Combinatoria aditiva

La combinatoria aditiva (del inglés added - added) es un área interdisciplinaria [1] de las matemáticas que estudia la interdependencia de varias interpretaciones cuantitativas del concepto de estructuración de un subconjunto de un grupo (por regla general, finito), así como como propiedades similares de derivados de un conjunto de estructuras utilizadas en estas interpretaciones. Además, la combinatoria aditiva estudia la estructuración en varios sentidos de algunos conjuntos o clases de conjuntos específicos (por ejemplo, subconjuntos de números primos o subgrupos multiplicativos ).

Así, el principal objeto de estudio son los conjuntos finitos , lo más abstractos posible, a veces limitados únicamente en su tamaño, lo que hace que esta ciencia se asemeje a la combinatoria . Sin embargo, a diferencia de la combinatoria como tal, donde los elementos de los conjuntos se identifican únicamente por su diferencia entre sí y por pertenecer a uno u otro conjunto considerado, en la combinatoria aditiva cada elemento del conjunto tiene un significado claro y aparecen relaciones adicionales entre ellos. , derivados de sus valores y propiedades de la operación del grupo (y, posiblemente, leyes específicas específicas para el grupo dado).

La combinatoria aditiva está estrechamente relacionada con la combinatoria aritmética , donde el tema de estudio es la relación de un subconjunto de un campo (y no solo un grupo, como aquí) con dos operaciones a la vez: suma y multiplicación.

Requisitos previos para el surgimiento de

Teoría de los números aditivos

Los problemas de representar números a través de sumas de elementos de un pequeño número de conjuntos dados han sido considerados por los matemáticos desde la antigüedad. Ejemplos clásicos son los problemas de representabilidad de cualquier número por la suma de cuatro cuadrados ( teorema de la suma de cuatro cuadrados de Lagrange ) o de cualquier número par mayor que tres por la suma de dos primos ( problema de Goldbach ). Si denotamos por el conjunto de todos los cuadrados de números no negativos, entonces, en términos de combinatoria aditiva (consulte la sección de notación a continuación), el teorema de Lagrange se puede escribir como $Q=\left\lbrace {0}\right\rbrace \cup \left\lbrace {n^{2}:n\in {\mathbb {N} }}\right\rbrace$

Q+Q+Q+Q={\mathbb {N} }

En el curso de la resolución de problemas similares, surgieron otros similares, con conjuntos diferentes, pero formulaciones similares. Todo esto formó el campo de las matemáticas llamado teoría de números aditivos .

Sin embargo, la combinatoria aditiva no debe tomarse como una generalización o desarrollo de la teoría de números aditivos ; aunque los problemas de esta última pueden escribirse convenientemente en términos de combinatoria aditiva, sus métodos generales, por regla general, no son aplicables a ellos. La teoría de números siempre considera conjuntos de un tipo especial: números primos, cuadrados, otras potencias, números con un pequeño número de divisores, etc. La combinatoria aditiva trata de comprender la estructura de la suma como tal, para derivar resultados tan generales como sea posible.

No obstante, los primeros resultados que pueden clasificarse como de espíritu aditivo-combinatorio nacieron a principios del siglo XX precisamente como parte de la teoría de números (también llamada teoría de números combinatoria). [1] Tal, por ejemplo, es el método de Shnirelman para resolver el problema de Goldbach (que también fue aplicado por Linnik para el problema de Waring ) - se basa en el teorema de Shnirelman sobre el conjunto de sumas de números de dos conjuntos arbitrarios, de de los cuales solo se conoce su densidad [2] (a continuación se observa que la definición muy específica de densidad según Shnirelman, que se utilizó en este teorema, no arraigó en la combinatoria aditiva como objeto de estudio).

Teoría de Ramsey

La teoría de Ramsey, que surgió en la primera mitad del siglo XX , también analizaba varias ideas sobre la estructuración. Las declaraciones de la teoría de Ramsey se refieren a la presencia de al menos una pequeña "isla" de estructura en objetos bastante complejos (en términos del número de partes elementales). [3]

Sin embargo, la teoría de Ramsey no considera subconjuntos, sino particiones de un conjunto dado (por ejemplo, un conjunto de aristas de un gráfico, números naturales, o una parte de un booleano de un conjunto finito), y el resultado sobre la estructura significa que uno de los elementos de la partición tiene estructura y, por regla general, no está claro qué. Por lo tanto, no se puede decir nada sobre ningún subconjunto en particular.

