Diagrama joven

Los diagramas jóvenes  son una forma visual de describir representaciones de grupos lineales simétricos y completos y estudiar sus propiedades.

Historia

Los diagramas jóvenes fueron propuestos por Alfred Jung , un matemático de la Universidad de Cambridge , en 1900 [1] [2] . Posteriormente, en 1903, fueron utilizados por Georg Frobenius para estudiar grupos simétricos.

Un mayor desarrollo de los diagramas de Young se puede rastrear en los trabajos de numerosos matemáticos como Percy McMahon , William Hodge , Gilbert Robinson , Jean-Carlo Rota , Alain Lascou y Marcel-Paul Schutzenberger .

Definiciones

Nota: este artículo utiliza la notación inglesa para gráficos y tablas .

Diagramas

Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferret cuando se usan puntos [3] en lugar de celdas ) es un conjunto finito de celdas justificadas a la izquierda o celdas en las que las longitudes de las filas forman una secuencia no creciente (cada fila tiene la misma longitud que la anterior, o más corto). El conjunto de números, que consiste en las longitudes de las líneas, define una partición λ de un número entero no negativo n , que es igual al número total de celdas en el diagrama. De manera similar, se dice que una partición dada λ da la forma del diagrama de Young correspondiente.

La inclusión de un diagrama de Young en otro define un orden parcial sobre el conjunto de todas las particiones que, a su vez, define una estructura denominada celosía de Young .

La partición dada por el diagrama de Young transpuesto se llama partición conjugada o transpuesta a λ .

Sobre la notación francesa de los diagramas de Young

Es común designar celdas usando un par de números enteros, el primero de los cuales corresponde al número de fila en el diagrama y el segundo al número de columna en esa fila. Sin embargo, existen dos convenciones diferentes sobre cómo se deben dibujar los gráficos: las filas que siguen debajo de la anterior o viceversa. El primero se usa comúnmente entre los hablantes de inglés , mientras que el segundo entre los hablantes de francés , por lo que, en terminología de broma, estas convenciones se denominan notación inglesa y notación francesa , respectivamente. Por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonald recomienda que los lectores que prefieran la notación francesa "lean el libro al revés en un espejo" [4] .

La notación inglesa corresponde a la generalmente aceptada para numerar elementos de matrices, y la francesa se acerca más a la convención sobre la notación de coordenadas cartesianas (aunque para los diagramas de Young, la coordenada vertical sigue siendo la primera). La figura de la derecha en notación inglesa representa el diagrama de Young de la partición (5, 4, 1). La partición conjugada que mide las alturas de las columnas es (3, 2, 2, 2, 1).

Tablas

Un cuadro de Young es un diagrama de Young cuyas celdas están llenas de símbolos de algún alfabeto , que generalmente se supone que es un conjunto bien ordenado . Inicialmente, se suponía que el alfabeto era un conjunto de variables numeradas x 1 , x 2 , x 3 ..., pero ahora, por brevedad, se usan con más frecuencia los números naturales. En su aplicación clásica a la teoría de la representación de grupos simétricos , las tablas de Young se llenan con n números diferentes, arbitrariamente inscritos en las celdas del diagrama. Una tabla se llama estándar si los números aumentan en cada fila y en cada columna. El número de cuadros de Young estándar diferentes con n elementos se describe por el número de involuciones en el grupo simétrico de orden n :

1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496,... (secuencia A000085 en OEIS ).

En otras aplicaciones, puede ser natural permitir que se repitan algunos números (y no usar algunos en absoluto). Una tabla se llama semi -estándar si los números no disminuyen horizontalmente y aumentan verticalmente. Al escribir cuántas veces apareció cada número en la tabla, obtenemos una secuencia conocida como el peso de la tabla. Por lo tanto, las tablas de Young estándar son exactamente iguales a las tablas de peso semi-estándar (1,1,…,1).

Variaciones

Hay variaciones en la definición de la tabla: por ejemplo, en una tabla "estricta por filas", los números aumentan estrictamente a lo largo de las filas y no a lo largo de las columnas. Las tablas con números decrecientes se tratan en la teoría de las particiones planas . Hay otras generalizaciones (cuadros de dominó, cuadros de cinta) donde las celdas se pueden combinar antes de que se les asignen números.

