Truncamiento (geometría)

El cuadrado truncado es un octágono regular: t{4} = {8} =

Cubo truncado t{4,3} o

Panal cúbico truncado t{4,3,4} o

El truncamiento  es una operación en el espacio de cualquier dimensión, que corta los vértices de un poliedro y en la que se forman nuevas caras en lugar de los vértices. El término se origina de los nombres de los sólidos de Arquímedes dados por Kepler .

Recorte uniforme

En general, cualquier politopo se puede truncar con cierto grado de libertad al elegir la profundidad del truncamiento, como se muestra en el artículo Notación de Conway para politopos .

Un tipo de truncamiento comúnmente utilizado es el truncamiento uniforme , en el que la operación de truncamiento se aplica a un poliedro regular y da como resultado un poliedro uniforme con longitudes de borde iguales. En este caso, no hay libertad de elección, y como resultado obtenemos cuerpos geométricos bien definidos, similares a poliedros regulares.

En el caso general, todos los poliedros uniformes con un nodo delineado (en el diagrama de Coxeter-Dynkin) tienen un truncamiento uniforme. Por ejemplo, el icosidodecaedro , representado por los símbolos de Schläfli r{5,3} o y que tiene los diagramas de Coxeter-Dynkin o, tiene un truncamiento uniforme: un icosidodecaedro rómbico truncado con notaciones tr{5,3} o ,. En el diagrama de Coxeter-Dynkin, el efecto de truncamiento se manifiesta en el hecho de que los círculos aparecen en todos los nodos adyacentes al círculo.

Truncamiento de polígonos

Un polígono truncado de n lados tendrá 2n lados. Un polígono regular uniformemente truncado se convierte en otro polígono regular: t{n} = {2n}. El truncamiento completo , r{3}, es otro polígono regular, dual a el original.

Los polígonos regulares también se pueden representar mediante el diagrama de Coxeter-Dynkin ,, y su truncamiento uniforme tendrá un diagrama, y su truncamiento completo es un diagrama. Graficorepresenta un grupo de Coxeter I 2 (n), en el que cada nodo es un espejo, y cada borde representa un ángulo π/ n entre los espejos, mientras que los círculos alrededor de uno o dos espejos indican cuál de ellos está activo.

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Los polígonos de estrella también se pueden truncar. El pentagrama truncado {5/2} parecerá un pentágono , pero en realidad es un decágono doblemente cubierto (degenerado) ({10/2}) con dos conjuntos de vértices y lados superpuestos. Un heptagrama grande truncado (estrella heptagonal) {7/3} da una estrella de catorce puntas {14/3}.

Truncamiento uniforme de politopos regulares y teselaciones

Cuando se trata de truncamiento de poliedros regulares o mosaicos de polígonos regulares , generalmente se usa "truncamiento uniforme", lo que implica truncamiento hasta el punto en que las caras originales se convierten en polígonos regulares con el doble de lados.

La secuencia de la figura muestra un ejemplo de truncamiento de un cubo, que muestra cuatro pasos desde un proceso de truncamiento continuo desde un cubo completo hasta un cubo truncado completo . El cuerpo final es un cuboctaedro .

La imagen del medio es un cubo truncado uniforme . Está representado por el símbolo de Schläfli t { p , q ,…}.

El truncamiento profundo  es un truncamiento más fuerte que elimina todos los bordes originales, pero deja el interior de las caras originales. Por ejemplo,octaedro truncadoes un cubo profundamente truncado: 2t{4,3}.

El truncamiento completo y profundo se llama birectificación y reduce las caras originales a puntos. En este caso, el poliedro se convierte en un poliedro dual . Por ejemplo, el octaedro es un truncamiento profundo completo del cubo : {3,4} = 2r{4,3}.

Otro tipo de truncamiento es el truncamiento completo , que corta los bordes y los vértices, lo que da como resultado rectángulos en lugar de bordes.