Un buen ejemplo es el teorema de van der Waerden : dice que para cualquier partición de números naturales en un número finito de clases, al menos una de las clases tendrá una progresión aritmética (de cualquier longitud dada). Al mismo tiempo, es obvio que en cualquier partición hay una clase en la que la densidad de números es mayor que en otras, e intuitivamente parece que la progresión debería estar en este conjunto; después de todo, aquí se encuentran la mayoría de los elementos. , es decir, la mayor cantidad de posibilidades. También es obvio que el conjunto más grande tendrá una densidad positiva (distinta de cero). Sin embargo, probar que absolutamente cualquier conjunto infinito de números naturales de densidad positiva contiene una progresión aritmética no se obtiene simplemente a través del teorema de van der Waerden - según él, la progresión puede ser de cualquier clase, incluso la más pequeña. Para demostrar la presencia de una progresión en cualquier conjunto denso, uno tiene que involucrar medios mucho más complejos: la solución a este problema se llama teorema de Szemeredi , que se considera un resultado combinatorio aditivo clásico.

Sumas trigonométricas

Una herramienta flexible para evaluar el orden de un conjunto, que también desempeñó un papel importante en la teoría de números aditivos, son las sumas trigonométricas (las sumas de las raíces de la unidad correspondientes a los números del conjunto). Se han convertido en una herramienta y objeto de estudio también en combinatoria aditiva, ya que permiten una aplicación bastante general.

Incluso Gauss, que fue el primero en estudiar las sumas trigonométricas, descubrió a través de ellas la conexión entre la distribución de todas las posibles diferencias de números de un conjunto dado y el conjunto mismo. Investigando residuos cuadráticos , Gauss consideró la suma

S(a)=\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{2}}{p}}i}}

y generar una estimación del cuadrado de su módulo:

|S(a)|^{2}=\sum \limits _{x,y}{e^{2\pi {\frac {a(x^{2}-y^{2})} {Pi}}

Se obtuvo una estimación de esta suma de forma puramente combinatoria a partir de las propiedades de la expresión bajo el cambio de variable . [4] Por lo tanto, el conjunto múltiple de diferencias proporcionó información sobre la estructura del conjunto de los propios residuos cuadráticos. En la combinatoria aditiva, opera un enfoque similar en concepto, cuando ya un conjunto, y no un multiconjunto de diferencias (o sumas, productos, etc.) de elementos de un conjunto dado, proporciona información sobre la estructura de este conjunto. Tal transición, de un conjunto múltiple a un conjunto, está asociada con la transición del número de soluciones de una ecuación particular (por ejemplo, ) a la representación de números en una forma u otra (por ejemplo, en la forma ), que es en principio característica del método de las sumas trigonométricas. $x^{2}-y^{2}$ ${\ estilo de visualización x = y + h}$ $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2},a_{i}\en A,b_{i}\en B$ ${\ estilo de visualización a + b, a \ en A, b \ en B}$

Teorema de Freiman

Una base separada para el desarrollo de una nueva ciencia de sumas de conjuntos por elementos (conjuntos de sumas ) fue el teorema demostrado por Grigory Freiman sobre la estructura de conjuntos con pequeñas duplicaciones (es decir, conjuntos cuyo conjunto de sumas de dos elementos tiene un tamaño pequeño, o, más simplemente, cuyas sumas de elementos a menudo coinciden) . [5] $A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Erdős y Szemeredi también consideraron preguntas sobre las sumas de elementos de un conjunto dado sin introducir un simbolismo especial para denotar la suma de conjuntos. [6]

Tema

Un montón de sumas

Un concepto importante en combinatoria aditiva es el conjunto de sumas

A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace

para conjuntos finitos , donde es un grupo. El tamaño de dicho conjunto está determinado por la estructura y con respecto a la operación . Si y son progresiones aritméticas, entonces no es suficiente. Y si, por ejemplo, se eligen aleatoriamente según el esquema de Bernoulli , entonces es muy grande. Los casos intermedios entre estos dos casos son precisamente de interés aditivo-combinatorio. $A,B\en \mathrm {G}$ ${\ estilo de visualización (\ matemáticas {G}, +)}$ $A$ $B$ $+$ $A$ $B$ ${\ estilo de visualización | A + B |}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{n))$ ${\ estilo de visualización | A + B |}$

Además, la estructura de conjuntos es interesante en sí misma . En particular, a partir de 2018, no existen criterios generales (aparte de la enumeración directa) para determinar si un conjunto determinado está representado en el formulario . $A+B$ ${\ estilo de visualización A + A}$

Características asociadas de los conjuntos

La siguiente tabla enumera los teoremas y desigualdades de la combinatoria aditiva que relaciona varias características de subconjuntos de grupos. El enunciado especificado en una celda relaciona las características especificadas en su fila y columna. Sólo se dan algunos de los más famosos de estos teoremas.

Por brevedad, se utilizan las siguientes abreviaturas en los títulos:

La densidad de un conjunto para un grupo finito es el valor o ley de su crecimiento asintótico al aumentar el tamaño , y para infinitos es la densidad asintótica (o ley de distribución) en , $A\subconjunto {\mathbb {G} }$ ${\ estilo de visualización {\ matemáticas {G}}}$ ${\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ ${\ estilo de visualización {\ matemáticas {G}}}$ ${\ estilo de visualización {\ matemáticas {G}}}$ $A$ ${\ estilo de visualización {\ matemáticas {G}}}$
GAP (de "progresión aritmética generalizada"): la presencia en el conjunto de grandes progresiones aritméticas, progresiones aritméticas generalizadas no triviales o sus partes grandes y, a la inversa, la capacidad de cubrir el conjunto (o la mayor parte) con un no progresión aritmética demasiado grande;
${\displaystyle A_{1}+\puntos +A_{k))$ - el tamaño y la estructura del conjunto de sumas (así como diferencias y combinaciones de sumas y diferencias) - en particular, la capacidad de representar cualquier elemento del grupo como la suma de un número dado de elementos de este conjunto;
${\displaystyle X=A_{1}+\puntos +A_{k))$ - la representabilidad de un conjunto o una gran parte de él como un conjunto de sumas (así como diferencias y combinaciones de sumas y diferencias) de números de un pequeño número de conjuntos, es decir, la resolución de la ecuación de conjuntos para un dado , tal vez incluso bajo ciertas condiciones en (por ejemplo, ), donde significa la suma de Minkowski ${\displaystyle X=A_{1}+\puntos +A_{k))$ $X$ ${\displaystyle A_{1},\puntos,A_{k))$ ${\displaystyle A_{1}=\puntos =A_{k))$ $+$
Los coeficientes de Fourier están destinados a la función característica del conjunto y las funciones definidas a través de él, así como sus estadísticas: varios tipos de normas , la cantidad de elementos con un valor grande y la estructura de su conjunto;
CRU (del "número de soluciones a la ecuación"): el número de soluciones a varias ecuaciones lineales (en particular, energía aditiva ) o sistemas de ecuaciones , en los que las variables toman valores de conjuntos dados, así como el razón del número de sus soluciones

También hay varias notaciones específicas utilizadas en las celdas:

$\ancho de sombrero {A}$ es el coeficiente de Fourier de la función característica del conjunto ; $A$
${\ estilo de visualización E (A, B)}$ - energía aditiva
$\rho _{A}(x)=\mathbf {1} _{A}(x)-{\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ — tal función se llama función de equilibrio del conjunto , porque . $A\in {\mathbb {G} }$ $\sum \limits _{x\in {\mathbb {G} }}{\rho _{A}(x)}=0$