Tablas sesgadas de Young

Una forma oblicua  es un par de particiones ( λ , μ ) tales que el diagrama de Young para λ contiene el diagrama para μ ; notación: λ / μ . Si λ =( λ 1 , λ 2 ,…) y μ =( μ 1 , μ 2 ,…), entonces incrustar diagramas significa que μ i ≤ λ i para todo i . El diagrama oblicuo de la forma oblicua λ / μ  es la diferencia teórica de conjuntos de los diagramas para λ y para μ : el conjunto de cuadrados que pertenecen al diagrama para λ pero no pertenecen al diagrama para μ . Se obtiene una tabla de sesgo de la forma λ / μ completando las celdas del diagrama de sesgo correspondiente; dicha tabla se llama semiestándar si los números no disminuyen en las filas y aumentan en las columnas; un cuadro semiestándar se llama estándar si cada número desde uno hasta el número de celdas ocurre exactamente una vez. Si bien la asignación de particiones a sus diagramas de Young es inyectiva, no ocurre lo mismo con la asignación de formas sesgadas a diagramas sesgados; [5] Aunque muchas propiedades de las tablas sesgadas dependen solo de los cuadrados rellenos, algunas también pueden depender de la forma sesgada. Los cuadros jóvenes se pueden identificar con cuadros sesgados para los que el mosaico μ está vacío (el mosaico de cero).

Cualquier cuadro semiestándar sesgado T de la forma λ / μ , lleno de números enteros positivos, genera una secuencia de particiones (o una secuencia de diagramas de Young): el primer elemento es μ , y el i-ésimo elemento se obtiene sumando todas las celdas que contienen un número menor o igual que i ; eventualmente se obtiene un diagrama λ . Cualquier par de formas adyacentes en esta secuencia forma una forma sesgada con como máximo una celda en cada columna; tales formas se llaman rayas horizontales . Esta secuencia define completamente el cuadro T y, a veces, en la literatura (por ejemplo, en el libro de Macdonald) las formas semiestándar oblicuas se definen como secuencias de este tipo.

Aplicaciones

Los diagramas jóvenes tienen numerosas aplicaciones en combinatoria , teoría de la representación y geometría algebraica . Se exploraron varias formas de contar el número de diagramas, lo que condujo a la definición y fórmulas de los polinomios de Schur . Hay muchos algoritmos conocidos que se ejecutan directamente en diagramas, como el jeu de taquin ("el juego de etiquetas") de Schützenberger y la correspondencia Robinson-Schoensted-Knuth . Lasko y Schützenberger estudiaron el producto asociativo en un conjunto de diagramas de Young semiestándar, lo que resultó en una estructura conocida como monoide pláctico .

En la teoría de la representación, los cuadros estándar de Young de tamaño k describen las bases de representaciones irreducibles del grupo simétrico S k . La base monomio estándar en una representación irreducible de dimensión finita del grupo lineal general GL n está parametrizada por el conjunto de cuadros de Young semiestándar de una forma fija sobre el alfabeto {1, 2, ..., n }. Varias implicaciones importantes para la teoría invariante se derivan de este hecho , comenzando con el trabajo de Hodge sobre anillos de coordenadas homogéneos de Grassmannianos , seguido por el trabajo de Eisenbud y Jean-Carlo Rota , junto con los coautores de Concini y Procesi . La regla de Littlewood-Richardson , que describe (entre otras cosas) la descomposición del producto tensorial de representaciones irreducibles de GL n en componentes irreducibles, se formula en términos de ciertas tablas semiestándar sesgadas.

Las aplicaciones en geometría algebraica se centran en el cálculo de Schubert en Grassmannianos y variedades de banderas . Algunas clases de cohomología importantes pueden representarse en términos de polinomios de Schubert y describirse en términos de diagramas de Young.

Aplicaciones en la teoría de la representación

Los diagramas de Young están en una correspondencia biunívoca con las representaciones irreducibles del grupo simétrico (sobre los números complejos ). Proporcionan una forma conveniente de definir los simetrizadores de Young , en los que se basa la teoría de la representación del grupo simétrico . Muchos hechos acerca de las representaciones se pueden inferir de los diagramas correspondientes. A continuación se muestran dos ejemplos: tamaño de vista y vistas restringidas.

