Nilvariedad

Una nilvariedad es una variedad suave que tiene un grupo nilpotente transitivo de difeomorfismos que actúan sobre esta variedad. Una nilvariedad es un ejemplo de un espacio homogéneo y es difeomorfa a un espacio cociente , el grupo cociente de un grupo de Lie nilpotente N por un subgrupo cerrado H. El término fue introducido por Anatoly I. Maltsev en 1951.

En la categoría de Riemann también hay una definición exhaustiva de una variedad nula. Una variedad de Riemann se llama nilvariedad homogénea si existe un grupo nilpotente de isometrías que actúan transitivamente sobre ella. El requisito de que un grupo nilpotente transitivo actúe por isometrías conduce a la siguiente caracterización: cualquier nilvariedad homogénea es isométrica a un grupo de Lie nilpotente con una métrica invariante a la izquierda (ver el artículo de Wilson [1] ).

Las nilvariedades son objetos geométricos importantes y, a menudo, aparecen en ejemplos concretos con propiedades específicas. En la geometría riemanniana, estos espacios siempre tienen una curvatura mixta [2] , las variedades casi planas surgen como espacios cocientes de nilvariedades [3] y las nilvariedades compactas se han utilizado para construir ejemplos elementales del colapso de las métricas riemannianas en los flujos de Ricci [4] .

Además de su importante papel en la geometría de la nilvariedad, existe un interés creciente por su papel en la combinatoria aritmética (ver el artículo de Green y Tao [5] ) y la teoría ergódica (ver, por ejemplo, el artículo por Host y Cra [6] ).

Nilmanifolds compactos

Una nilvariedad compacta es una nilvariedad que es compacta. Una forma de construir tales espacios es considerar un grupo N de Lie nilpotente simplemente conectado y un subgrupo discreto . Si un subgrupo actúa de manera cocompacta (a través de la multiplicación por la derecha) en N , entonces la variedad del cociente es una nilvariedad compacta. Como mostró Maltsev, cualquier nilvariedad compacta se puede obtener de esta manera [7] .

Un subgrupo como el anterior se llama red en N . Un grupo de Lie nilpotente admite una red sólo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racional —este es el criterio de Maltsev. No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten celosías. Para más detalles, véase el artículo de M. S. Raunathan [8] .

Una nilvariedad riemanniana compacta es una variedad riemanniana compacta que es localmente isométrica a un grupo de Lie nilpotente por una métrica invariante a la izquierda. Estos espacios se construyen de la siguiente manera. Sea una red en un grupo N de Lie nilpotente simplemente conectado como arriba. Dotamos a N de una métrica invariante a la izquierda (Riemanniana). Entonces el subgrupo actúa por medio de isometrías sobre N vía multiplicación por la izquierda. Entonces el espacio del cociente es un espacio compacto localmente isométrico a N . Tenga en cuenta que este espacio es naturalmente difeomorfo .

Las nilvariedades compactas también surgen como un paquete principal . Por ejemplo, considere un grupo N de Lie nilpotente de 2 pasos que admite una red (ver arriba). Sea el conmutador del subgrupo N . Denotemos por p la dimensión del conmutador Z y por q la codimensión de Z , es decir, la dimensión de N es igual a p+q. Se sabe (ver el artículo de Raghunathan) que es una red en Z. Por lo tanto, es un toro compacto p -dimensional. Dado que Z es central en N , el grupo G actúa sobre una variedad nula compacta con un espacio cociente . Esta variedad base M es un toro compacto de dimensión q . Se ha demostrado que cualquier haz principal de toros sobre un toro tiene esta forma, véase el artículo de Police y Stewart [9] . De forma más general, una nilvariedad compacta es un haz de toros sobre un haz de toros sobre un haz de toros... sobre un toro.

Como se mencionó anteriormente, las variedades casi planas son esencialmente variedades nulas compactas. Consulte el artículo relacionado para obtener más información.

Nilvariedades complejas

Históricamente, una nilvariedad compleja significa el cociente de un grupo de Lie nilpotente complejo por una red cocompacta . Un ejemplo de tal variedad nula es la variedad Iwasawa . Desde la década de 1980, otra noción (más general) de nilvariedad compleja ha suplantado gradualmente esta noción.

