Geodésico

Geodésico (también línea geodésica ) - una curva de cierto tipo, una generalización del concepto de " línea recta " para espacios curvos.

La definición específica de una línea geodésica depende del tipo de espacio. Por ejemplo, en una superficie bidimensional incrustada en el espacio tridimensional euclidiano , las líneas geodésicas son líneas cuyos arcos suficientemente pequeños son los caminos más cortos entre sus extremos en esta superficie. En un plano , estas serán líneas rectas, en un cilindro circular , líneas helicoidales , generadores rectilíneos y círculos , en una esfera , arcos de grandes círculos .

Las líneas geodésicas se utilizan activamente en la física relativista . Entonces, un cuerpo de prueba en la teoría general de la relatividad se mueve a lo largo de la línea geodésica del espacio-tiempo . En esencia, la evolución temporal de todos los sistemas lagrangianos puede considerarse como un movimiento a lo largo de una geodésica en un espacio especial. Toda la teoría de los campos de norma se puede representar de esta manera .

Geometría diferencial

Variedades con una conexión afín

En variedades con conexión afín , una geodésica es una curva que satisface la ecuación $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\dot {\gamma}}{\dot {\gamma}}=0.

En forma de coordenadas, esta ecuación se puede reescribir usando símbolos de Christoffel :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu}}{dt}}=0,

donde son las coordenadas de la curva. ${\ Displaystyle x^{\ mu} (t)}$

En otras palabras, una curva es una geodésica si un vector paralelo transferido a lo largo de ella, que era tangente a la curva en el punto inicial, permanece tangente en todas partes.

Variedades riemannianas y pseudo-riemannianas

En espacios riemannianos y pseudo-riemannianos , la geodésica se define como la curva crítica de la integral de energía:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

aquí hay una curva en el espacio, es la métrica . (En física, esta integral se denomina comúnmente integral de acción ). $\gamma (t)$ $gramo$

Esta condición es equivalente a:

\nabla _{{{\punto \gamma}}}{\punto \gamma}=0

a lo largo de toda la curva, donde denota la conexión Levi-Civita . $\nabla$

Geometría métrica

En espacios métricos, una geodésica se define como un camino localmente más corto con una parametrización uniforme (a menudo con un parámetro natural ).

Según el lema de Gauss , para las variedades de Riemann , esta definición define la misma clase de curvas que la definición geométrica diferencial anterior.

Uso en física

Las líneas geodésicas se utilizan activamente en la física relativista. Por ejemplo, la trayectoria de un cuerpo de prueba sin carga en caída libre en la teoría general de la relatividad y en general en las teorías métricas de la gravedad es una línea geodésica del mayor tiempo propio , es decir, el tiempo medido por relojes que se mueven con el cuerpo.

A menudo, una teoría física que tiene una acción o se expresa en forma hamiltoniana puede reformularse como el problema de encontrar geodésicas en alguna variedad riemanniana o pseudo-riemanniana .

Véase también

Literatura

Grave D. A. Línea geodésica // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna. - Cualquier edición.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. . Curso de geometría diferencial y topología. - Cualquier edición.
Póstnikov M. M. . Teoría variacional de las geodésicas. - Cualquier edición.
A. V. Chernavski . Geometría diferencial, 2 cursos .