Los diagramas de Young también parametrizan representaciones polinómicas irreducibles del grupo lineal completo GL n (cuando contienen como máximo n filas no vacías), así como representaciones irreducibles del grupo lineal especial SL n (cuando contienen como máximo n − 1 filas no vacías). filas vacías) y representaciones complejas irreducibles de los grupos nSU (nuevamente, cuando contienen como máximo n − 1 cadenas no vacías). En estos casos, el papel central lo juegan las tablas semiestándar con números que no exceden n (en particular, su número determina la dimensión de las representaciones).

Fórmula de gancho

La dimensión de la representación irreducible π λ (correspondiente a la partición λ del número n ) del grupo simétrico S n es igual al número de cuadros de Young estándar diferentes correspondientes al diagrama de partición. Este número se puede calcular usando la fórmula del gancho .

La longitud del gancho ( x ) de la celda x en el diagrama Y ( λ ) de forma λ es el número de celdas en la misma fila a la derecha más el número de celdas en la misma columna a continuación más uno (la celda misma) . Según la fórmula del gancho, la dimensión de la representación irreducible es n ! dividido por el producto de las longitudes de todos los ganchos en el diagrama:

La figura de la derecha ilustra las longitudes de gancho para el diagrama de partición 10 = 5 + 4 + 1. Por lo tanto

De manera similar, la dimensión de la representación irreducible W ( λ ) del grupo GL r correspondiente a la partición λ del número n (en no más de r términos) es igual al número de cuadros semiestándar de la forma λ (que contienen solo números de 1 a r ), que viene dada por la fórmula:

donde el índice i numera la fila y el índice j numera la columna de la celda. [6] Por ejemplo, la partición (5,4,1) genera la dimensión de la representación irreducible correspondiente del grupo GL 7 (recorrido de celda línea por línea):

Representaciones limitadas

La representación del grupo simétrico S n en n elementos es también la representación del grupo simétrico en n − 1 elementos , S n −1 . Sin embargo, una representación irreducible de Sn no es necesariamente una representación irreducible de Sn − 1 , pero puede ser una suma directa de varias de estas representaciones. Estas representaciones se denominan factores de representación restringida .

La cuestión de determinar la descomposición de la representación restringida de la representación irreducible dada S n correspondiente a la partición λ del número n tiene la siguiente respuesta. Se consideran todos los diagramas de Young, que se pueden obtener a partir de un diagrama de la forma λ eliminando una celda (que debe estar al final de su fila y de su columna). La representación restringida luego se descompone en una suma directa de representaciones irreducibles S n −1 correspondientes a estos diagramas, cada una de las cuales ocurre exactamente una vez en la suma.

Véase también

Notas

  1. ↑ Knuth, Donald E. (2005), El arte de la programación, Volumen 3: Clasificación y búsqueda (2.ª ed.), Williams, Addison-Wesley, p. 66  .
  2. ↑ Young, A. (1900), Sobre el análisis de sustitución cuantitativo , Actas de la London Mathematical Society , Ser. 1 Vol. 33 (1): 97–145 , DOI 10.1112/plms/s1-33.1.97  . Véase en particular la página 133.
  3. ↑ R. Stanley Combinatoria enumerativa. M: Mir, 1990. pág. 52.
  4. ↑ Macdonald, 1979 , pág. 2.
  5. ↑ por ejemplo, se puede obtener un diagrama sesgado que consta de un solo cuadrado en la posición (2,4) eliminando el subdiagrama μ del diagrama λ = (5,4,2,1) , o en un número infinito de otras formas . En términos generales, cualquier diagrama sesgado para el que el conjunto de filas no vacías (o columnas no vacías) no es continuo o no contiene una primera fila (o una primera columna), proviene de más de una forma sesgada.
  6. ↑ Predrag Cvitanovic. Teoría de grupos: Birdtracks, Lie's y  grupos excepcionales . - Prensa de la Universidad de Princeton , 2008. , ur. 9.28 y Apéndice B.4

Literatura

Enlaces