	Densidad	OPA	${\displaystyle A_{1}+\puntos +A_{k))$	${\displaystyle X=A_{1}+\puntos +A_{k))$	Coeficientes de Fourier	CRU
Densidad
OPA	Teorema de Szemeredi
${\displaystyle A_{1}+\puntos +A_{k))$	Desigualdad de Shnirelman , teorema de Furstenberg-Sharkozy	Teorema de Freiman
${\displaystyle X=A_{1}+\puntos +A_{k))$		$A+B$ en general y contienen una larga. N. [7] [8] $\|A\|$ $\|B\|$	Desigualdad de Plünnecke-Rouge
Coeficientes de Fourier	El principio de incertidumbre [9]	Si , es pequeño, entonces contiene a. n.longitud 3 [10] ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {Z} }_{N))$ $\|\|{\widehat {\rho _{A}}}\|\|_{\infty}$ $A$	Si es pequeño, entonces grande $\|\|{\widehat {A}}\|\|_{\infty}$ ${\ estilo de visualización \|\|{\ sombrero ancho {B}} \|\|_ {\ infty}}$ ${\ estilo de visualización \| A + B \|}$
CRU	teorema de roth	Si - A. pag., entonces $A$ $E(A,A)\geq \Omega (\|A\|^{3})$	$\|A\|^{2}\|B\|^{2}\geq \|A+B\|E(A,B)$ [once]	A partir de las proporciones de energías aditivas, podemos sacar conclusiones sobre la estructura del conjunto [12]	si , entonces ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{N))$ $E(A,B)=\sum \limits _{r=0}^{N-1}{\|{\widehat {A}}(r)\|^{2}\|{\widehat {B} }(r)\|^{2}}$

Algunos conceptos utilizados

La norma de Gowers es una generalización del concepto de coeficientes de Fourier, inventada porWilliam Gowersen el curso de la demostración del teorema de Szémeredy.

Un isomorfismo de Freiman es una aplicación de un subconjunto de un grupo a un subconjunto de otro que conserva la relación de igualdad de las sumas de un número dado de elementos del conjunto.

Un conjunto finito de números reales se llama secuencia convexa (o conjunto convexo) si para , es decir, si es la imagen de un segmento para alguna función estrictamente convexa . [13] Las propiedades de tales conjuntos se estudian ampliamente en combinatoria aditiva. [14] [15] [16] [17] Esta noción no debe confundirse con un conjunto convexo en el sentido habitual . $A=\left\lbrace {a_{1}\leq \dots \leq a_{n}}\right\rbrace$ $a_{i+1}-a_{i}<a_{i+2}-a_{i+1}$ ${\ estilo de visualización i = 1, \ puntos, n-2}$ $A$ $\left\lbrace {1,\dots,n}\right\rbrace$

El conjunto de Bohr es una pequeña estructura duplicada, a veces utilizada en pruebas como un análogo debilitado de la noción de subespacio. [18] . Se define como el conjunto de elementos de campo sobre el que todos los caracteres aditivos de una familia determinada tienen un valor pequeño. Los conjuntos de Bohr contienen grandes progresiones aritméticas generalizadas, de modo que la presencia de progresiones en un conjunto a veces se demuestra mediante la presencia del conjunto de Bohr necesario en él.

Una función casi periódica es una funcióntal que la normaes suficientemente pequeña para algunosy para todos, donde es algún conjunto (por ejemplo, el conjunto de Bohr). Una de las demostracionesdel teorema de Roth. [19] $F$ ${\ estilo de visualización || f (x + t)-f (x) ||_ {p))$ $pags$ $t\en T$ $T$

El conjunto de sumas trigonométricas grandes (a veces también llamado espectro ) del conjunto es el conjunto de residuospara los cuales la suma(coeficiente de Fourier) tiene un módulo grande . [veinte] ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {Z} }_{p))$ $r$ $\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ar)}$

Un conjunto disociativo es un conjunto para el cual las combinaciones lineales son iguales a cero, donde, solo cuando todasson iguales a cero. En particular, esto significa que las sumas de elementos de dos subconjuntos diferentes siempre son diferentes [20] . La disociación se puede ver como un análogo de la independencia lineal sobre. $A$ $\sum \limits _{a\in A}{\varepsilon _{a}a}=0$ $\forall a\in A:\varepsilon _{a}\in \left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {a}}$ $\left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$

Métodos de estudio

Métodos elementales

Por supuesto, a pesar de la existencia de métodos poderosos y complejos para estudiar los teoremas de la combinatoria aditiva, algunas técnicas y tareas se prestan a una descripción elemental. De la desigualdad de Cauchy se derivan propiedades de la energía aditiva que se aplican casi universalmente. En general, el enfoque elemental a menudo analiza el número de soluciones de ciertas ecuaciones. El argumento medio también se usa a menudo , por ejemplo, al descomponer el número de soluciones de una ecuación por la suma del número de soluciones para un valor particular de una sola variable. [21] $\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i))}\right)^{2}\leq n\sum \limits _{i=1}^{ n}{{a_{i}}^{2}}$

Por métodos elementales se puede demostrar el teorema de Roth [22] y el teorema de Cauchy-Davenport [23] .

Sin embargo, muchas pruebas obtenidas por otros métodos no tienen análogos elementales.

Métodos combinatorios

Una de las demostraciones combinatorias más icónicas de la combinatoria aditiva es la primera demostración del teorema de Szemeredy [24] que aparece ; en ella, Szemeredy formuló y usó el llamado lema de regularidad , relativo a la teoría de grafos pura . Las analogías gráficas también se utilizan para demostrar versiones especiales de la desigualdad de Plünnecke-Rouge o estimaciones del tipo Balogh-Semeredi-Gowers [25] .

Métodos algebraicos

Los métodos algebraicos en combinatoria aditiva utilizan las propiedades de los polinomios, que se construyen sobre la base de ciertos conjuntos. Los grados de tales polinomios, por regla general, dependen del tamaño de los conjuntos en estudio, y el conjunto de raíces de polinomios puede dar una u otra información sobre las sumas, intersecciones, etc. de los conjuntos originales.

Un ejemplo de una herramienta para aplicar dicho método es el teorema nulo combinatorio . Con él se puede demostrar el teorema de Cauchy-Davenport y algunas de sus generalizaciones . [23]

Otras aplicaciones del método algebraico se pueden encontrar en las demostraciones del teorema de Roth para ciertos grupos de forma especial [26] [27] [28] o en la estimación del tamaño de intersecciones de desplazamientos de subgrupos multiplicativos de cuerpos ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ y demostrando el problema de Waring para un primer campo (para esto, en particular, se usa el método de Stepanov ). ). [29]

Métodos analíticos

La principal herramienta analítica en combinatoria aditiva son los coeficientes de Fourier . Esto se debe a la estrecha conexión entre la operación de tomar el coeficiente de Fourier y la operación de convolución de funciones . Los coeficientes de Fourier se han utilizado desde la primera demostración del teorema de Roth. [30] Su generalización es la norma de Gowers, cuya ciencia también se denomina análisis de Fourier de orden superior. [veinte]

Usando el ejemplo de los coeficientes de Fourier (en particular, su aplicación a la prueba del teorema de Roth), el llamado argumento iterativo se ilustra mejor cuando la consideración de un conjunto arbitrario se divide en dos casos: cuando el conjunto no tiene grandes (relativo al tamaño del conjunto) Coeficientes de Fourier y cuándo lo hace. En el primer caso, se pueden usar directamente las propiedades de los coeficientes de Fourier, y en el segundo, se puede encontrar una subestructura de un conjunto con una densidad más alta en una progresión aritmética infinita, y con una densidad tan alta que el número de tales Los posibles pasos hasta alcanzar la densidad límite estarán limitados por un valor en función de la densidad total del conjunto inicial. Esto revela la idea de dividir en el caso de un conjunto pseudoaleatorio y un conjunto con alguna estructura global. Esta idea se refleja también en otros métodos. [1] [10]

Otro enfoque analítico es estudiar la casi periodicidad de las funciones asociadas con las funciones características de los conjuntos en estudio. [31]

Métodos ergódicos

El enfoque ergódico consiste en aplicar los resultados de la teoría de sistemas dinámicos a problemas de combinatoria aditiva . Este enfoque fue aplicado por primera vez por Hillel Furstenberg al teorema de Szemeredy [32] , pero pronto resultó que se puede generalizar a una gama mucho más amplia de problemas.

La teoría de los sistemas dinámicos a menudo permite probar resultados que no pueden reformularse por otros métodos, pero no es capaz de dar estimaciones cuantitativas (por ejemplo, estimaciones de la densidad de un conjunto en el teorema de Szemeredy). [33]

Otros métodos

Algunas otras áreas tienen aplicaciones a la ciencia en cuestión:

el teorema de Szemeredi-Trotter de geometría combinatoria (especialmente en cuestiones relativas a conjuntos convexos) [16] [13] [17] ;
geometría de números [34] ;
teoría de las representaciones de grupos simétricos [35] .
teoría del valor propio ( se puede utilizar para derivar una desigualdad entre el número de soluciones de algunos sistemas de ecuaciones lineales; [36] );

Algunos investigadores

Véase también

Literatura

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Notas

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