Los poliedros en dimensiones superiores tienen otros niveles de truncamiento: clasificación , en la que se cortan las caras, las aristas y los vértices. En dimensiones superiores a 5 existe una esterificación , que recorta caras, aristas y vértices, así como caras tridimensionales.

Truncamiento de bordes

El truncamiento de bordes  es el achaflanado de un poliedro, como en el caso del truncamiento completo, pero los vértices permanecen y los bordes se reemplazan por hexágonos. En un poliedro de 4 dimensiones, los bordes se reemplazan por bipirámides alargadas .

Alternancias o truncamientos parciales

La alternancia o el truncamiento parcial elimina solo algunos de los vértices originales.

Con truncamiento parcial o alternancia , la mitad de los vértices y los bordes se eliminan por completo. La operación es aplicable a poliedros cuyas caras tienen un número par de lados. Las caras reducen el número de lados a la mitad y las caras cuadradas superan los bordes. Por ejemplo, el tetraedro es una alternancia del cubo, h{4,3}.

Derogación  : un término más general utilizado para los poliedros de Johnson , implica la eliminación de uno o más vértices, aristas o caras sin afectar los vértices restantes. Por ejemplo, un icosaedro tridisminuido se obtiene de un icosaedro regular quitando tres vértices.

Otros truncamientos parciales se basan en la simetría. Por ejemplo, el dodecaedro tetraédricamente reducido .

Truncamientos generalizados

El proceso de truncamiento lineal se puede generalizar al permitir que el parámetro de truncamiento sea negativo o al permitir que pase por el punto medio de un borde, lo que da como resultado poliedros en estrella que se cortan a sí mismos. Dichos poliedros se pueden relacionar con algunos polígonos regulares en estrella y poliedros uniformes en estrella .

• Pequeño truncamiento  : los bordes se reducen en tamaño, las caras duplican el número de lados, se forman nuevas caras en lugar de los vértices anteriores.
• El truncamiento uniforme  es un caso especial en el que todos los bordes resultantes tienen la misma longitud. En el cubo truncado , t{4,3}, las caras cuadradas se convierten en octógonos y se forman triángulos en lugar de vértices.
• El antitruncamiento es lo contrario del truncamiento superficial . El resultado es un poliedro que es similar al original, pero tiene partes que cuelgan en las esquinas en lugar de cortarlas.
• Truncamiento completo  : limita el truncamiento superficial, donde los bordes se reducen a puntos. Un ejemplo es el Cuboctaedro , r{4,3}.
• El hipertruncamiento es un tipo de truncamiento que va más allá del truncamiento completo al invertir los bordes originales, lo que da como resultado autointersecciones.
• El cuasi -truncamiento es un tipo de truncamiento que va más allá del hipertruncamiento, donde los bordes invertidos se vuelven más largos que los originales. Este truncamiento se puede obtener del poliedro original retirando las caras de las aristas, es decir, moviéndose en dirección opuesta al vértice. Por ejemplo, el cuasi-truncamiento de un cuadrado da un octagrama regular (t{4,3}={8/3}), y el cuasi-truncamiento de un cubo da un hexaedro truncado estrellado uniforme , t{4/3 ,3}.

Véase también

• poliedro uniforme
• Poliedro uniforme de cuatro dimensiones
• Doble truncamiento (geometría)
• truncamiento completo
• Alternancia (geometría)
• Notación de Conway para poliedros

Notas

Literatura

• HS M Coxeter . Capítulo 8: Trancación //Politopos regulares . — 3ra edición. - Nueva York: Dover Publications Inc, 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Politopos uniformes. Manuscrito, 1991.
• Norman Johnson . La teoría de politopos uniformes y panales. — Universidad de Toronto: Ph.D. disertación, 1966.

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Truncation  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
• Glosario de Hiperespacio
• Nombres de poliedros, truncamiento

La Fundación	truncamiento	truncamiento completo	Truncamiento profundo	Dualidad _	extensión	Truncamiento	alternancia
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p,q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p, q} rr{p, q}	t 012 {p, q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p, q} sr{p, q}