Anillo dedekind

En álgebra general , un anillo de Dedekind es un anillo integral en el que cada ideal propio distinto de cero se descompone en un producto de ideales primos . Se puede demostrar que en este caso la expansión es única hasta el orden de los factores. A continuación hay varias otras descripciones de los anillos de Dedekind que pueden tomarse como una definición.

Un campo es un anillo integral en el que no hay ideales propios distintos de cero, por lo que la propiedad anterior, estrictamente hablando, se cumple. Algunos autores agregan la condición de "no ser un campo" a la definición de un anillo de Dedekind; muchos otros autores siguen la convención implícita de que las formulaciones de todos los teoremas para los anillos de Dedekind pueden modificarse trivialmente para que también se cumplan para los campos.

De la definición se sigue inmediatamente que todo dominio de ideales principales es un anillo de Dedekind. Un anillo de Dedekind es factorial si y solo si es un dominio ideal principal.

Prehistoria de la aparición del concepto

En el siglo XIX, se convirtió en una técnica común usar anillos de números algebraicos para resolver ecuaciones diofánticas . Por ejemplo, en un intento por determinar qué números enteros se pueden representar como , es bastante natural factorizar la forma cuadrática en factores , la descomposición ocurre en el anillo de números enteros del campo cuadrático . De manera similar, para un polinomio natural (que surge al resolver la ecuación de Fermat ) se puede expandir en el anillo , donde es la raíz primitiva de la unidad . $x^{2}+mi^{2}$ $(x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $norte$ ${\ estilo de visualización z^{n}-y^{n}}$ ${\ estilo de visualización x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$ $\zeta _{n}$ $norte$

Para valores pequeños de y, estos anillos de números enteros son dominios de ideales principales; en cierto sentido, esto explica el éxito parcial de Fermat ( ) y Euler ( ) en la solución de estos dos problemas. En ese momento, los especialistas en el estudio de las formas cuadráticas conocían el procedimiento para verificar el anillo de números enteros de un campo cuadrático para la propiedad "ser un dominio de ideales principales". Gauss estudió el caso : encontró nueve valores que satisfacían la propiedad y supuso que no había otros valores (la conjetura de Gauss se demostró más de cien años después). $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización m = 1, n = 4}$ ${\ estilo de visualización m = 2,3, n = 3}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $D<0$ $D$

En el siglo XX, los matemáticos comenzaron a darse cuenta de que la condición de los ideales principales era demasiado sutil, mientras que la condición de Dedekind era más fuerte y estable. Por ejemplo, Gauss sugirió que hay infinitos números primos positivos de modo que el anillo de campos enteros es el dominio de los ideales principales; sin embargo, hasta el día de hoy, ¡ni siquiera se sabe si hay infinitos campos numéricos cuyos anillos de números enteros satisfagan esta condición! Por otro lado, el anillo de enteros de un campo numérico siempre es Dedekind. $pags$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$

Otra prueba de esta "estabilidad" es que Dedekindness es una propiedad local : un anillo noetheriano es Dedekind si y solo si su localización por cualquier ideal máximo es Dedekind. Pero un anillo local es Dedekind si y solo si es un dominio ideal principal y un anillo de valoración discreto , por lo que para los dominios ideales principales Dedekindity es una globalización de la propiedad de valoración discreta. $R$

Definiciones equivalentes

Para un anillo integral que no es un campo, las siguientes declaraciones son equivalentes: $R$

Cada ideal propio distinto de cero se descompone en un producto de números primos;
$R$ es noetheriano y su localización con respecto a cualquier ideal maximal es un anillo de valoración discreto;
Cualquier ideal fraccionario de un anillo es invertible; $R$
$R$ es integralmente cerrado , noetheriano, y su dimensión Krull es igual a uno.

Un anillo de Krull es un análogo de "dimensiones superiores" de un anillo de Dedekind: los anillos de Dedekind (que no son campos) son exactamente anillos de Krull de dimensión 1. Esta definición de anillo de Dedekind fue utilizada por N. Bourbaki en Álgebra conmutativa.

Ejemplos

Todos los dominios de los principales ideales y, por lo tanto, todos los anillos de valoración discretos, son Dedekind.

El anillo de enteros algebraicos de un cuerpo numérico K es noetheriano, integralmente cerrado y tiene dimensión 1 (para probar esto último, basta notar que para cualquier ideal distinto de cero I , los anillos R , R / I son finitos, y finito integral los anillos son campos), entonces R es Dedekind. Este es un ejemplo básico y motivador de la teoría de los anillos de Dedekind. $R={\mathcal {O}}_{K}$

Otro ejemplo, no menos importante que el primero, lo proporciona la geometría algebraica. Sea C una curva algebraica afín sobre un campo k . Entonces el anillo de coordenadas k [ C ] de funciones regulares en C es Dedekind. De hecho, esto es solo una traducción de términos geométricos al lenguaje algebraico: el anillo de coordenadas de una variedad afín es, por definición, un k - álgebra finitamente generada (por lo tanto, noetheriana); la curva implica dimensión 1, y la ausencia de singularidades implica normalidad , es decir, cierre integral.

Ambos ejemplos son casos especiales del siguiente teorema básico:

Teorema: Sea R un anillo de Dedekind con un campo de cocientes K , L una extensión finita de K y S un cierre entero de R en L . Entonces S es un anillo de Dedekind.

Aplicando esta construcción a R = Z , obtenemos el anillo de enteros del campo numérico. R = k [ x ] corresponde al caso de curvas algebraicas sin singularidades.

