Ecuación de onda electromagnética

La ecuación de onda electromagnética es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la propagación de ondas electromagnéticas a través de un medio o en el vacío . Esta es la forma 3D de la ecuación de onda . La forma homogénea de la ecuación, escrita en términos del campo eléctrico E o del campo magnético B , es:

{\begin{alineado}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\parcial ^{2)){\parcial t^{2))}\right )\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\parcial ^{2)){\parcial t^{ 2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{alineado}}

dónde

{\displaystyle v_{ph}={\frac {1}{\sqrt {\mu\varepsilon))))

es la velocidad de la luz (es decir , la velocidad de fase ) en un medio con permeabilidad magnética μ y permitividad ε , y ∇ 2 es el operador de Laplace . En el vacío v ph = c 0 = 299.792.458 m/s es una constante física fundamental [1] . La ecuación de ondas electromagnéticas se deriva de la ecuación de Maxwell . En la literatura más antigua, B se conoce como densidad de flujo magnético o inducción magnética. . Las siguientes ecuaciones

{\begin{alineado}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{alineado))

denote que cualquier onda electromagnética debe ser transversal , donde el campo eléctrico E y el campo magnético B son ambos perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.

Origen de la ecuación de ondas electromagnéticas

En su artículo de 1865 titulado " Teoría dinámica del campo electromagnético , James Maxwell utilizó una enmienda a la ley de circulación de Ampère que introdujo en la Parte III de su artículo de 1861 " Sobre las líneas físicas de fuerza ". En la Parte VI de su artículo de 1864 titulado "La teoría electromagnética de la luz " [2] , Maxwell combinó la corriente de desplazamiento con algunas otras ecuaciones del electromagnetismo y derivó una ecuación de onda con una velocidad igual a la velocidad de la luz. Comentó:

La concordancia de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son efectos de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo de acuerdo con las leyes electromagnéticas [3] .

La derivación de Maxwell de la ecuación de ondas electromagnéticas ha sido reemplazada en la educación física moderna por un método mucho menos engorroso que implica combinar una versión corregida de la ley de circulación de Ampère con la ley de inducción de Faraday .

Para derivar la ecuación de una onda electromagnética en el vacío usando el método moderno, comenzamos con las ecuaciones de Maxwell en forma de Heaviside . En el espacio sin vacío ni carga, estas ecuaciones se pueden escribir como:

{\begin{alineado}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\parcial \mathbf {B} }{\parcial t))\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\parcial \mathbf {E} }{\t parcial}}\\\end{alineado}}

Estas son las ecuaciones generales de Maxwell, especializadas para el caso en que la carga y la corriente son cero. Tomando el rotor de la ecuación del vórtice se obtiene:

{\begin{alineado}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\parcial \mathbf {B} } {\t parcial))\right)=-{\frac {\parcial }{\t parcial))\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _ {0}{\frac {\parcial ^{2}\mathbf {E} }{\parcial t^{2))}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right) &=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\parcial \mathbf {E} }{\parcial t))\right)=\mu _{0}\ varepsilon _{0}{\frac {\parcial}}{\parcial t))\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu_{0}\varepsilon_{0}{\frac {\parcial ^{2}\mathbf {B} }{\parcial t^{2}}}\end{alineado}}

Podemos usar la identidad vectorial

\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf { V}

donde V es cualquier función vectorial del espacio. Y

\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)

donde ∇ V es una díada que, al trabajar con el operador de divergencia ∇ ⋅ , da un vector. Porque el

{\begin{alineado}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{alineado))

el primer término a la derecha en la identidad desaparece y obtenemos las ecuaciones de onda:

{\begin{alineado}{\frac {1}{c_{0}^{2))}{\frac {\parcial ^{2}\mathbf {E} }{\parcial t^{2} }}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}\mathbf {B } }{\t parcial^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{alineado}}

dónde

c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu_{0}\varepsilon_{0})))=2,99792458\times 10^{8}\;{\text{m/ Con}}

es la velocidad de la luz en el espacio libre.

Forma covariante de la ecuación de onda homogénea

Estas ecuaciones relativistas se pueden escribir en forma contravariante como

{\displaystyle\Box A^{\mu}=0}

donde el cuadripotencial electromagnético es

A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c)),\mathbf {A} \right)

con la condición de calibre de Lorentz:

{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0,}

y donde

\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}

es el operador de d'Alembert .

Ecuación de onda homogénea en espacio-tiempo curvo

La ecuación de ondas electromagnéticas se modifica de dos formas, se reemplaza la derivada por una derivada covariante y aparece un nuevo término, que depende de la curvatura.

-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0

donde es el tensor de Ricci y el punto y coma indica diferenciación covariante. ${R^{\alpha }}_{\beta }$

Se permite generalizar la condición de calibración de Lorentz en espacio-tiempo curvo:

{A^{\mu }}_{;\mu }=0.

