Categoría abeliana

Una categoría abeliana  es una categoría en la que se pueden agregar morfismos, y los núcleos y conúcleos existen y tienen ciertas propiedades convenientes. Un ejemplo que se convirtió en el prototipo de la categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos . La teoría de la categoría abeliana fue desarrollada por Alexander Grothendieck para combinar varias teorías de cohomología. La clase de categorías abelianas se cierra bajo varias construcciones categóricas; por ejemplo, la categoría de cadenas complejas con elementos de una categoría abeliana y la categoría de funtores de una categoría pequeña en una categoría abeliana también son abelianas.

Definición

Una categoría preaditiva es abeliana si:

• hay un objeto nulo en él ,
• todos los productos y coproductos binarios existen ,
• todos los núcleos y conúcleos existen,
• todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

Esta definición es equivalente [1] a la siguiente definición "por partes": una categoría preaditiva es abeliana si es aditiva , todos los núcleos y conúcleos existen en ella, y todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

Es importante que la presencia de la estructura de grupos abelianos sobre conjuntos de morfismos sea consecuencia de cuatro propiedades de la primera definición. Esto enfatiza el papel fundamental de la categoría de grupos abelianos en esta teoría.

Ejemplos

• La categoría de los grupos abelianos es Abelian. La categoría de grupos abelianos finitamente generados también es abeliana, como lo es la categoría de grupos abelianos finitos.
• Si  es un anillo , entonces la categoría de los módulos izquierdos (o derechos) es Abelian . Según el teorema de incrustación de Freud-Mitchell, cualquier categoría abeliana es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de módulos.
• Si es un  anillo noetheriano izquierdo, entonces la categoría de módulos izquierdos generados finitamente es abeliano. En particular, la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo noetheriano es abeliana.
• Si  es un espacio topológico , entonces la categoría de haces de grupos abelianos es abeliana.

Axiomas de Grothendieck

En Sur quelques points d'algèbre homologique [2] , Grothendieck propuso varios axiomas adicionales que pueden sostenerse en la categoría abeliana .

• AB3) Para cualquier conjunto de objetos de la categoría , existe un coproducto . Este axioma es equivalente a la completitud de una categoría abeliana [3] .
• AB4) satisface el Axioma AB3) y el coproducto de cualquier familia de monomorfismos es un monomorfismo (es decir, el coproducto es un funtor exacto ).
• AB5) satisface el Axioma AB3) y los colímites filtrados sucesiones exactas son exactos. De manera equivalente, para cualquier retícula de subobjetos de un objeto y cualquier retícula de subobjetos de un objeto , es cierto que

Los axiomas AB3*), AB4*) y AB5*) se obtienen a partir de los axiomas anteriores como duales (es decir, reemplazando colimits por limites ). Los axiomas AB1) y AB2) son axiomas estándar que se cumplen en cualquier categoría abeliana (más precisamente, una categoría abeliana se define como una categoría aditiva que satisface estos axiomas):

• AB1) Todo morfismo tiene un núcleo y un conúcleo.
• AB2) Para cualquier morfismo , el morfismo canónico de a es un isomorfismo. (Aquí ).

Grothendieck también formula los axiomas más fuertes AB6) y AB6*), pero no los usa en este trabajo.

Historia

La noción de una categoría abeliana fue propuesta por Buxbaum en 1955 (usó el nombre de "categoría exacta") y por Grothendieck en 1957 . En ese momento, existía una teoría de cohomología de haces sobre variedades algebraicas y una teoría de cohomología de grupos. Estas teorías se definieron de manera diferente, pero tenían propiedades similares. Grothendieck logró combinar estas teorías; ambos pueden definirse mediante funtores derivados en la categoría abeliana de poleas y la categoría abeliana de módulos, respectivamente.

Notas

1. ↑ Fred, 1964 .
2. ↑ Grothendieck, 1957 .
3. ↑ Weibel, 1994 , págs. 426-428.

Literatura

• DA Buchsbaum. Categorías exactas y dualidad // Transacciones de la American Mathematical Society . - 1955. - T. 80 , N º 1 . — P. 1–34 . — ISSN 0002-9947 . -doi : 10.1090 / S0002-9947-1955-0074407-6 . — .
• Pedro Freyd. Categorías abelianas . - N.Y. : Harper and Row, 1964.
• A. Grothendieck. Sur quelques points d'algebre homologique  // The Tohoku Mathematical Journal. segunda serie. - 1957. - T. 9 . — S. 119–221 . — ISSN 0040-8735 .
• Charles A. Weibel. Introducción al Álgebra Homológica. — Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994.