Ideales fraccionarios y el grupo de clase ideal

Sea R un anillo integral con un campo de fracciones K . Un ideal fraccionario de un anillo R es un R -submódulo K distinto de cero para el cual existe una x distinta de cero de K tal que ${\ estilo de visualización xI \ subconjunto R.}$

Dados dos ideales fraccionarios I , J , su producto IJ se puede definir como el conjunto de todas las sumas finitas : el producto IJ es también un ideal fraccionario. El conjunto Frac(R) de todos los ideales fraccionarios es, pues, un semigrupo conmutativo, e incluso un monoide: el elemento de identidad es el ideal fraccionario R . $\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\en I,\ j_{n}\en J$

Para cualquier ideal fraccionario I , se puede definir un ideal fraccionario

I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subconjunto R\}.

Obviamente _ La igualdad se logra cuando I es invertible (como elemento del monoide Frac(R)). En otras palabras, si tengo un elemento inverso, entonces este inverso es . $yo^{*}yo\subconjunto R$ $yo^*$

Un ideal fraccionario principal es un ideal fraccionario de la forma para una x distinta de cero en K . Todos los ideales fraccionarios son reversibles: el inverso de es simplemente . Denote el subgrupo de ideales fraccionarios principales Prin(R). $xR$ $xR$ ${\frac{1}{x}}R$

Un anillo integral R es un anillo ideal principal si y solo si todo ideal fraccionario es principal. En este caso, Frac(R) = Prin(R) = , ya que y coinciden si y solo si es un elemento invertible de R . $K^{*}/R^{*}$ $xR$ $YR$ ${\ estilo de visualización xy^{-1}}$

Para un anillo integral arbitrario R , el cociente monoide Frac(R) por el submonoide Prin(R) tiene sentido. En general, este factor es solo un monoide. Es fácil ver que la clase ideal fraccionaria I en Frac(R)/Prin(R) es invertible si y solo si I es invertible.

Ahora queda claro el significado de la tercera definición de un anillo de Dedekind: en un anillo de Dedekind, y solo en un anillo de Dedekind, todo ideal fraccionario es invertible. Por lo tanto, los anillos de Dedekind son la clase de anillos para los que Frac(R)/Prin(R) es un grupo llamado grupo de clase ideal Cl( R ) del anillo R. Cl(R) es trivial si y solo si R es un dominio ideal principal.

Uno de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números establece que el grupo de clases ideal del anillo de números enteros de un cuerpo numérico es finito.

Módulos generados finitamente sobre anillos de Dedekind

Teniendo en cuenta la existencia de un teorema de estructura extremadamente útil para módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales , es natural averiguar si se puede extender al caso de los anillos de Dedekind.

Recuérdese la formulación del teorema de estructura de un módulo sobre un dominio de ideales principales. Definimos un submódulo de torsión como el conjunto de elementos del anillo tal que para algún distinto de cero de . Después: $METRO$ $T$ $metro$ $METRO$ $rm=0$ $r$ $R$

(1) se puede descomponer en una suma directa de módulos de torsión cíclicos , cada uno de los cuales tiene la forma de algún ideal del anillo distinto de cero . Según el teorema chino del resto, cada uno puede descomponerse en una suma directa de módulos de la forma , donde es el grado de un ideal primo. La expansión resultante del módulo es única hasta el orden de los factores. $T$ $RHODE ISLAND$ $yo$ $R$ $RHODE ISLAND$ ${\displaystyle R/P^{i))$ ${\ Displaystyle PAG^{i}}$ $T$

(2) Existe un submódulo complementario del módulo tal que . $PAGS$ $METRO$ $M=T\oplus P$

(3) es isomorfo para un entero no negativo determinado de forma única . En particular, es un módulo libre generado finitamente. $PAGS$ $R^{n}$ $norte$ $PAGS$

Ahora sea un módulo generado finitamente sobre un anillo de Dedekind. Las afirmaciones (1) y (2) siguen siendo ciertas para él también. Sin embargo, de (3) se deduce que cualquier módulo libre de torsión generado finitamente es libre . En particular, se sigue de esto que todos los ideales fraccionarios son principales. En otras palabras, la no trivialidad del grupo de clase ideal Cl [ R ] contradice (3). Resulta que la cantidad de módulos libres de torsión "adicionales" generados finitamente se puede controlar conociendo el grupo de clase ideal. Para un módulo arbitrario generado finitamente sobre un anillo de Dedekind, la declaración $METRO$

(3') es isomorfo a la suma directa de módulos proyectivos de rango 1: . Además, para cualquier módulo proyectivo de rango 1 $PAGS$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r))$ ${\displaystyle I_{1},\ldots,I_{r},J_{1},\ldots,J_{s))$

{\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s))

ejecutado si y solo si

{\ estilo de visualización r = s}

I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.

Los módulos proyectivos de rango 1 se identifican con ideales fraccionarios, por lo que la última condición puede reformularse como

[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).

Por lo tanto, un módulo de rango libre de torsión generado finitamente se puede escribir como , donde es un módulo proyectivo de rango 1. La clase de Steinitz de un módulo P sobre R es una clase ideal en el grupo Cl(R), está definida de forma única [ 1] . Por lo tanto $n>0$ $R^{n-1}\oplus I$ $yo$ ${\ estilo de visualización [yo]}$ $yo$

Teorema. Sea R un anillo de Dedekind. Entonces , donde K 0 ( R ) es el grupo de Grothendieck de un monoide conmutativo de módulos R proyectivos finitamente generados . $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$

Estos resultados fueron establecidos por Ernst Steinitz en 1912.

Notas

↑ Fröhlich & Taylor (1991) p.95

Literatura

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