Ecuación de ondas electromagnéticas no homogéneas

Las densidades de carga y corriente variables en el tiempo localizadas pueden actuar como fuentes de ondas electromagnéticas en el vacío. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como una ecuación de onda con fuentes. Agregar fuentes a las ecuaciones de onda hace que las ecuaciones diferenciales parciales no sean homogéneas

Soluciones de la ecuación de ondas electromagnéticas homogéneas

La solución general de la ecuación de ondas electromagnéticas es una superposición lineal de ondas en la forma

{\begin{alineado}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=g(\phi (\mathbf {r},t))=g(\omega t-\mathbf {k } \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{alineado}}

para casi cualquier función g bien controlada de un argumento adimensional φ , donde ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo) y k = ( k x , k y , k z ) es el vector de onda (en radianes por metro).

Si bien la función g puede ser, ya menudo lo es, una onda sinusoidal monocromática , no es necesario que sea sinusoidal o incluso periódica. En la práctica, g no puede tener una periodicidad infinita, porque cualquier onda electromagnética real siempre tiene una extensión finita en el tiempo y el espacio. Como resultado, con base en la teoría de la expansión de Fourier , una onda real debe consistir en una superposición de un conjunto infinito de frecuencias sinusoidales.

Además, para que la solución sea correcta, no es necesario que el vector de onda y la frecuencia angular sean independientes; deben obedecer la relación de dispersión :

{\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda ))

donde k es el número de onda y λ es la longitud de onda . La variable c solo puede usarse en esta ecuación cuando la onda electromagnética está en el vacío.

Monocromático, estado estacionario sinusoidal

El conjunto más simple de soluciones a la ecuación de onda se deriva de la suposición de formas de onda sinusoidales de la misma frecuencia en forma separable:

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\))

dónde

i - unidad imaginaria ,
ω = 2 π f es la frecuencia angular en radianes por segundo,
f es la frecuencia en Hz , y
$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ - Fórmula de Euler .

Soluciones de ondas planas

Considere un plano definido por un vector unitario normal

\mathbf {n} ={\mathbf {k} \sobre k}.

Entonces, las soluciones de las ecuaciones de onda para ondas viajeras planas tienen la forma

{\begin{alineado}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E}_{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{alineado}}

donde r = ( x , y , z ) es un vector de posición (en metros).

Estas soluciones son ondas planas que se mueven en la dirección del vector normal n . Si definimos la dirección z como la dirección n y la dirección x como la dirección E , entonces, según la ley de Faraday, el campo magnético se encuentra en la dirección y y está relacionado con el campo eléctrico por

c^{2}{\parcial B \sobre \parcial z}={\parcial E \sobre \parcial t}.

Dado que la divergencia de los campos eléctrico y magnético es cero, no hay campos en la dirección de propagación.

Esta solución es una solución polarizada linealmente de las ecuaciones de onda. También hay soluciones polarizadas circularmente en las que los campos giran alrededor de un vector normal.

Descomposición espectral

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell en el vacío, sus soluciones se pueden expandir en una superposición de sinusoides . Esta es la base del método de la transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales. La solución sinusoidal de la ecuación de ondas electromagnéticas tiene la forma

{\begin{alineado}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E}_{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{alineado}}

dónde

t - tiempo (por segundo),
ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo),
k = ( k x , k y , k z ) es el vector de onda (en radianes por metro), y
${\ estilo de visualización \ phi _ {0}}$ es el ángulo de fase (en radianes).

El vector de onda está relacionado con la frecuencia angular de la siguiente manera

{\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda ))

donde k es el número de onda y λ es la longitud de onda .

El espectro electromagnético es un gráfico de la magnitud de un campo (o energía) frente a la longitud de onda.

Expansión multipolar

Si asumimos que los campos monocromáticos cambian con el tiempo de acuerdo con la ley , entonces usando las ecuaciones de Maxwell para eliminar B , la ecuación de ondas electromagnéticas se reduce a la ecuación de Helmholtz para E : ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k))\nabla \times \mathbf {E},

con k = ω / c como arriba. Alternativamente, se puede eliminar E a favor de B para obtener:

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k))\nabla \times \mathbf {B} .

El campo electromagnético total con frecuencia ω se puede escribir como la suma de las soluciones de estas dos ecuaciones. Las soluciones tridimensionales de la ecuación de Helmholtz se pueden expresar como una expansión en funciones esféricas con coeficientes proporcionales a las funciones esféricas de Bessel . Sin embargo, aplicar esta expansión a cada componente del vector E o B dará soluciones que, en general, no están libres de divergencias ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ) y, por lo tanto, requieren restricciones adicionales en los coeficientes.

