Álgebra diferencial

Los anillos , campos y álgebras diferenciales se denominan anillos , campos y álgebras equipados con diferenciación , una operación unaria que satisface la regla del producto . Un ejemplo natural de un campo diferencial es el campo de funciones racionales de una variable compleja , la operación de diferenciación corresponde a la diferenciación con respecto a . La teoría fue creada por Joseph Ritt (1950) y su alumno Ellis Kolchin [1] [2] . $Connecticut)$ $t$

Definiciones

Anillos diferenciales

Un anillo diferencial es un anillo R equipado con uno o más endomorfismos ( derivaciones )

\parcial \dos puntos R\a R

satisfaciendo la regla del producto

\parcial (r_{1}r_{2})=(\parcial r_{1})r_{2}+r_{1}(\parcial r_{2})

para cualquier Hacemos hincapié en que la regla puede fallar en un anillo no conmutativo. En la forma de notación sin índice, si - multiplicación en el anillo, entonces la regla del producto tomará la forma $r_{1},r_{2}\en R$ $d(xy)=xdy+ydx$ $M\dos puntos R\times R\to R$

\parcial \circ M=M\circ (\parcial \otimes \operatorname {id})+M\circ (\operatorname {id}\otimes \partial ).

donde es un mapeo de par a par . $f\otimes g$ $(x,y)$ $(f(x),g(y))$

Campos diferenciales

Un campo diferencial es un campo K equipado con una derivación. La diferenciación debe obedecer la regla de Leibniz en la forma

\parcial (uv)=u\,\parcial v+v\,\parcial u

ya que la multiplicación en un campo es conmutativa. La diferenciación también debe ser distributiva con respecto a la suma:

\parcial (u+v)=\parcial u+\parcial v

El campo de constantes de un campo diferencial se llama . $k$ $k=\{u\en K|\parcial (u)=0\}$

Álgebra diferencial

Un álgebra diferencial sobre un campo K es un K - álgebra A en la que las derivaciones conmutan con el campo. Es decir, para cualquier y : $k\en k$ $x \ en A$

\ \parcial (kx)=k\parcial x

En forma no indexada, si es un morfismo de anillos que define la multiplicación por escalares en álgebra, entonces $\eta\colon K\to A$

\parcial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id})=M\circ (\eta \times \partial )

Como en otros casos, la diferenciación debe satisfacer la regla de Leibniz para la multiplicación en álgebra y ser lineal con respecto a la suma. Es decir, para cualquier y : $a, b \ en K$ $x,y\en A$

\parcial (xy)=(\parcial x)y+x(\parcial y)

\parcial (ax+by)=a\,\parcial x+b\,\parcial y

Diferenciación en el álgebra de Lie

Una derivación del álgebra de Lie es una aplicación lineal que satisface la regla de Leibniz: $L$ $\delta \colon L\to L$

\ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]

Para cualquier diferenciación de operadores sobre , que se deriva de la identidad de Jacobi . Cualquier derivación de este tipo se llama intrínseca . ${\ estilo de visualización a \ en L}$ $\operatorname {anuncio} (a)$ $L$

Ejemplos

Si es un álgebra con unidad , entonces , ya que . Por ejemplo, en campos diferenciales de característica 0, los elementos racionales forman un subcampo en el campo de las constantes. $A$ $\parcial(1)=0$ $\parcial (1)=\parcial (1\times 1)=\parcial (1)+\parcial (1)$

Cualquier campo puede ser considerado como un campo de constantes.

En el campo , hay una estructura natural del campo diferencial, definida por la igualdad : se sigue de los axiomas del campo y de la diferenciación que ésta será una diferenciación con respecto a . Por ejemplo, de la conmutatividad de la multiplicación y la regla de Leibniz se sigue que ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (t)}$ $\parcial(t)=1$ $t$

\parcial (u^{2})=u\parcial (u)+\parcial (u)u=2u\parcial (u)

No hay solución a la ecuación diferencial en un campo diferencial , pero se puede extender a un campo que contiene una función que tiene una solución a esta ecuación. ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (t)}$ $\parcial (u)=u$ $e^{t}$

Un campo diferencial que tiene una solución para cualquier sistema de ecuaciones diferenciales se llama campo diferencialmente cerrado . Tales campos existen, aunque no surgen naturalmente en álgebra o geometría. Cualquier campo diferencial (de potencia limitada ) está incrustado en un campo cerrado diferencialmente más grande. Los campos diferenciales se estudian en la teoría diferencial de Galois .

Ejemplos naturales de derivaciones son las derivadas parciales, las derivadas de Lie , la derivada de Pincherle y el conmutador con respecto a un elemento dado del álgebra. Todos estos ejemplos están íntimamente relacionados con la idea general de diferenciación.

Anillo de operadores pseudodiferenciales

Los anillos diferenciales y las álgebras diferenciales a menudo se estudian utilizando el anillo de operadores pseudodiferenciales sobre ellos:

R((\xi ^{{-1))))=\left\{\sum _{{n<\infty }}r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right \}.

La multiplicación en este anillo se define como

(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{{k=0}}^{m}r(\parcial ^{k}s){m \elegir k}\ xi^{{m+nk}}.

Aquí está el coeficiente binomial . Tenga en cuenta la identidad ${m \elegir k}$

\xi ^{{-1}}r=\sum_{{n=0}}^{\infty}(-1)^{n}(\parcial ^{n}r)\xi ^{{-1 -norte}}

siguiente de

{-1 \elegir n}=(-1)^{n}

r\xi ^{{-1}}=\sum_{{n=0}}^{\infty}\xi ^{{-1-n}}(\parcial ^{n}r).

Diferenciación graduada

Sea un álgebra graduada , sea una aplicación lineal homogénea, . Se llama derivada homogénea si , cuando actúa sobre elementos homogéneos . Una derivada graduada es la suma de derivadas homogéneas con el mismo . $A$ $D$ $d=\izquierda|D\derecha|$ $D$ $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{{|a||D|}}aD(b)$ $\epsilon=\pm 1$ $A$ $\epsilon$

Si , la definición es la misma que la diferenciación ordinaria. $\epsilon=1$

Si , entonces , por impar . Tales endomorfismos se llaman antiderivadas . $\epsilon=-1$ $D(ab)=D(a)b+(-1)^{{|a|}}aD(b)$ $\izquierda|D\derecha|$

Ejemplos de antiderivadas son las derivadas externas e internas de formas diferenciales .

Las derivadas graduadas de superálgebras (es decir, álgebras graduadas) a menudo se denominan superderivadas . ${\matemáticas {Z}}_{2}$

Notas

↑ Ritt, Joseph Fels (1950). Álgebra diferencial. Nueva York: AMS Colloquium Publications (volumen 33).
↑ Kolchin, ER (1985), Grupos algebraicos diferenciales , vol. 114, Matemáticas puras y aplicadas, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417640-9 , < https://books.google.com/books?isbn=0124176402 >

Véase también

Teoría diferencial de Galois
diferencial kahler
Campo diferencialmente cerrado
Un módulo D es una estructura algebraica con varios operadores diferenciales actuando sobre ella.

Literatura

Álgebra diferencial de Buium y geometría diofántica, Hermann (1994).
I. Álgebra diferencial de Kaplansky, Hermann (1957).
E. Kolchin Álgebra Diferencial y Grupos Algebraicos, 1973.
D. Marker, M. Messmer y A. Pillay, Springer Verlang (1996).
A. Magid Lectures sobre la teoría diferencial de Galois, American Math. sociedad, 1994.

La página de inicio de David Marker contiene varios artículos sobre campos diferenciales.

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