Movimiento (matemáticas)

El movimiento es una transformación del espacio métrico que conserva la distancia entre los puntos correspondientes, es decir, si y son las imágenes de los puntos y , entonces . En otras palabras, el movimiento es una isometría del espacio en sí mismo. $A'$ $B'$ $A$ $B$ $A'B'=AB$

Aunque el movimiento se define en todos los espacios métricos, el término es más común en la geometría euclidiana y campos relacionados. En geometría métrica (particularmente en geometría de Riemann ), se dice más a menudo: isometría del espacio en sí mismo . En el caso general de un espacio métrico (por ejemplo, para una variedad de Riemann no plana ), los movimientos pueden no existir siempre.

A veces se entiende el movimiento como una transformación del espacio euclidiano que conserva la orientación. En particular, la simetría axial de un plano no se considera un movimiento, mientras que la rotación y la traslación paralela se consideran movimientos. De manera similar, para espacios métricos generales, el movimiento es un elemento del grupo de isometría del componente conectado del mapeo de identidad .

En el espacio euclidiano (o pseudo-euclidiano ), el movimiento también conserva automáticamente los ángulos, de modo que se conservan todos los productos escalares .

Más adelante en este artículo, se consideran las isometrías del espacio euclidiano de puntos únicamente.

Movimientos propios y no propios

Sea el movimiento de un espacio euclidiano de puntos y sea el espacio de vectores libres para el espacio . El operador lineal asociado con una transformación afín es un operador ortogonal , por lo que su determinante puede ser ( operador ortogonal propio ) o ( operador ortogonal impropio ). De acuerdo con esto, los movimientos y se dividen en dos clases: propios (si ) e impropios (si ) [1] . $f\dos puntos E\rightarrow E$ $MI,$ $V$ $mi$ $Df\dos puntos V\rightarrow V,$ $F,$ $una$ $-una$ ${\ estilo de visualización \ det Df = 1}$ ${\ estilo de visualización \ det Df = -1}$

Los movimientos propios conservan la orientación del espacio ; los no propios, la reemplazan por la opuesta [2] . A veces, los movimientos propios e impropios se denominan respectivamente desplazamientos y antidesplazamientos [3] . $MI,$

Cualquier movimiento de un espacio de puntos euclidiano de n dimensiones puede determinarse de manera única especificando un marco ortonormal en el que, durante un movimiento dado, pasa un marco ortonormal preseleccionado en el espacio En este caso, en el caso de movimiento propio, el nuevo el marco se orienta de la misma manera que el original, y en el caso de un movimiento inadecuado, el nuevo marco se orienta de manera opuesta. Los movimientos siempre conservan las distancias entre puntos en el espacio (es decir, son isometrías ), y no hay otras isometrías, excepto los movimientos propios e impropios [4] . $mi$ $(O';e'_{1},\ldots,e'_{n}),$ $mi$ $(O;e_{1},\ldots,e_{n}).$ $mi$

En mecánica , el concepto de "movimiento" tiene un significado diferente; en particular, siempre se considera como un proceso continuo que ocurre durante un período de tiempo (ver movimiento mecánico ). Si, siguiendo a P. S. Aleksandrov , llamamos movimiento continuo a un movimiento del espacio que depende continuamente del parámetro (porque en mecánica esto corresponde al movimiento de un cuerpo absolutamente rígido ), entonces el marco ortonormal se puede obtener por movimiento continuo a partir del ortonormal marco si y solo si ambos puntos de referencia están orientados de la misma manera [5] . $MI,$ $t\en [t_{0},t_{1}]$ $n=3$ $(O';e'_{1},\ldots,e'_{n})$ $(O;e_{1},\ldots,e_{n})$

Tipos particulares de isometrías

Recto

Cualquier movimiento de una línea recta es una traslación paralela (reducida al desplazamiento de todos los puntos de una línea recta por el mismo vector que se encuentra en la misma línea recta), o una reflexión sobre algún punto tomado en una línea recta dada. En el primer caso, el movimiento es propio, en el segundo, impropio [6] .

En el avión

Cualquier movimiento del avión pertenece a uno de los siguientes tipos [2] :

transferencia paralela ;
girar ;
simetría axial ( reflexión );
Una simetría deslizante es una superposición de una traslación por un vector paralelo a una línea recta y una simetría alrededor de esta línea recta.

Los movimientos de los dos primeros tipos son propios, los dos últimos son impropios [7] .

En el espacio 3D

Cualquier movimiento del espacio tridimensional pertenece a uno de los siguientes tipos [2] :

transferencia paralela;
Giro;
El movimiento del tornillo es una superposición de una rotación alrededor de cierta línea recta y la traslación por un vector paralelo a esta línea recta;
Simetría especular (reflexión) sobre el plano ;
La simetría deslizante es la superposición de una traslación por un vector paralelo a un plano y una simetría sobre este plano;
La rotación del espejo es una superposición de la rotación alrededor de una línea recta y la reflexión alrededor de un plano perpendicular al eje de rotación.

Los movimientos de los tres primeros tipos agotan la clase de movimientos propios del espacio tridimensional ( teorema de Chall ), y los movimientos de los tres últimos tipos son impropios [7] .

En el espacio n-dimensional

En el espacio dimensional, los movimientos se reducen a transformaciones ortogonales , traslaciones paralelas y superposiciones de ambas. $norte$

A su vez, las transformaciones ortogonales se pueden representar como superposiciones de rotaciones (propias) y reflejos de espejo (es decir, simetrías con respecto a los hiperplanos ).

Movimientos como superposiciones de simetrías

Cualquier isometría en el espacio euclidiano bidimensional se puede representar como una superposición de, como máximo, n+1 reflejos especulares [8] . $norte$

Entonces, la traslación paralela y la rotación son superposiciones de dos reflexiones, la reflexión deslizante y la rotación del espejo son tres, y el movimiento del tornillo es cuatro.

Propiedades generales de las isometrías

La superposición de isometrías también es una isometría [9] .
Las isometrías del espacio euclidiano E con respecto a la operación de superposición forman el grupo Iso( E ) , que es un grupo de Lie .
La isometría es un caso especial de una transformación afín (entonces Iso( E ) es un subgrupo de otro grupo de Lie, el grupo afín Aff( E ) del espacio E ) [10] .
El grupo Iso( E ) consta de dos componentes conexas : el conjunto Iso + ( E ) de movimientos propios (que es a su vez un grupo de Lie) y el conjunto Iso - ( E ) de movimientos impropios; cada uno de estos componentes está conectado por caminos [3] .
La isometría, al ser una transformación afín , siempre transforma un segmento de nuevo en un segmento.

Notas

↑ Kostrikin y Manin, 1986 , p. 201-204.
↑ 1 2 3 Egorov IP . Movimiento // Enciclopedia Matemática. Vol. 2 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética , 1979. - 1104 stb. - Stb. 20-22.
↑ 1 2 Berger, 1984 , pág. 249.
↑ Aleksándrov, 1968 , pág. 259-262.
↑ Aleksándrov, 1968 , pág. 210, 214.
↑ Aleksándrov, 1968 , pág. 284.
↑ 1 2 Kostrikin y Manin, 1986 , p. 204.
↑ Berger, 1984 , pág. 255.
↑ Aleksándrov, 1968 , pág. 267.
↑ Kostrikin y Manin, 1986 , p. 202.

Literatura

Alexandrov P. S. . Conferencias sobre geometría analítica. — M .: Nauka , 1968. — 912 p.
Bergé M. . Geometría. T. 1. - M. : Mir , 1984. - 560 p.
Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Álgebra lineal y geometría. 2ª ed. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.