Secuencia fundamental

Una sucesión fundamental , o una sucesión autoconvergente , o una sucesión de Cauchy  es una sucesión de puntos en un espacio métrico tal que para cualquier distancia dada distinta de cero hay un elemento de la sucesión, a partir del cual todos los elementos de la sucesión son menos de una distancia dada entre sí.

Definición

Una secuencia de puntos en un espacio métrico se llama fundamental si satisface el criterio de Cauchy :

Definiciones relacionadas

• Un espacio métrico en el que toda secuencia fundamental converge a un elemento del mismo espacio se llama completo .

Propiedades

• Toda sucesión convergente es fundamental, pero no toda sucesión fundamental converge a un elemento de su espacio.
• Un espacio métrico es completo si y solo si cualquier sistema de bolas cerradas anidadas con un radio infinitamente decreciente tiene una intersección no vacía que consta de un punto.
• Si una secuencia es fundamental y contiene una subsecuencia convergente, entonces la secuencia misma converge.
• Si una sucesión es fundamental, entonces está acotada.

Literatura

• Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, - M . : Nauka, 2004. - 7ª ed.
• Shilov G. E. Análisis matemático. Funciones de una variable. Parte 3, - M. : Nauka, 1970.