Una estructura casi compleja en el álgebra de Lie real g es un endomorfismo cuyo cuadrado es −Id g . Este operador se denomina estructura compleja si sus espacios propios correspondientes a los valores propios son subálgebras en . En este caso, I define una estructura compleja invariante a la izquierda en el grupo de Lie correspondiente. Tal variedad ( G , I ) se denomina variedad de grupo complejo . Así, se obtiene de esta forma cualquier variedad homogénea compleja conexa dotada de una acción holomorfa transitiva libre sobre un grupo de Lie real.

Sea G un verdadero grupo de mentira nilpotente. Una nilvariedad compleja es un factor múltiple de un grupo complejo ( G , I ) dotado de una estructura compleja invariante a la izquierda por una red discreta cocompacta que actúa a la derecha.

Las nilvariedades complejas no suelen ser homogéneas como las variedades complejas.

En la dimensión compleja 2, las únicas nilvariedades complejas son el toro complejo y la superficie de Kodaira [10] .

Propiedades

Las nilvariedades compactas (con la excepción del toro) nunca son formales [11] [12] . Esto implica inmediatamente que las nilvariedades compactas (con la excepción del toro) no admiten una estructura de Kähler (ver también el artículo de Benson y Gordon [13] ).

Topológicamente, todas las nilvariedades se pueden obtener como haces iterados de toros sobre un toro. Esto es fácil de ver desde la fila central descendente [14] .

Ejemplos

Grupos de Nilpotent Lie

Está claro a partir de la definición anterior para una nilvariedad homogénea que cualquier grupo de Lie nilpotente con una métrica invariante a la izquierda es una nilvariedad homogénea. Los grupos de Lie nilpotentes más conocidos son los grupos matriciales cuyos elementos diagonales son iguales a 1 y todos los elementos subdiagonales son cero.

Por ejemplo, el grupo de Heisenberg es un grupo de mentira nilpotente de 2 pasos. Este grupo de Lie nilpotente también es especial porque permite un cociente compacto. El grupo puede ser matrices triangulares superiores con elementos enteros. La nilvariedad resultante es tridimensional. Un posible dominio fundamental es (isomorfo a) [0,1] 3 con caras debidamente identificadas. Esto se debe a que un elemento de una nilvariedad puede ser representado por un elemento en el dominio fundamental. Aquí significa la función "piso" de x , y significa la parte fraccionaria de . La aparición de la función "piso" aquí es una pista sobre la conexión de nilvariedades con combinatoria aditiva: los llamados polinomios de soporte o polinomios generalizados son importantes en el análisis de Fourier de alto orden [5] .

Grupos de Abelian Lie

El ejemplo más simple es cualquier grupo Abelian Lie. Esto se debe a que cualquier grupo de este tipo es un grupo de mentira nilpotente. Por ejemplo, podemos tomar el grupo de los números reales por suma y el subgrupo discreto cocompacto de los enteros. La nilmanifold resultante de 1 paso es un anillo familiar . Otro ejemplo bien conocido es un espacio compacto de 2 toros o euclidiano por adición.

Generalizaciones

Notas

  1. ↑ Wilson, 1982 .
  2. ↑ Milnor, 1976 , pág. 293–329.
  3. ↑ Gromov, 1978 , pág. 231–241.
  4. ↑ Chow, Knopf, 2004 , pág. xiii+325.
  5. ↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , pág. 1753-1850
  6. ↑ Anfitrión, Kra, 2005 , pág. 397–488.
  7. ↑ Maltsev, 1949 , pág. 9-32.
  8. ↑ Raghunathan, 1972 .
  9. ↑ Palacio, Stewart, 1961 , pág. 26–29.
  10. ↑ Hasegawa, 2005 , pág. 749–767.
  11. ↑ Un álgebra graduada diferencial mínima A sobre K es formal si existe un morfismo de álgebras graduadas diferenciales de A a , tal que genera una identidad en la cohomología con antiderivada d = 0 en (Hasegawa, p. 68).
  12. ↑ Hasegawa, 1989 , pág. 65–71.
  13. ↑ Benson y Gordon 1988 , pág. 513–518.
  14. ↑ Rollenske, 2009 , pág. 425–460.

Literatura