Chaflán (geometría)

El biselado o corte de aristas en geometría es una operación topológica que transforma un poliedro en otro poliedro. La operación es similar a estirar , que aleja los bordes del centro. Para poliedros 3D, la operación de chaflán agrega una nueva cara hexagonal en lugar de cada borde original.

En la notación de Conway , la operación se representa con la letra c . Un poliedro con aristas e tendrá 2 e nuevos vértices, 3 e nuevas aristas y e nuevas caras hexagonales después de la operación de chaflán .

Poliedro regular achaflanado

Las siguientes secciones describen en detalle los cinco poliedros regulares biselados . Cada uno se muestra en una versión con bordes de la misma longitud y en una versión canónica en la que todos los bordes tocan la misma esfera semi-inscrita . (Se ven notablemente diferentes para los cuerpos que contienen caras triangulares). Los politopos duales que se muestran son los duales de las versiones canónicas.

original
{3,3}
{4,3}
{3,4}
{5,3}
{3,5}
biselado

Tetraedro biselado

tetraedro biselado

(con longitudes de borde iguales)
notación de Conway Connecticut
poliedro de Goldberg GP III (2.0) = {3+,3} 2.0
caras 4 triángulos
6 hexágonos
costillas 24 (2 tipos)
picos 16 (2 tipos)
Configuración de vértice (12) 3.6.6
(4) 6.6.6
Grupos de simetría Tetraédrico ( T d )
Poliedro dual triakisoctaedro alterno
Propiedades convexas , las caras son equiláteras

escanear

Un tetraedro achaflanado (o cubo truncado alterno ) es un poliedro convexo construido como un cubo alterno o como una operación de chaflán en un tetraedro, reemplazando sus 6 aristas con hexágonos.

El politopo es un politopo Goldberg G III (2,0) que contiene caras triangulares y hexagonales.

Chaflanes tetraédricos y cuerpos asociados

tetraedro biselado (canónico)
dual para tetratetraedro (octaedro)
tetraedro biselado (canónico)

triakisoctaedro alterno
octaedro
triakisoctaedro alterno

Cubo biselado

cubo biselado

(con lados de igual longitud)
notación de Conway cC = t4daC
poliedro de Goldberg GP IV (2.0) = {4+.3} 2.0
picos 6 cuadrados
12 hexágonos
costillas 48 (2 tipos)
picos 32 (2 tipos)
Configuración de vértice (24) 4.6.6
(8) 6.6.6
Simetría O h , [4,3], (*432)
T h , [4,3+], (3*2)
Poliedro dual Tetrakiscubooctaedro
Propiedades convexo , zonoedro , caras equiláteras

escanear

Un cubo biselado es un poliedro convexo con 32 vértices, 48 ​​aristas y 18 caras, 12 hexágonos y 8 cuadrados. Un poliedro se construye como achaflanar un cubo . Los cuadrados se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el tetrakiscubooctahedron .

El poliedro no se llama exactamente dodecaedro rómbico truncado , aunque este nombre sugiere un rombicuboctaedro . Es más correcto llamarlo dodecaedro rómbico truncado en cuatro , ya que sólo se truncan los vértices de orden 4.

Las caras hexagonales son equiláteras pero no regulares . Están formados por rombos truncados, tienen 2 ángulos internos de unos 109,47° (= ) y 4 ángulos internos de 125,26°, mientras que un hexágono regular tiene todos sus ángulos de 120°.

Dado que todas las caras de un poliedro tienen un número par de lados con una simetría rotacional de 180°, el poliedro es un zonoedro . También es un poliedro de Goldberg GP IV (2,0) o {4+,3} 2,0 que contiene caras cuadradas y hexagonales.

Un cubo achaflanado es la suma de un dodecaedro rómbico de Minkowski y un cubo con lado de longitud 1, cuando ocho vértices del dodecaedro rómbico se encuentran en puntos y seis vértices son permutaciones de .

Cubo biselado y cuerpos relacionados

Cubo biselado (canónico)
dodecaedro rómbico
Octaedro con chaflán

Tetrakiscubooctaedro
cuboctaedro
triakicubooctaedro

Octaedro biselado

Octaedro con chaflán

(con lados de igual longitud)
notación de Conway cO = t3daO
caras 8 triángulos
12 hexágonos
costillas 48 (2 tipos)
picos 30 (2 tipos)
Configuración de vértice (24) 3.6.6
(6) 6.6.6
Simetría Oh [ , [4,3], (*432)
Poliedro dual triakiscubooctaedro
Propiedades convexo

En geometría , un octaedro achaflanado es un poliedro convexo construido a partir de un dodecaedro rómbico al truncar 8 vértices (de orden 3).

El poliedro puede llamarse dodecaedro rómbico truncado , un truncamiento de aproximadamente 3 vértices del dodecaedro rómbico .

Los 8 vértices se truncan para que todas las aristas tengan la misma longitud. Las 12 caras rómbicas originales se convierten en hexágonos planos y los vértices truncados se convierten en triángulos.

Las caras hexagonales tienen lados iguales , pero las caras no son regulares .

Dodecaedro biselado

Dodecaedro con chaflán

(con lados de igual longitud)
notación de Conway cD =t5daD=dk5aD
poliedro de Goldberg GV ( 2.0 ) = {5+,3} 2.0
fullereno 80 [ 1]
picos 12 pentágonos
30 hexágonos
costillas 120 (2 tipos)
picos 80 (2 tipos)
Configuración de vértice (60) 5.6.6
(20) 6.6.6
Grupos de simetría Icosaédrico ( I h )
Poliedro dual pentaquisicosidodecaedro
Propiedades convexas , las caras son equiláteras

El dodecaedro achaflanado es un poliedro convexo con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras - 30 hexágonos y 12 pentágonos. Un poliedro se construye achaflanando un dodecaedro regular . Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. El poliedro es dual al pentaquisicosidodecaedro .

El poliedro no se llama correctamente triacontaedro rómbico truncado . Sería más correcto llamarlo rombotriacontaedro truncado en cinco , ya que solo se truncan los vértices de orden 5.

Dodecaedro biselado y sólidos relacionados

dodecaedro biselado (canónico)
triacontaedro rómbico
icosidodecaedro achaflanado (canónico)

pentaquisicosidodecaedro
icosidodecaedro
triakis icosidodecaedro

Icosaedro biselado

Icosidodecaedro achaflanado

(con lados de igual longitud)
notación de Conway cI = t3daI
caras 20 triángulos
30 hexágonos
costillas 120 (2 tipos)
picos 72 (2 tipos)
Configuración de vértice (24) 3.6.6
(12) 6.6.6
Simetría Yo h , [5,3], (*532)
Poliedro dual triakis icosidodecaedro
Propiedades convexo

En geometría , un icosaedro achaflanado es un poliedro convexo construido a partir de un triacontaedro rómbico al truncar 20 vértices de orden 3. Las caras hexagonales pueden hacerse equiláteras , pero no serán regulares .

Un poliedro también puede llamarse triacontaedro rómbico truncado , un truncamiento de los vértices de un triacontaedro rómbico de orden 3.


Embaldosados ​​biselados regulares

Mosaicos regulares con chaflán

Mosaico cuadrado , Q
{4,4}
Mosaico triangular , Δ
{3,6}
Parqué hexagonal , H
{6,3}
cQ cΔ CH


Conexión con los poliedros de Goldberg

La operación de chaflanado, aplicada múltiple, crea un poliedro con un número creciente de caras, en el que las aristas del poliedro anterior se sustituyen por hexágonos. La operación de biselado transforma GP(m,n) en GP(2m,2n).

Un politopo regular GP(1,0) crea una secuencia de politopos de Goldberg GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16, 0). ..

médico general(1,0) médico general(2,0) médico de cabecera (4.0) médico general(8,0) PG(16,0)...
GP IV
{4+,3}
C
cc
CC
cccc
GP V
{5+,3}
D
CD
CCD
CCD
ccccD
GP VI
{6+,3}
H
CH
CCH
cccH
ccccH

Octaedro truncado o icosaedro truncado , GP(1,1) produce la secuencia de Goldberg GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

médico general(1,1) médico de cabecera(2,2) PG(4,4)...
GP IV
{4+,3}
a
ctO
cctO
GP V
{5+,3}
yo
ctI
cctI
GP VI
{6+,3}
el
ctH
cctH

El tetraquishexaedro o pentaquisdodecaedro truncado , GP(3,0), produce la secuencia de Goldberg GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

médico general(3,0) médico de cabecera (6,0) PG(12,0)...
GP IV
{4+,3}
tkc
ctkC 		cctkc
GP V
{5+,3}
tkD
ctkD 		cctkD
GP VI
{6+,3}
tkH
ctkH 		cctkH

Poliedros y panales biselados

Al igual que la operación de expansión, la operación de chaflán se puede aplicar en cualquier dimensión. Para poliedros en el espacio 3D, la operación triplica el número de vértices. En dimensiones más altas, se crean nuevas celdas alrededor de cada borde, siendo las celdas prismas que contienen dos copias de la cara original con pirámides añadidas a los lados del prisma.


Véase también

Notas

  1. ↑ Isómeros C80 (enlace inaccesible) . Consultado el 4 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 12 de agosto de 2014. 

Literatura


Enlaces