento CO: $\rho=0$ $\rho '=a$ $\varphi=2\pi$

S_{1}={\frac {1}{3}}\pi a^{2}={\frac {1}{3}}S'_{1}

donde es el área de un círculo cuyo radio es igual al paso de la espiral - . $S'_{1}$ $a$

Todas estas propiedades y ecuaciones fueron descubiertas por Arquímedes .

Cálculo de la longitud del arco de una espiral de Arquímedes

Un segmento infinitamente pequeño del arco es (ver Fig. 3): $dl$

{\displaystyle dl={\sqrt {d\rho^{2}+dh^{2))))

donde es el incremento del radio , cuando el ángulo se incrementa en . Para un incremento infinitamente pequeño del ángulo , es cierto: $d \ rho$ $\rho$ $\varphi$ $d\varphi$ $d\varphi$

{\displaystyle dh^{2}=\left(\rho d\varphi \right)^{2))

Es por eso:

{\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2))))

así como $\rho=k\varfi$

d\rho=kd\varphi

{\displaystyle dl={\sqrt {k^{2}d\varphi ^{2}+k^{2}\varphi ^{2}d\varphi ^{2))))

{\displaystyle dl=kd\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2))))

La longitud del arco es igual a la integral de a dentro del rango de a : $L$ $dl$ $d\varphi$ ${\ estilo de visualización 0}$ $\varphi$

L=\int \limits _{0}^{\varphi }k{\sqrt {1+\varphi ^{2))}d\varphi

L={\frac {k}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\ varphi ^{2}}}\derecho)\derecho]

. [una]

Generalización tridimensional

Una generalización tridimensional de la espiral de Arquímedes puede considerarse la proyección de una espiral cónica sobre un plano perpendicular al eje del cono.

Notas

↑ Weisstein, Espiral de Eric W. Archimedes en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Enlaces

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Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio