El noveno problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert que David Hilbert planteó en 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París y que tuvo una influencia excepcional en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX.
El problema fue parcialmente resuelto por la prueba de Emil Artin de la ley de reciprocidad de Artin para extensiones abelianas de cuerpos numéricos algebraicos [1] [2] . Más tarde, en 1948 , I. R. Shafarevich encontró la ley más general de reciprocidad de residuos de potencia en campos de números algebraicos [3] [4] .
En el caso no abeliano, el problema sigue sin resolverse.
9. Prueba de la ley general de reciprocidad en cualquier campo numérico.
<…> Se requiere demostrar la ley de reciprocidad para residuos de potencia de orden l-ésimo en cualquier campo numérico, l es un número primo impar y si l es un entero potencia de 2. <…> [5]
Texto original (alemán)[ mostrarocultar] 9. Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper. Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der l-ten Potenzreste bewiesen werden, wenn l eine ungerade Primzahl bedeutet und ferner, wenn l eine Potenz von 2 oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl ist. Die Aufstellung des Gesetzes, wie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte Theorie des Körpers der l ten Einheitswurzeln {Bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung über die Theorie der algebraischen Zahlkö. IV, 1897. Fünfter Teil} und meine Theorie {Mathematische Annalen, Bd. 51 und Nachrichten der K. Ges. d. sabio zu Göttingen 1898} des relativ-quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallgemeinert. [6] .| problemas de hilbert | |
|---|---|