Cálculo vectorial

El cálculo vectorial  es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las operaciones sobre vectores [1] . Debido a la variedad de características de los vectores, según el espacio en el que se estudien, el cálculo vectorial se divide en:

• álgebra vectorial;
• análisis de vectores;
• análisis funcional.

Una extensión del cálculo vectorial es el cálculo tensorial , que estudia tensores y campos tensoriales . El cálculo tensorial, a su vez, se divide en álgebra tensorial (incluida como parte principal en el álgebra multilineal ) y análisis tensorial , que estudia los operadores diferenciales sobre el álgebra de campos tensoriales.

El cálculo tensorial es una parte integral de la geometría diferencial , utilizada, entre otras cosas, en la física teórica moderna [2] .

Secciones de cálculo vectorial

Álgebra vectorial

En esta sección de cálculo vectorial, se estudian las propiedades de las operaciones lineales con vectores: suma, multiplicación de vectores por un número, varios productos de vectores: escalar, pseudoescalar, vectorial, mixto, doble vectorial, etc. [3] . Como aplicación a la geometría analítica , se estudian las propiedades geométricas de los vectores y sus colecciones. En particular, la colinealidad, la homogeneidad de los vectores, las propiedades de una base vectorial. En mecánica analítica y teórica , basada en las leyes del álgebra vectorial, se estudia el movimiento y la interacción de los cuerpos materiales [4]

Una extensión del álgebra vectorial es el álgebra tensorial , que explora las operaciones algebraicas sobre tensores [5] .

Análisis vectorial

Una rama del cálculo vectorial que estudia campos vectoriales y escalares estáticos, estacionarios y dinámicos . El análisis vectorial opera con los conceptos de flujo vectorial , circulación vectorial , [6] . Usando estos conceptos, estudiamos las relaciones entre los escalares y los vectores que definen los campos y demostramos los teoremas básicos del análisis vectorial:

• Degradado
• Teorema de la divergencia del vector ;
• Teorema de circulación vectorial ;
• ecuación de Laplace ;
• ecuación de Poisson ;
• teorema de descomposición de Helmholtz ;
• Teorema de Umov [7] .

Una extensión del análisis vectorial es el análisis tensorial , que estudia los operadores diferenciales que actúan sobre un álgebra . También se consideran operadores más generales: densidades de tensores, formas diferenciales con valores en un paquete vectorial [8] .

Análisis Funcional

El análisis funcional es una parte del análisis matemático moderno, cuyo objetivo principal es estudiar funciones , donde al menos una de las variables varía en un espacio infinito [9] .

Los métodos basados ​​en la representación vectorial de funciones han encontrado una amplia aplicación en la teoría de las ecuaciones integrales lineales [10] , en la teoría del procesamiento de señales [11] , en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias [12] , en la geometría algebraica [13] , etc.

Notas

1. ↑ Ivanov A. B. Cálculo vectorial. Enciclopedia Matemática, ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 1, pág. 640
2. ↑ Onischuk A. L. Cálculo tensorial. Enciclopedia matemática. ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 5, pág. 330
3. ↑ Pytiev Yu. P.  Álgebra vectorial. Enciclopedia Matemática, ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 1, pág. 632-636
4. ↑ Olkhovsky I. I. Curso de mecánica teórica para físicos. M., Ciencia, 1970
5. ↑ Onischuk A. L. Álgebra tensorial. Enciclopedia matemática. ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 5, pág. 329
6. ↑ Ivanov A. B. Análisis vectorial. Enciclopedia Matemática, ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 1, pág. 648
7. ↑ movimiento de la energía en los cuerpos (Umov) / I
8. ↑ Onischuk A. L. Análisis de tensores. Enciclopedia matemática. ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 5, pág. 333
9. ↑ Berezansky Yu. M., Levitan B. M. Análisis funcional. Enciclopedia matemática. ed. Vinogradova I. M., M., Enciclopedia soviética, volumen 5, pág. 705-712
10. ↑ Korn G., Korn T. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros. M., Nauka, 1968, pág. 399
11. ↑ Samoilo K. A. Circuitos y señales de radio. M., Radio y comunicación, 1982, p. 39
12. ↑ Pontryagin L. S.  Ecuaciones diferenciales ordinarias. M., Nauka, 1970, pág. 103
13. ↑ Chebotarev N. G. Teoría de las funciones algebraicas. M., OGIZ, 1948, pág. 385

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