La expansión multipolar soluciona esta dificultad al descomponer no E o B , sino r ⋅ E o r ⋅ B en funciones esféricas. Estas expansiones aún resuelven las ecuaciones originales de Helmholtz para E y B porque para un campo libre de divergencia F , ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ 2 F ) . Las expresiones resultantes para el campo electromagnético general tienen la forma:

{\begin{alineado}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{ E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E}_{l,m}^{(M) }\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}( l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B}_{l,m}^{(M)}\right ]\,,\end{alineado}}

donde y son campos multipolares eléctricos de orden (l, m) , y son los campos multipolares magnéticos correspondientes , y a E ( l , m ) ya M ( l , m ) son coeficientes de expansión. Los campos multipolares se dan como ${\displaystyle \mathbf {E}_{l,m}^{(E)))$ ${\displaystyle \mathbf {B}_{l,m}^{(E)))$ ${\displaystyle \mathbf {E}_{l,m}^{(M)))$ ${\displaystyle \mathbf {B}_{l,m}^{(M)))$

{\begin{alineado}\mathbf {B}_{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B}_{l,m }^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l, m}^{(M)}\,,\end{alineado}}

donde h l (1,2) ( x ) son funciones esféricas de Hankel , E l (1,2) y B l (1,2) están determinadas por las condiciones de contorno, y

\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)))}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l, metro}

son armónicos esféricos vectoriales normalizados de tal manera que

\int \mathbf {\Phi }_{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi }_{l',m'}d\Omega =\delta_{l,l'} \delta _{m,m'}.

La expansión multipolar de un campo electromagnético encuentra aplicación en una serie de problemas relacionados con la simetría esférica, como los problemas de patrón de antena o la radiación gamma nuclear . A menudo, en tales aplicaciones, la potencia radiada en el campo lejano es de interés. En estas regiones del campo EyB enfoque asintóticamente

{\begin{alineado}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i) ^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\sombrero {r)) \ veces \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r)) .\end{alineado))

La distribución angular de la potencia radiada promediada en el tiempo es la siguiente:

{\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+ 1 }\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r)) +a_{M}(l,m)\mathbf { \ Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.

Véase también

Teoría y experimentos

ecuaciones de maxwell
ecuación de onda
Ecuación diferencial parcial
Electromagnetismo computacional
Radiación electromagnética
La ley de conservación de la carga eléctrica.
Luz
espectro electromagnético
Óptica

Teoría especial de la relatividad
Teoría general de la relatividad
Ecuación de ondas electromagnéticas no homogéneas
Polarización de fotones
fórmula de larmor
Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger

Aplicaciones

Biografías

Notas

^ La práctica actual es usar c 0 para denotar la velocidad de la luz en el vacío, según ISO 31 . La recomendación original de 1983 usaba el carácter c para este propósito , consulte la Publicación especial 330 del NIST , Suplemento 2, página 45 para obtener detalles. Archivado el 3 de junio de 2016.
↑ James Maxwell. Una teoría dinámica del campo electromagnético . - 1864. - S. 497 . Archivado desde el original el 28 de julio de 2011.
↑ James Maxwell. Una teoría dinámica del campo electromagnético . - 1864. - S. 499 . Archivado desde el original el 28 de julio de 2011.

Literatura

Electromagnetismo

Artículos de revistas

Maxwell, James Clerk (1865). “Una teoría dinámica del campo electromagnético”. Transacciones filosóficas de la Royal Society of London (155): 459-512.

Libros de texto para estudiantes universitarios

Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.) . - Prentice Hall, 1998. - ISBN 0-13-805326-X .
Tipler, Pablo. Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5.ª ed.). - WH Freeman, 2004. - ISBN 0-7167-0810-8 .
Purcell, Edward M. Electricidad y magnetismo. - McGraw-Hill, 1985. - ISBN 0-07-004908-4 .
Haus, Hermann A. Campos electromagnéticos y energía / Hermann A. Haus, James R. Melcher. - Prentice-Hall, 1989. - ISBN 0-13-249020-X .
Hoffman, Banesh. La relatividad y sus raíces. - Freeman, 1983. - ISBN 0-7167-1478-7 .
Staelin, David H. Ondas electromagnéticas / David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, Jin Au Kong. - Prentice-Hall, 1994. - ISBN 0-13-225871-4 .
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Zahn, Markus. Teoría del campo electromagnético: un enfoque de resolución de problemas. - John Wiley & Sons, 1979. - ISBN 0-471-02198-9 .

Libros de texto de posgrado

Jackson, John D. Electrodinámica clásica (3ª ed.). - Wiley, 1998. - ISBN 0-471-30932-X .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoría de campos. - M. , 2016 . - ("Física Teórica", Tomo II).
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Misner, Charles W. Gravitación / Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler. - WH Freeman, 1970. - ISBN 0-7167-0344-0 .

Análisis vectorial

Matthews, PC Cálculo vectorial. - Springer, 1998. - ISBN 3-540-76180-2 .
Schey, HM Div Grad Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial, 4ª edición. - W. W. Norton & Company, 2005. - ISBN 0-393-92516-1 .