Valor absoluto

El valor absoluto , o módulo , de un número (en matemáticas ) es un número no negativo que, informalmente hablando , denota la distancia entre el origen y . Designado: $X$ $X$ ${\ estilo de visualización | x |.}$

En el caso de un valor real , el valor absoluto es una función lineal continua por partes definida de la siguiente manera: $X$

|x|={\begin{casos}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{casos))

Una generalización de este concepto es el módulo , o el valor absoluto [1] , de un número complejo. Este número se determina mediante la fórmula: ${\ estilo de visualización z = x + iy.}$

|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Propiedades básicas

Desde un punto de vista geométrico, el módulo de un número real o complejo es la distancia entre el número y el origen. En matemáticas, se usa mucho el hecho de que, geométricamente, una cantidad significa la distancia entre puntos y , y por lo tanto puede usarse como una medida de la proximidad de una cantidad (real o compleja) a otra, por ejemplo, para determinar el Cauchy . límite o mediana [2] . ${\ estilo de visualización |x_{1}-x_{2}|}$ $x_{1}$ $x_{2}$

Números reales

Alcance : $(-\infty;+\infty).$
Rango : $[0;+\infty ).$
La función es par .
La función es diferenciable en todas partes excepto cero. En un punto , la función sufre una torcedura . $x=0$

Números complejos

Dominio de definición: todo el plano complejo .
Rango de valores: $[0;+\infty ).$
El módulo como función compleja no es diferenciable en ningún punto, ya que no se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann .

Propiedades algebraicas

Para cualquier número real , se cumplen las siguientes relaciones: ${\ estilo de visualización a, b}$

$\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$ ( sgn es la función de signo);
$a\leqslant |a|;$
$-|a|\leqslant a;$
el cuadrado del módulo de un número es igual al cuadrado de ese número: ${\ estilo de visualización |a|^{2}=a^{2}.}$

Tanto para las relaciones reales como para las complejas , se dan las siguientes relaciones: ${\ estilo de visualización a, b}$

el módulo de cualquier número es igual o mayor que cero: , y si y solo si $|un| \geqslant 0$ $|a|=0$ ${\ estilo de visualización a = 0;}$
módulos de números opuestos son iguales: $|{-a}|=|a|;$
el módulo del producto de dos (o más) números es igual al producto de sus módulos: $|ab|=|a||b|;$
- en particular, se puede sacar un factor positivo constante del signo del módulo: $|ab|=a|b|,\quad a>0;$
el módulo del cociente de la división de dos números es igual al cociente de la división del módulo de estos dos números: $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}});$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( desigualdad triangular );
$|ab|\leqslant |a|+|b|;$
$|a|-|b|\leqslant |a+b|;$
$|a\pm b|\geqslant {\grande |}|a|-|b|{\grande |};$
${\ estilo de visualización |a^{k}|=|a|^{k},}$ si existe. $a ^ k$

Historia

Se cree que el término fue propuesto para ser usado por Kots , un estudiante de Newton . Leibniz también usó esta función, a la que llamó módulo y denotó: mol. La notación generalmente aceptada para la magnitud absoluta fue introducida en 1841 por Weierstrass . Para los números complejos, este concepto fue introducido por Cauchy y Argan a principios del siglo XIX.

En lenguajes de programación

Dado que esta función se calcula de manera bastante simple (es decir, mediante comparaciones y asignaciones ), generalmente se incluye en la lista estándar de funciones en todos los lenguajes de programación . Por ejemplo, Pascal tiene la función abs(x), mientras que C tiene fabs(x) para el tipo real . En Wolfram Mathematica: Abs[x].

Generalización

El concepto de valor absoluto se puede introducir en un anillo ordenado arbitrario o en un campo ordenado , y sus propiedades serán similares a las dadas anteriormente.

Una generalización del concepto de módulo puede considerarse la norma de un elemento de un espacio vectorial multidimensional , denotado por . La norma de un vector en el espacio euclidiano a veces también se denomina módulo. Por analogía con el módulo de la diferencia entre números, la norma de la diferencia entre dos vectores es una medida de la proximidad entre ellos. A diferencia del módulo de un número, la norma de un vector se puede definir de varias formas, pero en el caso de un espacio unidimensional, la norma de un vector es proporcional (a menudo igual) al módulo de su única coordenada. $\|x\|$

Véase también

Notas

↑ Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 1.
↑ La definición de la mediana como un número (punto) que minimiza la suma de distancias a un determinado conjunto . (indefinido)

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