Números poligonales centrados

Los números poligonales centrados son una clase de números figurativos aplanados ( ) obtenidos por la siguiente construcción geométrica. Primero, se fija un cierto punto central en el plano. Luego se construye un -gon regular a su alrededor con puntos de vértices, cada lado contiene dos puntos (ver figura). Además, se construyen nuevas capas -gons en el exterior, y cada uno de sus lados en la nueva capa contiene un punto más que en la capa anterior, es decir, a partir de la segunda capa, cada capa siguiente contiene más puntos que la anterior. El número total de puntos dentro de cada capa y se toma como un número poligonal centrado (el punto en el centro se considera la capa inicial) [1] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$ $k$

Ejemplos de números poligonales centrados en la construcción:

triangular	Cuadrado	Pentagonal	Hexagonal

De la construcción se puede ver que los números poligonales centrados se obtienen como sumas parciales de las siguientes series: (por ejemplo, números cuadrados centrados, para los cuales forman una secuencia: ) Esta serie se puede escribir como , de donde se puede ver que entre paréntesis es una serie generadora de números triangulares clásicos . Por lo tanto, cada secuencia de números -gonales centrados, a partir del segundo elemento, se puede representar como donde es una secuencia de números triangulares. Por ejemplo, los números cuadrados centrados son números triangulares cuádruples más 1, la serie generadora para ellos es: [2] ${\ estilo de visualización 1+k+2k+3k+4k+\puntos}$ ${\ estilo de visualización k = 4,}$ $1,5,13,25,41\puntos$ $1+k(1+2+3+4+\puntos).$ $k$ $kT_{n}+1,$ $T_{n}(n=1,2,3\puntos)$ ${\ estilo de visualización 1+4+8+12\puntos}$

La fórmula general [2] para el número de carbón centrado en -ésimo es : $norte$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,2,3\puntos

(OCF)

Tabla dinámica

Número de esquinas k	tipo de número	inicio de secuencia	Enlace a OEIS
3	Números triangulares centrados	1, 4, 10, 19, 31, …	A005448
cuatro	Números cuadrados centrados	1, 5, 13, 25, 41, …	A001844
5	números pentagonales centrados	1, 6, 16, 31, 51, …	A005891
6	Números hexagonales centrados	1, 7, 19, 37, 61, …	A003215
7	Números heptagonales centrados	1, 8, 22, 43, 71, …	A069099
ocho	Números octagonales centrados	1, 9, 25, 49, 81, …	A016754
9	Números Nineagonales Centrados	1, 10, 28, 55, 91, …	A060544
diez	Números decagonales centrados	1, 11, 31, 61, 101, …	A062786

y así.

Notas

↑ Deza E., Deza M., 2016 , pág. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , pág. 40-41.

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas: Aritmética. Álgebra. geometría _ - M. : Educación, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela . - M. : Educación, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Número poligonal centrado en Wolfram MathWorld .
números rizados

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado