Espacio asférico

Un espacio asférico es un espacio topológico en el que todos los grupos de homotopía, excepto los triviales, son triviales. Para variedades simplécticas , el significado del término es ligeramente diferente; ver variedad asférica simpléctica . $\pi_{n}(X)$ $n=1$

Propiedades

Según el teorema de Whitehead , un complejo CW es asférico si y solo si su cubierta universal es contráctil .

Todo espacio asférico es por definición un espacio K(G,1) , donde es el grupo fundamental . $X$ ${\ estilo de visualización G = \ pi _ {1} (X)}$ $X$

Sea un espacio asférico y sea un complejo CW conectado . $X$ $k$
- Cualquier mapeo continuo desde el 2-skeleton hasta puede extenderse a un mapeo continuo definido en la totalidad de . $k$ $X$ $k$
- Para cualquier homomorfismo de grupos fundamentales , existe un mapeo continuo que induce . $h\colon \pi_{1}K\to \pi_{1}X$ $\varphi \colon K\to X$ $h$
  - Además, es único hasta
la equivalencia de homotopía . $\varphi$

Directamente de la definición, un espacio asférico es el espacio clasificador para su grupo fundamental (que se considera un grupo topológico , cuando está dotado de la topología discreta ).

Todas las superficies compactas excepto la esfera y el plano proyectivo son asféricas.
Un toro de cualquier dimensión es asférico.
Toda variedad hiperbólica es asférica.
Además, los espacios métricos con curvatura no positiva en el sentido de Alexandrov (es decir, espacios localmente CAT(0) ) son asféricos. En el caso de las variedades de Riemann , esto se sigue del teorema de Cartan-Hadamard .
El complemento del nudo en es asférico por el teorema de la esfera ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {3}}$
Cualquier nilmanifold es asférica.
El espacio de la lente de dimensión infinita es asférico. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty}/\mathbb {Z} _{p))$